莫爾—庫倫理論

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上莫爾庫倫理論長期以來，人們根據(jù)對材料破壞現(xiàn)象的分析，提出了各種不同的強度理論。其中適用于土的強度理論有多種，不同的理論各有其優(yōu)缺點。在土力學中被廣泛采用的強度理論要推莫爾庫倫強度理論。1773年，法國學者庫倫(Coulomb)根據(jù)砂土的試驗結(jié)果，提出土的抗剪強度f在應(yīng)力變化不大的范圍內(nèi)，可表示為剪切滑動面上法向應(yīng)力的線性函數(shù)。即f=tan后來庫倫又根據(jù)粘性土的試驗結(jié)果，提出更為普遍的抗剪強度公式:f=c+tan1936年，太沙基(Terzaghi)提出了有效應(yīng)力原理。根據(jù)有效應(yīng)力原理，土中總應(yīng)力等于有效應(yīng)力與孔隙水壓力之和，只有有效應(yīng)力的變化才會引起強度的變化。因此，

2、土的抗剪強度f可表示為剪切破壞面上法向有效應(yīng)的函數(shù)。上述庫侖公式應(yīng)改寫為f=c+tan1910年莫爾(Mohr)提出材料產(chǎn)生剪切破壞時，破壞面上的f是該面上法向應(yīng)力的函數(shù)，即f=f該函數(shù)在直角坐標系中是一條曲線，如圖1所示，通常稱為莫爾包線。土的莫爾包線多數(shù)情況下可近似地用直線表示，其表達式就是庫倫所表示的直線方程。由庫倫公式表示莫爾包線的土體抗剪強度理論稱為莫爾庫倫(MohrCoulomb)強度理論。圖1 莫爾包線1. 土中某點的應(yīng)力狀態(tài) 我們先來研究土體中某點的應(yīng)力狀態(tài)，以便求得實用的土體極限平衡條件的表達式。為簡單起見，下面僅研究平面問題。在地基土中任意點取出一微分單元體，設(shè)作用在該微分

3、體上的最大和最小主應(yīng)力分別為1和3。而且，微分體內(nèi)與最大主應(yīng)力1作用平面成任意角度的平面mn上有正應(yīng)力和剪應(yīng)力圖2（a）。（a） （b）圖2 土中任意一點的應(yīng)力（a）微分體上的應(yīng)力；（b）隔離體上的應(yīng)力為了建立、與1和3之間的關(guān)系，取微分三角形斜面體abc為隔離體圖2（b）。將各個應(yīng)力分別在水平方向和垂直方向上投影根據(jù)靜力平衡條件得聯(lián)立求解以上方程(a)、(b)，即得平面mn上的應(yīng)力由以上兩式可知，在1和3已知的情況下，斜截面mn上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力僅與斜截面傾角有關(guān)。由式（1）得-1+322+2=1-322上式表示圓心為（1+32，0）、半徑為1-32關(guān)的莫爾圓。莫爾圓上任一點代表與大主應(yīng)力

4、1作用面成角的斜面，其縱坐標代表該面上的法向應(yīng)力，橫坐標代表該面上的剪應(yīng)力。在直角坐標系中（圖3）以為橫坐標軸以為縱坐標軸，按圖3 用莫爾應(yīng)力圓求正應(yīng)力和剪應(yīng)力一定的比例尺，在軸上截取OB3，OC1，以O(shè)1為圓心，以(1-3)2為半徑，繪制出一個應(yīng)力圓。并從O1C開始逆時針旋轉(zhuǎn)2角，在圓周上得到點A?？梢宰C明，A點的橫坐標就是斜面mn上的正應(yīng)力，而其縱坐標就是剪應(yīng)力。事實上，可以看出，A點的橫坐標為OB+BO1+O1Acos2=3+121-3+121-3cos2 =121+3+121-3cos2=而A點的縱坐標為O1Asin2=121-3sin2=2. 土的極限平衡條件莫爾庫倫破壞準則 為了建

5、立實用的土體極限平衡條件，將土體中某點的莫爾應(yīng)力圓和土體的抗剪強度與法向應(yīng)力關(guān)系曲線(簡稱抗剪強度線)畫在同一個直角坐標系中，這樣，就可以判斷土體在這一點上是否達到極限平衡狀態(tài)。由前述可知，莫爾應(yīng)力圓上的每一點的橫坐標和縱坐標分別表示土體中某點在相應(yīng)平面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，如果莫爾應(yīng)力圓位于抗剪強度包線的下方圖4（a）即通過該點任一方向的剪應(yīng)力都小于土體的抗剪強度f，則該點土不會發(fā)生剪切破壞，而處于彈性平衡狀態(tài)。若莫爾應(yīng)力圓恰好與抗剪強度線相切圖4（b），切點為B，則表明切點B所代表的平面上的剪應(yīng)力與抗剪強度f相等，此時，該點土體處于極限平衡狀態(tài)。（a） （b）圖4 莫爾應(yīng)力圓與土的抗剪強度之

6、間的關(guān)系（a）土處于彈性平衡狀態(tài)；（b）土處于極限平衡狀態(tài)根據(jù)莫爾應(yīng)力圓與抗剪強度線相切的幾何關(guān)系，就可以建立起土體的極限平衡條件。下面，我們就以圖5中的幾何關(guān)系為例，說明如何建立無粘性土的極限平衡條件圖5 無粘性土極限平衡條件推導(dǎo)示意圖 1=3tan245+2 （2）土體達到極限平衡條件時，莫爾應(yīng)力圓與抗剪強度線相切于B點，延長CB與軸交于A點，由圖中關(guān)系可知OB=OA再由切割定理，可得13=OB2=OA2在AOC中，有12=OA2tan245+212=13tan245+2因此，1=3tan245+2又由于，tan45+2=1tan45-2=cot45-2所以，有3=1tan245-2 （3

7、）對粘性土和粉土而言，可以類似地推導(dǎo)出其極限平衡條件，為1=3tan245+2+2ctan45+2 （4）這可以從圖6中的幾何關(guān)系求得。作EO平行BC，通過最小主應(yīng)力3的坐標點A作一圓與EO相切于E點，與軸交于I點。圖6 粘性土與粉土極限平衡條件推導(dǎo)示意圖由前可知OI=1=3=tan245+2下面找出IG與c的關(guān)系（G點為最大主應(yīng)力坐標點）。由圖中角度關(guān)系可知EBD為等腰三角形，ED=BD=c，DEB=45-2，則有EB=2csin45+2=IF在GIF中GI=IFcos45+2=2csin45+2cos45+2=2ctan45+2而且 OG=OI+IG所以 1=3tan245+2+2ctan

8、45+2同理可以證明 3=1tan245-2+2ctan45-2 （5）還可以證明sin=1-31+3+2ccot （6）1=31+sin1-sin+2ccos1-sin或3=11-sin1+sin-2ccos1+sin由圖5的幾何關(guān)系可以求得剪切面(破裂面)與大主應(yīng)力面的夾角關(guān)系，因為 2=90+ （7）所以 =45+2 （8）即剪切破裂面與最大主應(yīng)力1作用平面的夾角為=45+2（共軛剪切面)。由此可見，土與一般連續(xù)性材料(如鋼、混凝土等)不同，是一種具有內(nèi)摩擦強度的材料。其剪切破裂面不產(chǎn)生于最大剪應(yīng)力面，而是與最大剪應(yīng)力面成/2的夾角。如果土質(zhì)均勻，且試驗中能保證試件內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變均勻分布，則試件內(nèi)將會出現(xiàn)兩組完全對稱的破裂面（圖7）。圖7 土的破裂面確定式（2）至式（8）都是表示土單元體達到極限平衡時（破壞時）主應(yīng)力的關(guān)系，這就是莫爾庫倫理論的破壞準則，也是土體達到極限平衡狀態(tài)的條件，故而，我們也稱之為極限平衡條件。理論分析和試驗研究表明，在各種破壞理論中，對土最適合的是莫爾庫倫強度理論?？偨Y(jié)莫爾庫倫強度理論，可以表述為以下三個要點：(1)剪切破裂面上，材料的抗剪強度是法向應(yīng)力的函數(shù)，可表達為f=f(2)當