學(xué)生講義巧解外接球問題

1、快速解決巧解外接球問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點. 考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方體的外接球的有關(guān)問題【例1】（上海中學(xué)）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為_ .【例2】（交大附中）一個正方體的各頂點均在同一球的球面上

2、，若該正方體的表面積為，則該球的體積為_.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題【例3】（復(fù)興高級中學(xué)）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為，則此球的表面積為_.【例4】（七寶中學(xué)）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）. A. B. C. D. 3.求多面體的外接球的有關(guān)問題【例5】（上海實驗中學(xué)）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為3，則這個球的體積為_. .二、構(gòu)造法(補形法)1、構(gòu)造正方體【例6】（2015年上海高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱

3、長均為，則其外接球的表面積是_.【例7】（上海中學(xué)） 若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是_.【小結(jié)】 一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補形知識，聯(lián)系長方體?！驹怼块L方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為，則體對角線長為，幾何體的外接球直徑為體對角線長 即【例8】：在四面體中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。圖1【例 9】 （建平中學(xué)）一個四面體的所有棱長

4、都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【例10】（華二附中）在等腰梯形中，為的中點，將與分布沿、向上折起，使重合于點，則三棱錐的外接球的體積為（ ）.A. B. C. D. 圖4【例11】 （交大附中）已知球的面上四點A、B、C、D，則球的體積等于 .2、構(gòu)造長方體【例12】（2012年上海高考題）已知點A、B、C、D在同一個球面上，若，則球的體積是 .圖5本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質(zhì)法【例13】（大同中學(xué)）已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是（ ）A. B. C. D.【小

5、結(jié)】 本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法【例14】（西南位育中學(xué)） 正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點都在同一球面上，則此球的體積為 .【小結(jié)】 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).五 .確定球心位置法【例15】 （上海第二中學(xué)）在矩形中，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）A. B. C. D.【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點?！纠?6】（復(fù)旦附中）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且，,求球的體積。 【總結(jié)】