2019暑正講義初二數(shù)學(xué)通用版

1、初中數(shù)學(xué)初二·暑期領(lǐng)英班通 用 版初二數(shù)學(xué)講義·通用版·領(lǐng)英班 2019年暑期種一棵樹最好的時(shí)間是十年前，其次是現(xiàn)在。一起學(xué)網(wǎng)校與一起教育科技一起學(xué)網(wǎng)校是一起教育科技旗下中小學(xué)在線學(xué)科輔導(dǎo)平臺(tái)。采用真人在線直播互動(dòng)教學(xué)模式，讓全國任何地區(qū)的中小學(xué)生，都可以在家享受一線優(yōu)秀教師的直播輔導(dǎo)服務(wù)。一起學(xué)網(wǎng)校，基于一起教育科技多年沉淀的6000萬中小學(xué)生海量學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)，以“個(gè)性化學(xué) 習(xí)”為本，同步課內(nèi)基礎(chǔ)知識(shí)，外延核心素養(yǎng)，幫助孩子更科學(xué)地獲取學(xué)科知識(shí)，提升學(xué)習(xí)興趣，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)能力。一起學(xué)網(wǎng)校主張知識(shí)能力一起學(xué)不僅用有趣的授課傳輸知識(shí)，更重視孩子學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，讓父母少操

2、心，孩子越學(xué)越省力。文科理科一起學(xué)面對未來全球競爭環(huán)境，把文學(xué)素養(yǎng)、外語習(xí)得和理科思維全面覆蓋，為家長孩子提供一站式學(xué)習(xí)解決方案。孩子家長一起學(xué)孩子聽課，家長可以從旁伴學(xué)，讓家長更科學(xué)地陪伴孩子的每一步成長。我們的使命讓知識(shí)無界，跨越屏幕，照亮每一個(gè)孩子的夢想。目錄Contents實(shí)數(shù)01第一講二次根式11第二講勾股定理21第三講全等三角形的輔助線添加（一）33第四講軸對稱初步43第五講等腰三角形55第六講平面直角坐標(biāo)系65第七講平面直角坐標(biāo)系中的變換75第八講函數(shù)初步85第九講一次函數(shù)的認(rèn)識(shí)97第十講對數(shù)之于數(shù)學(xué)，恰如數(shù)學(xué)之于其它科學(xué)。哈登伯格第講實(shí)數(shù)第一講實(shí)數(shù)平方根的定義和性質(zhì)知識(shí)梳理1.

3、 平方根的概念：如果 x2 = a(a 0) ，那么 x 叫做 a 的平方根，也稱為二次根式2. 平方根的表示：正數(shù) a 的正的平方根記作“ a ”，負(fù)的平方根記作“ - a ” 正數(shù) a 的平方根記作“ ± a ”，讀作“正、負(fù)根號(hào) a ”3. 算術(shù)平方根的概念：正數(shù) a 有兩個(gè)平方根 ± a ，我們把正數(shù) a 的正的平方根a ，叫做 a 的算術(shù)平方根， 0 的平方根也叫做 0 的算術(shù)平方根，即 0 = 0 4. 雙重非負(fù)性：在式子 a 中， a 0 且 a 0 5. 平方根的計(jì)算：求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開平方，開平方運(yùn)算和平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算總結(jié) 1 ：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)

4、平方根，它們互為相反數(shù)； 0 的平方根是 0 總結(jié) 2 ：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)算術(shù)平方根； 0 的算術(shù)平方根是 0 總結(jié) 3 ：負(fù)數(shù)沒有平方根一起學(xué)網(wǎng)校01模塊 1學(xué)習(xí)札記注：（1）熟記 1000 以內(nèi)的平方數(shù)（ 12 : 312 ）及立方數(shù)（ 13 : 103 ）（2）常用實(shí)數(shù)近似數(shù)： 2 » 1.414 ，3 » 1.732 ， 5 » 2.236 ，7 » 2.646 例題精講例 1求下列各數(shù)的平方根（1） 4（2） 196（3） 0.36（4） 3（5） 1 27（6） 4 1216925實(shí)數(shù) 1 - 2a 有平方根，則 a 可以取的值為（例 2）A

5、0B 1C 2D 302一起學(xué)網(wǎng)校第第第實(shí)數(shù)舉例平方根算術(shù)平方根2± 224±22116± 14146.25±2.52.510000±100100-5無無例 3下列說法正確的是（）學(xué)習(xí)札記 - 2 是 2 的一個(gè)平方根 -4 的算術(shù)平方根是 2 16 的平方根是±2 0 沒有平方根ABCD一個(gè)正數(shù) m 的平方根是 n + 2 與 n - 6 ，則下列正確的是（例 4）A m = 2 ， n = 1C m = 16 ， n = 2B m = 1 ， n = 2D m = 8 ， n = 2a - 2 + (b + 3)2 = 0 ，則(

6、a + b)2019 的值為（例 5已知A 0）B -2019C -1D 1當(dāng)式子 2a +1 的值取最小值時(shí)， a 的取值為（例 6）B - 1C -1A 0D 12立方根的定義和性質(zhì)知識(shí)梳理1. 立方根的概念：一般地，如果 x3 = a ，那么 x 叫做 a 的立方根2. 立方根的表示：數(shù) a 的立方根記作“ 3 a ”，讀作“三次根號(hào) a ” 總結(jié) 1 ：任何一個(gè)數(shù)都有立方根，且只有一個(gè)立方根總結(jié) 2 ：正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)； 0 的立方根是 0初二數(shù)學(xué)·暑期03實(shí)數(shù)第第第模塊 2立方根的計(jì)算：求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開立方，開立方運(yùn)算與立方運(yùn)算互為逆運(yùn)算學(xué)

7、習(xí)札記例題精講例 7求下列各數(shù)的立方根（1） - 1（2） 48（4） 3 -27（3） 64（5） (-9)3（6） -(-33 ) 例 8已知正方體的體積為 64 ，則這個(gè)正方體的棱長為（）D 2 2A 4B 8C 4 204一起學(xué)網(wǎng)校第第第實(shí)數(shù)舉例立方根23 2-2- 3 218126423 -125- 3 5例 9下列說法中，正確的是（A 9 = ±3C 6 的平方根是 6）學(xué)習(xí)札記B 64 的立方根是±4D 25 的算術(shù)平方根是 5如果 a = 3 ，則 3 a -17 =例 10若實(shí)數(shù) x ， y 滿足(2x - 3)2 + 9 + 4 y= 0 ，則 xy 的

8、立方根為例 11實(shí)數(shù)的定義知識(shí)梳理1實(shí)數(shù)的分類0 2. 實(shí)數(shù)的計(jì)算（1） 正數(shù)和 0 可以進(jìn)行開平方運(yùn)算（2） 任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以進(jìn)行開立方運(yùn)算（3） 運(yùn)算法則與有理數(shù)的運(yùn)算法則一致（4） 實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的順序與有理數(shù)混合運(yùn)算的順序一致初二數(shù)學(xué)·暑期05實(shí)數(shù)第第第模塊 3學(xué)習(xí)札記例題精講例 12 把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合：-1 、 3 、 、 -3.14 、 9 、 - 6 - 2 、 -2 、 0 、 0.131331333 、 - 3 82（1） 有理數(shù)集合 ；（2） 無理數(shù)集合 ；（3） 整數(shù)集合 ；（4） 負(fù)實(shí)數(shù)集合 4±=9； 3 -8 的絕對值是例 13；5 -1

9、 的相反數(shù)是； - 3.14 的相反數(shù)是；16 的平方根是x 6 ， y 是 4 的平方根，且| y - x |= x - y ， x + y 的值為例 14已知916（2） (-2.4) + 6 - 5 ´ (-4)2 + 3 -125（1） - 36 - 3 (-1)3 + 1 +例 1558（3） -22 - | -7 | +3 + 2 ´ (- 1 )206一起學(xué)網(wǎng)校第第第實(shí)數(shù)牛刀小試學(xué)習(xí)札記（溫馨提示：請對準(zhǔn)虛線區(qū)域清晰拍照上傳）初二數(shù)學(xué)·暑期07實(shí)數(shù)第第第1下列結(jié)論正確的是（）A - -(-6)2 = -6B (- 3 )2 = 92C (-16)2

10、= ±16D -æ - 16 ö = 16ç÷è25 ø252已知下列結(jié)論：在數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示無理數(shù)；任何一個(gè)無理數(shù)都 能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；有理數(shù)有無限 個(gè)，無理數(shù)有限個(gè)，其中正確的結(jié)論是（ ）A B C D3a 是 9 的算術(shù)平方根，而 b 的算術(shù)平方根是 9 ，則 a + b =學(xué)習(xí)札記08一起學(xué)網(wǎng)校第第第實(shí)數(shù)4（1）已知 x - y + 3 與 x + y -1 互為相反數(shù)，求( x - y )2 的平方根；（2）已知 a = 6 ， b2 = 4 ，求 a + 2b 5計(jì)算下列各題（1）

11、0.16 + 0.49 - 0.81 ；（2） - 0.25 - 3 1- 65 ；（3） - 5 4 - 3 2 10 +1 + 1 ；927916（4） 3 1- 0.973 ´ (-10)2 - 2 ( 3 13 - )0 學(xué)習(xí)札記初二數(shù)學(xué)·暑期09實(shí)數(shù)第第第數(shù)學(xué)是上帝描述自然的符號(hào)。黑格爾第講二次根式第二講二次根式二次根式的定義與性質(zhì)知識(shí)梳理1. 二次根式的定義：一般地，式子 a (a 0) 叫做二次根式， a 叫做被開方數(shù)2. 二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于零，即： a 03. 二次根式的性質(zhì)：（1）二次根式的雙重非負(fù)性：對于 a ， a 0 ； a 0（

12、2） ( a )2 = a(a 0)(a > 0)ìa= ï0 (a = 0)（3）=a2aíï-a(a < 0)î例題精講例 1 在式子 3 2 ， -4 ， 是二次根式的有（A 1 個(gè)C 3 個(gè)- 4 ， x -1 ， x2 + y2 ，）B 2 個(gè)D 4 個(gè)， a2 -1 ，a +1 中，m2一起學(xué)網(wǎng)校11模塊 1例 2下列 x 取何值時(shí)，下列式子有意義學(xué)習(xí)札記3x - 7x - 3 + 3 - x（1）（2）(x - 5)2-(x - 6)2（3）（4）x2 +1- y2（5）（6）m - 6（7）m - 7例 3下列判斷正

13、確的是（）A. 帶根號(hào)的式子一定是二次根式B. 5a 一定是二次根式C. m2 +1 一定是二次根式D. 二次根式的值必定是無理數(shù)已知 x = 5 ，化簡( x - 2)2 +x - 4 的結(jié)果是例 4212一起學(xué)網(wǎng)校第第第二次根式例 5計(jì)算學(xué)習(xí)札記æ2 ö2ç-´(- 5 )2（1）÷è5 ø(x + 4)2 - (x - 2)2 (-4 < x < 2)（2）4x2 + 4x +1(x - 1 )2（3）二次根式的乘除知識(shí)梳理1二次根式的乘法： a × b =ab (a 0, b 0) aab2二次

14、根式的除法：=b(a 0, b > 0) 3. 最簡二次根式：一般地，化簡二次根式就是使二次根式：（1） 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（2） 被開方數(shù)中不含分母；（3） 分母中不含有根號(hào)這樣化簡后得到的二次根式叫做最簡二次根式初二數(shù)學(xué)·暑期13第第第二次根式模塊 2學(xué)習(xí)札記例題精講例 6計(jì)算下列二次根式，并化簡為最簡二次根式：25 ×16（1）81（2）16x2（3）4xy（4）128a3（5）（6）533 59（7）（8）25a3b2(a 0, b 0, c > 0)（9）9c414一起學(xué)網(wǎng)校第第第二次根式例 7計(jì)算：14 y學(xué)習(xí)札記6x5x2

15、15;7 ¸ 3 3 ´ 2 3 ¸ 3 7（1）（2）y3x12 y（3）8 ¸æ 2 1 ö´(-22 )13(a > 1)（4）ç 2 ÷a2 - 2a +14èø若 ab < 0 ，則 a2b 化簡后為（例 8）C aB -a-bD -a-bA a bb最簡二次根式 a-b 2a +1 與a + 3 可以合并，則 a + b =例 9 二次根式的加減知識(shí)梳理1. 同類二次根式：經(jīng)過化簡后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式2. 二次根式的加減運(yùn)算：二次根式相加

16、減，先化簡每個(gè)二次根式，然后合并同類二次根式【注意】進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，整式運(yùn)算的法則、公式和運(yùn)算律仍然適用初二數(shù)學(xué)·暑期15第第第二次根式模塊 3學(xué)習(xí)札記例題精講例 10下列是同類二次根式的是（A 12 和 18C 24 和 32）BD20 和18 和5072（1） 3 3 + 2 - 22 - 2 3例 11（2） (23 -1)(3 +1)æö112 - 2+ 48 ¸ 23÷（3） ç 33èø212+ 18 - 4（4）2 -116一起學(xué)網(wǎng)校第第第二次根式已知 a =5 + 3 ， b =5 -3

17、求 a2b - ab2 的值例 12學(xué)習(xí)札記例 13計(jì)算：（1） 75 + 27 - 48 94(-3)2-4 ´（2）（3） (1+ 2 3)(2 3 -1)（4） (2 +3 -12)(2)11已知 a =， b =例 14，3 -3 +22（1）求 ab ， a + b 的值；（2）求 b + a 的值ab初二數(shù)學(xué)·暑期17第第第二次根式學(xué)習(xí)札記牛刀小試（溫馨提示：請對準(zhǔn)虛線區(qū)域清晰拍照上傳）18一起學(xué)網(wǎng)校第第第二次根式1(a +1)2 = a +1 ，則 a 的取值范圍是（）A a = -1B a -1C a = 0D a -12下列各式中，已化為最簡形式的是（）A

18、 18B x2 + y2C 1D a2b 23已知 3a -1 與 11 是同類二次根式，則 a 的值可以是（寫兩個(gè)即可）4已知： a 、 b 在數(shù)軸上的位置如圖所示，是化簡 a2 + (a - b)2 - b - a 的結(jié)果是a0b學(xué)習(xí)札記51（1） 3 6 + 24 - 954xy × 5 y ¸15x（2） 10x2xy（3） (3 -10 )( 2 + 5 ) （4） (2 +10 )2 (14 - 4 10 ) 初二數(shù)學(xué)·暑期19第第第二次根式幾何學(xué)是在不準(zhǔn)確的圖形上進(jìn)行正確推理的藝術(shù)。波利亞第講勾股定理第三講勾股定理勾股定理知識(shí)梳理1. 勾股定理： 直

19、角三角形的兩條直角邊 a , b 的平方和等于斜邊 c 的平方， 即a2 + b2 = c2 常見公式： c2 = a2 + b2 ，a2 = c2 - b2 ，b2 = c2 - a2注：勾較短的直角邊，股較長的直角邊，弦斜邊2. 勾股定理的證明：（1）方法一：內(nèi)弦圖以 a 、 b 為直角邊，以 c 為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 1 ab 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A 、 E 、 B 三點(diǎn)在2一條直線上， B 、 F 、 C 三點(diǎn)在一條直線上， C 、 G 、 D 三點(diǎn)在一條直線上aDbGCa HbbFaaBAbE RtHAE RtEBF ， 

20、08;AHE = ÐBEF 一起學(xué)網(wǎng)校21cccc模塊 1 ÐAEH + ÐAHE = 90° ， ÐAEH + ÐBEF = 90° ÐHEF = 180°- 90° = 90° 四邊形 EFGH 是一個(gè)邊長為 c 的正方形它的面積等于 c2 RtGDH RtHAE ， ÐHGD = ÐEHA ÐHGD + ÐGHD = 90° ， ÐEHA + ÐGHD = 90° 又 ÐGHE = 90&#

21、176; ， ÐDHA = 90°+ 90° = 180° ÐDHA = 90°+ 90° = 180° ABCD 是一個(gè)邊長為 a + b 的正方形，它的面積等于(a + b)2 學(xué)習(xí)札記 (a + b)2 = 4 ´ 1 ab + c2 2 a2 + b2 = c2 （2）方法二：外圖趙爽弦圖以 a 、 b 為直角邊(b > a) ，以 c 為斜邊作四個(gè)全等直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 1 ab 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀2Dcba G HFECAB RtDAH RtABE ，

22、 ÐHDA = ÐEAB ÐHAD + ÐHAD = 90° ， ÐEAB + ÐHAD = 90° ， ABCD 是一個(gè)邊長為 c 的正方形，它的面積等于 c2 EF = FG = GH = HE = b - a ，ÐHEF = 90° 22一起學(xué)網(wǎng)校第第第勾股定理 EFGH 是一個(gè)邊長為 b - a 的正方形，它的面積等于(b - a)2 學(xué)習(xí)札記 4 ´ 1 ab + (b - a)2 = c2 2 a2 + b2 = c2 （3）方法三：1876 年美國總統(tǒng) Garfield

23、證明以 a 、 b 為直角邊，以 c 為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 1 ab 把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A 、2E 、 B 三點(diǎn)在一條直線上CDa AccbaBEb RtEAD RtCBE ， ÐADE = ÐBEC ÐAED + ÐADE = 90° ， ÐAED + ÐBEC = 90° ÐDEC = 180°- 90° = 90° DEC 是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于 1 c2 2又 ÐDAE = 90 ， &#

24、208;EBC = 90° ， ADBC ABCD 是一個(gè)直角梯形，它的面積等于 1 (a + b)2 2 1 (a + b)2 = 2 ´ 1 ab + 1 c2 2 a2 + b2 = c2 22（4）方法四：拼接法做 8 個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a 、 b ，斜邊長為 c ，再做三個(gè)邊長分別為 a 、 b 、 c 的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形初二數(shù)學(xué)·暑期23第第第勾股定理baab學(xué)習(xí)札記aaabbbbaaabb從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是 a + b ，所以面積相等即：a2 + b2 + 4 ´ 1

25、ab = c2 + 4 ´ 1 ab 2整理得 a2 + b2 = c2 2做三個(gè)邊長分別為 a 、 b 、 c 的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H 、 C 、 B 三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié) BF 、 CD 過 C 作 CL DE ， 交 AB 于點(diǎn) M ，交 DE 于點(diǎn) L AF = AC ， AB = AD ，ÐFAB = ÐGAD ， FAB GAD ， FAB 的面積等于 1 a2 ，GAD 的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半，2矩形 ADLM 的面積= a2 同理可證，矩形 MLEB 的面積= b2 正方形 ADEB 的面積= 矩形 ADLM 的面

26、積+ 矩形 MLEB 的面積 c2 = a2 + b2 ，即 a2 + b2 = c2 GHaCKFbaBAccEDL24一起學(xué)網(wǎng)校第第第勾股定理Mbccccaaccb學(xué)習(xí)札記例題精講在RtABC 中， ÐB = 90° ， BC = 1 ， AC = 2 ，則 AB 的長是（例 1）A 1B 3C 2D 5例 2如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為 225 、 289 ，則字母 A 所代表的正方形的面積為（）289225AA 4B 8C 16D 64例 3如圖圖中，不能用來證明勾股定理的是（）ababcbaaabABDCcFcbbaaAEBCD初二數(shù)學(xué)·暑期25第第

27、第勾股定理cabbc cc c如圖，在 ABC 中， ÐACB = 90° ， AC = 8 ， AB = 10 ， CD AB 于D ，則 CD 的長是（）C例 4學(xué)習(xí)札記ADBB 32C 24D 18A 6555例 5一架 5m 的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距墻角 3m ，若梯子的頂端下滑 1m ，則梯足將滑動(dòng)（）A 0mB 1mC 2mD 3m如圖，在四邊形 ABCD 中， ÐB = ÐD = 90° ， AB = BC = 2 ， CD = 1 ， 求 AD 的長A例 6DBC26一起學(xué)網(wǎng)校第第第勾股定理勾股定理的逆定理學(xué)習(xí)札記

28、知識(shí)梳理1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為 a 、 b 、 c ，且 a2 + b2 = c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形，2. 勾股定理逆定理的證明：采用構(gòu)造全等三角形的證明方法3. 勾股定理逆定理的應(yīng)用（1） 判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形；結(jié)論：在ABC 中，設(shè) AB = c ， BC = a ， AC = b若 c2 = a2 + b2 ，則ÐC 是直角；若 c2 < a2 + b2 ，則ÐC 是銳角；若 c2 > a2 + b2 ，則ÐC 是鈍角（2） 證明線段的垂直關(guān)系3勾股數(shù)：滿足 a2 + b2 = c2 的三個(gè)正整數(shù)，

29、稱為勾股數(shù)勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)必須是三個(gè)正整數(shù)， 0.3 ， 0.4 ， 0.5 ，滿足 0.32 + 0.42 = 0.52 ，但它們不是正整數(shù)，不是一組勾股數(shù)如果三個(gè)數(shù) a ， b ， c 滿足勾股定理，那么 ak ， bk ， ck 也一定滿足勾股定理（但它們不一定是一組勾股數(shù)，勾股數(shù)必須是三個(gè)正整數(shù)）用含字母的代數(shù)式表示 n 組勾股數(shù)：n2 -1 ， 2n ， n2 +1 （ n 2 ， n 為正整數(shù)）2n +1 ， 2n2 + 2n ， 2n2 + 2n +1 （ n 為正整數(shù)）記住常用勾股數(shù)，提高做題速度常用勾股數(shù)： 3 ， 4 ， 5 ； 6 ， 8 ， 10 ； 5

30、 ， 12 ， 13 ； 7 ， 24 ， 25 ；9 ， 40 ， 41 ； 8 ， 15 ， 17初二數(shù)學(xué)·暑期27第第第勾股定理模塊 2學(xué)習(xí)札記例題精講例 7下列以 a ， b ， c 為邊的三角形，不是直角三角形的是（）A a = 1 ， b = 1 ， c =2C a = 3 ， b = 4 ， c = 5B a = 1 ， b =3 ， c = 2D a = 2 ， b = 2 ， c = 3例 8下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（A 4 ， 5 ， 6C 1 ， 2 ， 3）B 0.3 ， 0.4 ， 0.5D 5 ， 12 ， 13例 9下列說法中，正確的有（）如果Ð

31、;A + ÐB = ÐC ，那么ABC 是直角三角形；如果ÐA : ÐB : ÐC = 3: 4 : 5 ，則ABC 是直角三角形；如果三角形三邊之比為 2 : 5: 7 ，則ABC 為直角三角形；如果三角形三邊長分別是 n2 -1 、 2n 、 n2 +1(n > 1) ，則ABC 是直角三角形A 1 個(gè)B 2 個(gè)C 3 個(gè)D 4 個(gè)如圖，已知 AD = 4 ， CD = 3 ， BC = 12 ， AB = 13 ， ÐADC = 90° ，求四邊形 ABCD 的面積例 10CBDA28一起學(xué)網(wǎng)校第第第勾股定理例

32、11 如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為 1 ， ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上（1） 計(jì)算邊 AB 、 BC 、 AC 的長（2） 判斷ABC 的形狀，并說明理由學(xué)習(xí)札記AB例 12 如圖，矩形 ABCD 中， AB = 8 ， BC = 4 ，將矩形沿 AC 折疊，點(diǎn) D 落在點(diǎn) D¢ 處，則重疊部分ABC 的面積為DCAFBD初二數(shù)學(xué)·暑期29第第第勾股定理C學(xué)習(xí)札記牛刀小試（溫馨提示：請對準(zhǔn)虛線區(qū)域清晰拍照上傳）30一起學(xué)網(wǎng)校第第第勾股定理1如果直角三角形的兩直角邊長是 9 ， 12 ，那么斜邊長為（）A 15B 13C 17D 192滿足下列

33、條件的ABC ，不是直角三角形的是（）A b2 - c2 = a2B a : b : c = 3: 4 : 5C ÐC = ÐA - ÐBD ÐA : ÐB : ÐC = 9 :12 :153如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大的正方形， 是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理已知小 正方形的面積是 1 ，直角三角形的兩直角邊分別為 a 、 b 且 ab = 6 ，則圖中大正方形的邊長為（ ）A 5B 13C 4D 3學(xué)習(xí)札記初二數(shù)學(xué)·暑期31第第第勾股定理4如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的

34、四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A ， B ， C ， D 的邊長分別是 4 ， 9 ， 1 ， 4 ，則最大正方形 E 的面積是（ ）CDEA 18B 114C 194D 3245如圖，在四邊形 ABCD 中， ADBC ， ÐC = 90° ， BCD 與BC¢D 關(guān)于直線 BD 軸對稱， BC = 6 ， CD = 3 ，點(diǎn) C 與點(diǎn) C¢ 對應(yīng)， BC¢ 交 AD 于點(diǎn) E ，則線段 DE 的長為（ ）CA EDB CA 3B 15C 5D 1542BA幾何無王者之道。歐幾里德第講全等三角形的輔助線添加（一）第四

35、講全等三角形的輔助線添加（一）復(fù)習(xí)全等三角形及其判定知識(shí)梳理1. 全等三角形：兩個(gè)能完全重合的三角形叫做全等三角形2. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等 .3. 全等三角形的判定：（1） 邊角邊（SAS）：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 .（2） 角邊角（ASA）：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 .（3） 角角邊（AAS）：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個(gè)三角形全等 .（4） 邊邊邊（SSS）：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等 .（5） 斜邊、直角邊（HL）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 .例題精講例 1 如圖， AB AC ， CD BD

36、 ， AC 、 BD 相交于點(diǎn) O 已知 AB = CD ，利用可以判定ABO DCO ；已知AB = CD ， ÐBAD = ÐCDA ，利用可以判定ABD DCA ；一起學(xué)網(wǎng)校33模塊 1已知 AC = BD ，利用可以判定ABC DBC ；已知 AO = DO ，利用可以判定ABO DCO ；已知AB = CD ， BD = AC ，利用可以判定ABD DCA ；學(xué)習(xí)札記ADOBC常見模型“手拉手”模型知識(shí)梳理手拉手模型：在直線 ABC 的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ABD 和BCE ，連接AE 與 CD 特點(diǎn)：共頂點(diǎn)，特殊圖形（等邊三角形、等腰直角三角形、正多邊形）DEDD OAFHEOHE F