復內(nèi)積空間酉空間

1、第4講 復內(nèi)積空間 (酉空間)內(nèi)容：1. 復內(nèi)積空間 2. 正規(guī)矩陣3. Hermite二次型歐氏空間是針對實線性空間而言的，本講先討論復數(shù)域上線性空間的內(nèi)積及其性質(zhì)，然后將實二次型推廣為復二次型，介紹厄米（Hermite）二次型.1 復內(nèi)積空間 (酉空間)1. 復內(nèi)積空間 (酉空間)定義1.1 設(shè)是復線性空間,若對于中任意兩個元素（向量）和,總能對應(yīng)唯一的復數(shù)，記作,且滿足以下的性質(zhì)：（1）對稱性 （2）可加性 （3）齊次性 （4）非負性 當且僅當時,則稱該復數(shù)是中元素（向量）和的內(nèi)積.稱定義了內(nèi)積的復線性空間為酉空間(或稱空間或復內(nèi)積空間).例1.1 在維向量空間中，任意兩個向量，若規(guī)定

2、，則容易驗證，它是中向量和的內(nèi)積.2. 酉空間的性質(zhì)：(1) (2) (3) (4) 3. 酉空間的一些結(jié)論(1) 向量的長度(2) 不等式: (3) 兩個非零向量的夾角 (4) 當時，稱與正交，積作.與歐氏空間一樣，在酉空間中也可類似定義正交基，標準正交基，而且中的任一組基均可通過方法化為一組標準正交基.4. 酉變換和復對稱變換定義1.2 設(shè)是空間中的一個線性變換，若對，均有成立，則稱為空間上的酉變換，而滿足的矩陣稱為酉矩陣.定理1.1 設(shè)是酉空間上的一個線性變換，則下列命題是等價的：(1) 是一個酉變換(2) 保持元素的長度不變,即對任意的，有(3) 中任意一個標準正交基其象仍是一個標準正

3、交基(4) 在任一個標準正交基下的矩陣是酉矩陣，即定義1.3 設(shè)是空間中的一個線性變換，若對，均有成立，則稱為空間上的復對稱變換，滿足的矩陣分別稱為Hermite矩陣與反Hermite矩陣.2 正規(guī)矩陣定義2.1 設(shè),若滿足,則稱為正規(guī)矩陣.特別,當時，若滿足,稱為實正規(guī)矩陣.顯然，對角矩陣, Hermite矩陣，反Hermite矩陣和酉矩陣都是正規(guī)矩陣，而正交矩陣，實對稱矩陣和實反對稱矩陣都是實正規(guī)矩陣.定義2.2 設(shè)，如果存在階正交（酉）矩陣，使得，（），則稱正交（酉）相似于定理2.1 設(shè)為正規(guī)陣,則與酉相似的矩陣都是正規(guī)陣；必有個線性無關(guān)的特征向量；的屬于不同特征值的特征子空間是互相正交

4、的。定理2.2 矩陣是正規(guī)陣的充要條件是存在酉矩陣，使得，其中是的特征值.例2.1 已知是酉矩陣，且可逆，試證明是反Hermite矩陣.證明 因為，由于，從而,即,故是反Hermite矩陣.3 Hermite二次型在線性代數(shù)中，討論了實二次型，現(xiàn)在將其推廣至復系數(shù)的情形，引入Hermite二次型.定義3.1 設(shè)為個復變量，則元二次齊次函數(shù) 稱為復變量的元二次型.當時，稱為Hermite二次型.若記 ，則Hermite二次型可簡記為，其中是一個Hermite矩陣，矩陣元滿足 .定義3.2 當時，二次型化為 ，稱之為Hermite二次型的標準形.與實二次型相似，作滿秩的線性變換，其中C為滿秩復陣，則.可以證明：矩陣也是Hermite陣，從而的復二次型化成了的復二次型.當時,二次可化為標準形.定理3.1 任給一個Hermite二次型,總存在一個酉變換，把二次型化為標準形，其中是的特征值.例3.1 設(shè),求酉變換將其化為標準形.解 二次