實(shí)驗(yàn)三傅里葉變換及其性質(zhì)

1、信息工程學(xué)院實(shí)驗(yàn)報(bào)告成 績：課程名稱：信號與系統(tǒng)指導(dǎo)教師（簽名）：實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱：實(shí)驗(yàn)3 傅里葉變換及其性質(zhì)實(shí)驗(yàn)時(shí)間：2013-11-29班級： 姓名： 學(xué)號： 1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1、學(xué)會運(yùn)用MATLAB求連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉（Fourier）變換； 2、學(xué)會運(yùn)用MATLAB求連續(xù)時(shí)間信號的頻譜圖； 3、學(xué)會運(yùn)用MATLAB分析連續(xù)時(shí)間信號的傅里葉變換的性質(zhì)。二、實(shí)驗(yàn)環(huán)境: 1、硬件：在windows 7 操作環(huán)境下； 2、軟件：Matlab 版本7.1三、實(shí)驗(yàn)原理： 3.1傅里葉變換的實(shí)現(xiàn)信號的傅里葉變換定義為： ，傅里葉反變換定義為：。信號的傅里葉變換主要包括MATLAB符號運(yùn)算和MATLA

2、B數(shù)值分析兩種方法，下面分別加以探討。同時(shí)，學(xué)習(xí)連續(xù)時(shí)間信號的頻譜圖。 3.1.1 MATLAB符號運(yùn)算求解法MATLAB符號數(shù)學(xué)工具箱提供了直接求解傅里葉變換與傅里葉反變換的函數(shù)fourier( )和ifourier( )。Fourier變換的語句格式分為三種。（1）F=fourier(f)：它是符號函數(shù)f的Fourier變換，默認(rèn)返回是關(guān)于的函數(shù)。（2）F=fourier(f,v)：它返回函數(shù)F是關(guān)于符號對象v的函數(shù)，而不是默認(rèn)的，即。（3）F=fourier(f,u,v)：是對關(guān)于u的函數(shù)f進(jìn)行變換，返回函數(shù)F是關(guān)于v的函數(shù)，即。傅里葉反變換的語句格式也分為三種。（1）f=ifourie

3、r(F)：它是符號函數(shù)F的Fourier反變換，獨(dú)立變量默認(rèn)為，默認(rèn)返回是關(guān)于x的函數(shù)。（2）f=ifourier(F,u)：它返回函數(shù)f是u的函數(shù)，而不是默認(rèn)的x。（3）f=ifourier(F,u,v)：是對關(guān)于v的函數(shù)F進(jìn)行反變換，返回關(guān)于u的函數(shù)f。值得注意的是，函數(shù)fourier( )和ifourier( )都是接受由sym函數(shù)所定義的符號變量或者符號表達(dá)式。連續(xù)時(shí)間信號的頻譜圖信號的傅里葉變換表達(dá)了信號在處的頻譜密度分布情況，這就是信號的傅里葉變換的物理含義。一般是復(fù)函數(shù)，可以表示成。與曲線分別稱為非周期信號的幅度頻譜與相位頻譜，它們都是頻率的連續(xù)函數(shù)，在形狀上與相應(yīng)的周期信號頻譜

4、包絡(luò)線相同。非周期信號的頻譜有兩個(gè)特點(diǎn)，密度譜和連續(xù)譜。要注意到，采用fourier()和ifourier() 得到的返回函數(shù)，仍然是符號表達(dá)式。若需對返回函數(shù)作圖，則需應(yīng)用ezplot()繪圖命令。3.1.3 MATLAB數(shù)值計(jì)算求解法fourier( )和ifourier( )函數(shù)的一個(gè)局限性是，如果返回函數(shù)中有諸如單位沖激函數(shù)等項(xiàng)，則用ezplot()函數(shù)無法作圖。對某些信號求變換時(shí)，其返回函數(shù)可能包含一些不能直接用符號表達(dá)的式子，因此不能對返回函數(shù)作圖。此外，在很多實(shí)際情況中，盡管信號是連續(xù)的，但經(jīng)過抽樣所獲得的信號則是多組離散的數(shù)值量，因此無法表示成符號表達(dá)式，此時(shí)不能應(yīng)用fouri

5、er()函數(shù)對f(n)進(jìn)行處理，而只能用數(shù)值計(jì)算方法來近似求解。從傅里葉變換定義出發(fā)有，當(dāng)足夠小時(shí)，上式的近似情況可以滿足實(shí)際需要。對于時(shí)限信號，或者在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)讓衰減到足夠小，從而近似地看成時(shí)限信號，則對于上式可以考慮有限n的取值。假設(shè)是因果信號，則有傅里葉變換后在域用MATLAB進(jìn)行求解，對上式的角頻率進(jìn)行離散化。假設(shè)離散化后得到N個(gè)樣值，即 1，因此有 。采用行向量，用矩陣表示為。其要點(diǎn)是要正確生成的M個(gè)樣本向量與向量。當(dāng)足夠小時(shí)，上式的內(nèi)積運(yùn)算（即相乘求和運(yùn)算）結(jié)果即為所求的連續(xù)時(shí)間信號傅里葉變換的數(shù)值解。3.2傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)包含了豐富的物理意義，并且揭示了信

6、號的時(shí)域和頻域的關(guān)系。熟悉這些性質(zhì)成為信號分析研究工作中最重要的內(nèi)容之一。3.2.1 尺度變換特性傅里葉變換的尺度變換特性為：若，則有，其中，a為非零實(shí)常數(shù)。頻移特性傅里葉變換的頻移特性為：若，則有。頻移技術(shù)在通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻移的實(shí)現(xiàn)原理是將信號乘以載波信號或，從而完成頻譜的搬移，即四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及結(jié)果分析:4.1試用MATLAB命令求下列信號的傅里葉變換，并繪出其幅度譜和相位譜。（1） （2）第一題的實(shí)驗(yàn)程序代碼：clc;clear;Ft= sym('sin(2*pi*(t-1)/(pi*(t-1)');Fw = fou

7、rier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw);grid ontitle('幅度譜');phase = atan(imag(Fw)/real(Fw);subplot(212)ezplot(phase);grid ontitle('相位譜');第二題的實(shí)驗(yàn)程序代碼：clc;clear;ft = sym('(sin(pi*t)/(pi*t)2');Fw = fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw);grid ontitle('幅度譜');phase = atan(imag(F

8、w)/real(Fw);subplot(212)ezplot(phase);grid ontitle('相位譜');第一題實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示，第二題實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。圖1 圖24.2試用MATLAB命令求下列信號的傅里葉反變換，并繪出其時(shí)域信號圖。（1） （2）第一題的實(shí)驗(yàn)程序代碼：clc;clear;t=sym('t');Fw = sym('10/(3+i*w)-4/(5+i*w)');ft = ifourier(Fw);ezplot(ft),grid on第二題的實(shí)驗(yàn)程序代碼：clc;clear;t=sym('t');Fw

9、= sym('exp(-4*(w2)');ft = ifourier(Fw);ezplot(ft),grid on第一題實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，第二題實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。圖3 圖44.3試用MATLAB數(shù)值計(jì)算方法求門信號的傅里葉變換，并畫出其頻譜圖。門信號即，其中。實(shí)驗(yàn)程序代碼：clc;clear;ft1 = sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)');subplot(121);ezplot(ft1,-1.5 1.5),grid onFw1 = simplify(fourier(ft1);subplot(122);ezplot

10、(abs(Fw1),-10*pi 10*pi), grid onaxis(-10*pi 10*pi -0.2 1.2);實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示：圖54.4已知兩個(gè)門信號的卷積為三角波信號，試用MATLAB命令驗(yàn)證傅里葉變換的時(shí)域卷積定理。兩個(gè)門信號卷積成為三角波信號的實(shí)驗(yàn)程序代碼：clc;clear;dt = 0.01; t = -1:dt:2.5;f1 = uCT(t+1/2)- uCT(t-1/2);f2 = uCT(t+1/2)- uCT(t-1/2);f = conv(f1,f2)*dt;n =length(f);tt = (0:n-1)*dt-2; subplot(211), plot(

11、t,f1),grid on;axis(-1, 1, -0.2,1.2);title('f1(t)'); xlabel('t');subplot(212), plot(tt,f),grid on;axis(-2, 2, -0.2,1.2);title('f(t)=f1(t)*f2(t)'); xlabel('t');兩個(gè)門信號卷積成為三角波信號的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示：圖6三角波信號傅里葉變換的實(shí)驗(yàn)程序代碼：clc;clear;dt = 0.01;t = -4:dt:4;ft = (t+1).*uCT(t+1)-2*t.*uCT(t)+

12、(t-1).*uCT(t-1);N = 2000;k = -N:N;W = 2*pi*k/(2*N+1)*dt);F = dt * ft*exp(-j*t'*W);plot(W,F), grid onaxis(-10*pi 10*pi -0.2 1.2);xlabel('W'), ylabel('F(W)')title('f1(t)*f2(t)的頻譜圖');ft1和ft2分別傅里葉變換然后再相乘的代碼：clc;clear;ft1 = sym('Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2)');Fw1 = fourier(ft1);ft2 = sym('Heaviside(t+1/2)-Heavisid