定積分的概念1

1、1.6.1定積分的概念教材分析本節(jié)的主要內(nèi)容是定積分的引入、定積分的定義和幾何意義、定積分的基本性質(zhì).教材在對(duì)兩類(lèi)典型問(wèn)題求曲邊梯形的面積和求變速運(yùn)動(dòng)物體的位移進(jìn)行詳細(xì)討論的基礎(chǔ)上，抽象、概括出它們的共同本質(zhì)特征，進(jìn)而引入定積分的概念及其幾何意義，最后給出定積分的基本性質(zhì).在本節(jié)的開(kāi)頭，提出了如何計(jì)算平面“曲邊梯形”的面積，如何求變速直線運(yùn)動(dòng)物體的位移、如何求變力做工等問(wèn)題，并猜測(cè)解決它們的基本思想方法，即講求“曲邊圖形”的面積轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”的面積，利用勻速直線運(yùn)動(dòng)的知識(shí)解決變速直線運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)定積分知識(shí)的興趣.在教材的處理上，要大膽創(chuàng)新，明確求曲邊梯形面積的步驟方法，結(jié)

2、合學(xué)生的認(rèn)知能力和思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo).，讓學(xué)生充分體驗(yàn)“分割-近似代替-求和-取極限”的過(guò)程針對(duì)課本題目較少的特點(diǎn)，例題和練習(xí)的選擇要遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，低起點(diǎn)，多角度，多層次地認(rèn)識(shí)曲邊梯形的面積，多梯度地進(jìn)行求面積的訓(xùn)練.課時(shí)分配本課時(shí)是定積分部分的第一課時(shí)，主要解決的是定積分的概念問(wèn)題.教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn): 定積分的概念、定積分法求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義.難點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義.知識(shí)點(diǎn)：通過(guò)求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，了解定積分的背景.能力點(diǎn)：能用定積分的定義求簡(jiǎn)單的定積分.教育點(diǎn)：特殊到一般的探究路程，享受從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的和諧之美.自主探究點(diǎn)：圖形的面積與

3、定積分之間的關(guān)系.考試點(diǎn)：了解定積分的幾何意義.易錯(cuò)易混點(diǎn)：在橫軸下方部分圖形的面積與定積分關(guān)系.拓展點(diǎn)：鏈接高考.教具準(zhǔn)備 實(shí)物投影機(jī)和粉筆.課堂模式 基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的誘思探究.一、創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)回顧：從求曲邊梯形的面積以及求變速直線運(yùn)動(dòng)路程的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過(guò)“分割、近似代替、求和、取極限”得到解決，且都可以歸結(jié)為求一個(gè)特定形式和的極限.許多函數(shù)(例如等)的圖象都在某一區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線.如圖1. 一般地,如果函數(shù)在某一區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把函數(shù)稱(chēng)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)（不加說(shuō)明，下面研究的都是連續(xù)函數(shù)） ；如圖2.；如圖3.事實(shí)上，許多問(wèn)題都可以歸結(jié)為

4、求這種特定形式和的極限.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)回顧求解步驟及結(jié)果的形式，使學(xué)生對(duì)這一知識(shí)結(jié)構(gòu)有個(gè)清醒的初步認(rèn)知，逐漸過(guò)渡到對(duì)定積分的學(xué)習(xí)情境.二、探究新知1定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn)，作和式：如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱(chēng)該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記為：，即其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限.說(shuō)明：定積分是一個(gè)常數(shù)，即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）稱(chēng)為，而不是 用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限：.曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程

5、；變力做功.易得，.2定積分的幾何意義如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積. 如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.說(shuō)明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積取負(fù)號(hào) 分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值.考察和式，不妨設(shè)于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）3定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 （其中是不為的常數(shù)） （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)2 （定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)3 【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，實(shí)踐體驗(yàn)的

6、方法，切身感受到曲邊圖形的面積與定積分之間的關(guān)系.三、理解新知 定積分的數(shù)值在幾何上都可以用曲邊梯形面積的代數(shù)和來(lái)表示，.，曲邊梯形的面積.，曲邊梯形的面積的負(fù)值.陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）.【設(shè)計(jì)意圖】利用流程圖幫助總結(jié)求曲邊梯形面積的步驟，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉其操作步驟，做到爛熟于心.四、應(yīng)用新知例1利用定積分定義計(jì)算定積分的值解：令，如圖分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為近似代替、作和取，則取極限例2計(jì)算定積分分析：所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為.即：思考：若改為計(jì)算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問(wèn)題）【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生通過(guò)具體的問(wèn)題進(jìn)行自學(xué)、探究，分組討論、交流，進(jìn)一步讓學(xué)生感受這種以直代曲、化曲為直的極限法求定積分.五、課堂小結(jié)定積分的概念、定義法求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義.六、布置作業(yè)1、必做題：2、選做題：計(jì)算下列定積分1； 解：.2. 解：.七、反思提升1.本節(jié)課內(nèi)容較主要是定積分的概念與幾何意義和性質(zhì)，定義由老師引領(lǐng)學(xué)生逐步理解和接受在區(qū)間選取的任意性，本節(jié)