定積分及其應(yīng)用2

1、第六章定積分6.1 定積分的概念一、定積分的定義1.引 例1 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間，上有定義且非負曲線與直線圍成一個圖形曲邊梯形，來其面積求近似值：用一串分點把，分成段，相應(yīng)地把曲邊梯形分成個條形，其中第個條形為BA圖1.3-3曲邊梯形面積的近似值劃分越細，近似效果越好。例2 設(shè)物體作變速直線運動，其速度是時間的函數(shù).我們來計算這物體從時刻到時刻經(jīng)過的路程為此，用一串分點,把這段時間分成小段總路程近似等于當分割的時間間隔越來越短時，上述和式的極限值即為所求的路程2定義設(shè)在區(qū)間有定義,在內(nèi)任意插入個分點：，此分法表為.分法將分成個小區(qū)間：.第個小區(qū)間的長度表為,是這個小區(qū)間的長度的最大者：.在中任取一

2、點，作和數(shù)，稱為在上的積分和.如果當時，和數(shù)趨于確定的極限，且與分法無關(guān)，也與在中的取法無關(guān)，則稱在上可積，極限稱為在上的定積分，簡稱為積分，記作. 即：其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，與叫做積分的下限與上限，符號是積分符號.如果當時，積分和不存在極限，則稱在上不可積.注意：（1）定積分的值只與被積函數(shù)以及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量寫成什么字母無關(guān)，即.（2）與不定積分區(qū)別；二、定積分的幾何意義及可積函數(shù)類1幾何意義：（1）若在上，則定積分表示由曲線軸及直線所圍成的曲邊梯形的面積（圖6.1-1a）；（2），表示上述曲邊梯形的面積的相反數(shù)（如圖6.1-1b）；（3）若函數(shù)在上有正

3、有負各部分面積的代數(shù)和。+- +a +-+圖6.1-1a圖6.1-1b圖6.1-1ca 2可積函數(shù)類：（1）若函數(shù)在上連續(xù)，則在上可積.（2）若函數(shù)在上有界，且只有有限個間斷點，則在上可積.三、例計算定積分.解因為在上連續(xù)，故在上可積，因此可以對采用特殊的分法，（只要）以及選取特殊的點，取極限即得到積分值.將等分，則，取，則有 .為了書寫方便，令,利用積化和差公式有：，所以.6.2 定積分的基本性質(zhì)一、定義推廣：二、性質(zhì)1.證.2（為常數(shù)）.3（積分區(qū)間的可加性）如果將積分區(qū)間分成兩部分，則在整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)，則證因為函數(shù)在上可積，所以不論怎樣劃分，不論怎樣

4、選取，當時，積分和的極限是不變的，所以我們可以選取永遠是個分點，即.推廣：不論的相對位置如何，成立.例如,當時，由于，則.4如果,則.5如果在區(qū)間上，則.證，因為，故 ()，又 ()，因此，所以，, 即:.推論1如果在區(qū)間上,則 ().推論2，().證因為，則，即.6設(shè)分別是函數(shù)在上的最大值和最小值，則.證因為，由推論1得，再由性質(zhì)2及性質(zhì)4可得.性質(zhì)7如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點，使下式成立:.證因在上連續(xù)，故必存在最大值與最小值，由性質(zhì)6，或.這說明，數(shù)介于與之間，根據(jù)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的介值定理，在區(qū)間內(nèi)存在一點，使,即a b 圖6.2-1.此性質(zhì)稱為積分中值定理.積分

5、中值定理有其明顯的幾何意義:設(shè)，由曲線軸及直線所圍成的曲邊梯形的面積等于以區(qū)間為底，某一函數(shù)值為高的矩形面積.6.3微積分基本定理一、 引例 做直線運動的物體的位置函數(shù)為,速度函數(shù)為物體從到這段時間所經(jīng)過的距離為.（1）說明，等于的原函數(shù)在區(qū)間的增量問題：是不是普遍規(guī)律？二、積分上限函數(shù)1定義：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，為上任意一點，則在區(qū)間也連續(xù)，故定積分存在.于是,有唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)，所以在上定義了一個函數(shù)，記作:Oa b 圖6.3-1（） （2）我們把（2）式定義的函數(shù)稱為積分上限的函數(shù).2性質(zhì)：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上可導，并且它的導數(shù)是（）.（3）證設(shè)自變量有增量，使，則

6、函數(shù)具有增量.利用積分中值定理，則有，介于與之間.于是,有(介于與之間),（4）由于在上連續(xù)，且當時，有.三、牛頓萊布尼茲公式定理3如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原數(shù)，則 . （5）證已知是的一個原函數(shù)，積分上限的函數(shù)也是的一個原函數(shù)，于是這兩個原函數(shù)之差在上必定是某一常數(shù):=(, （6）在上式中,令,則，又，因此,代入(6)式,有,在上式中令，即得. 或|例1 計算定積分.解=.例2計算.解|=.例3 計算.解要去掉絕對值符號，必須分區(qū)間積分，顯然點為區(qū)間的分界點,.例4計算，其中解于是.例5求極限.解例6 求.解令,為中間變量，則上式變?yōu)椋?6.4 定積分的換元積分法一、定理若函數(shù)在區(qū)間

7、上連續(xù),函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)的導數(shù),當在區(qū)間上變化時，的值在上變化，又,則 (1) 證設(shè)是在上的一個原函數(shù)，則，再設(shè)對求導， 得即是的一個原函數(shù)，因此有.又，可知，所以.推廣：1。,定理同樣成立. 2此定理也可反過來使用，.例1計算.解令，則，于是|.例2計算.解令,則，于是.例3設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，證明：（1） 若是偶函數(shù)，則;（2） 若是奇函數(shù)，則.證因為在上式右端第一項中，令，則有，所以;當為偶函數(shù)時，,則；當為奇函數(shù)時，即，則.例4若在上連續(xù)，證明證設(shè)， .例5若在上連續(xù)，證明:, 并由此計算.證明，對于上式右端第二項的積分，設(shè)則.練習：.6.5 定積分的分部積分法一、公式：，或.二、例例

8、1計算.解|.例2計算.解令，則，于是,.例3計算.解設(shè),即移項，解得.例4求,其中為非負整數(shù).解，.當時,.移項，得到積分的遞推公式.1) 當為偶數(shù)時,設(shè),有,2) 當為奇數(shù)時,設(shè),有.練習：6.6 廣義積分（普通積分的極限）一、無窮限的廣義積分1定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取，如果極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分,記作，即.這時也稱廣義積分收斂.反之，則稱廣義積分發(fā)散.同樣，可以定義在上的廣義積分.2同理，設(shè)在區(qū)間上連續(xù),取0，如果極限存在，則稱此極限值為無界函數(shù)在上的廣義積分或瑕積分，記作，即=.也稱廣義積分收斂.若上述極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散.3當為瑕點或為瑕點時，可類似地定義在上的瑕積分:=.當在內(nèi)有兩個以上瑕點時，也可類似地定義瑕積分。例5計算.解因為，所以點是瑕點.例6計算.解因為，所以點是瑕點，分別考察下列兩個廣義積分:和.所以廣義積分發(fā)散.（