學案26平面向量的基本定理及坐標表示

1、學案26平面向量的基本定理及坐標表示導學目標： 1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件自主梳理1平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個_向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，_一對實數(shù)1，2，使a_.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_2夾角（1）已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的_(2)向量夾角的范圍是_，a與b同向時，夾角_；a與b反向時，夾角_.(3)如果向量a與b的夾角是_，我們說a與b垂直，記作_

2、3把一個向量分解為兩個_的向量，叫做把向量正交分解4在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y使axiyj，我們把有序數(shù)對_叫做向量a的_，記作a_，其中x叫a在_上的坐標，y叫a在_上的坐標5平面向量的坐標運算(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和實數(shù)，那么ab_，ab_，a_.（2）已知A（），B（），則(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的_的坐標減去_的坐標6若a(x1，y1)，b(x2，y2) (b0)，則ab的充要條件是_7(1)P1(

3、x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1P2的中點P的坐標為_(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則P1P2P3的重心P的坐標為_自我檢測1(2010·福建)若向量a(x,3)(xR)，則“x4”是“|a|5”的 ()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件2設a，b，且ab，則銳角為 ()A30°B45°C60°D75°3.（2011·馬鞍山模擬）已知向量a=(6，-4)，b（0，2），cab，若C點在函數(shù)ysin x的圖象上，則實數(shù)等于 ()A. B.C D4(2010&#

4、183;陜西)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，則m_.5.（2009·安徽）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上變動，若xy，其中x，yR，則xy的最大值是_. 探究點一平面向量基本定理的應用例1 如圖所示，在OAB中，AD與BC交于點M，設a，b，以a、b為基底表示.變式遷移1 （2011·廈門模擬）如圖，平面內(nèi)有三個向量、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且|1，|2，若(、R)，則的值為_探究點二平面向量的坐標運算例2 已知A（-2，4），B（3，

5、-1），C（-3，-4），且3，2，試求點M，N和的坐標變式遷移2 已知點A（1，-2），若向量|與a(2,3)同向，|2，則點B的坐標為_探究點三在向量平行下求參數(shù)問題例3(2011·嘉興模擬)已知平面內(nèi)三個向量：a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實數(shù)m、n；(2)若(akc)(2ba)，求實數(shù)k.變式遷移3(2009·江西)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，則k_.1在解決具體問題時，合理地選擇基底會給解題帶來方便在解有關三角形的問題時，可以不去特意選擇兩個基本向量，而可以用三邊所在的三個向量，最后可以根據(jù)需要

6、任意留下兩個即可，這樣思考問題要簡單得多2.平面直角坐標系中，以原點為起點的向量a，點A的位置被a所唯一確定，此時a的坐標與點A的坐標都是(x，y)向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即向量(x，y)向量點A(x，y)要把點的坐標與向量的坐標區(qū)分開，相等的向量坐標是相同的，但起點、終點的坐標可以不同，也不能認為向量的坐標是終點的坐標，如A(1,2)，B(3,4)，則(2,2) (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1.已知a,b是不共線的向量，若1ab，a2b， (1，2R)，則A、B、C三點共線的充要條件為 ()A121B121C1210D12102.如圖所示，平

7、面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分、（不包括邊界）.若ab，且點P落在第部分，則實數(shù)a，b滿足 ()Aa>0，b>0Ba>0，b<0Ca<0，b>0Da<0，b<03(2011·湛江月考)設兩個向量a(2，2cos2)和b，其中、m、為實數(shù)若a2b，則的取值范圍是 ()A6,1B4,8C(，1D1,64.設02時，已知兩個向量(cos ，sin )，(2sin ，2cos )，則向量長度的最大值是 ()A. B.C3D25.在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若(2,4)，(1,3)，則等于()A(2，4)B(

8、3，5)C(3,5)D(2,4)題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6.（2011·煙臺模擬）如圖所示，在ABC中，點O是BC的中點.過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若m，n，則mn的值為_7在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊ABDC，ADBC.已知A(2,0)，B(6,8)，C(8，6)，則D點的坐標為_8.(2009·天津)在四邊形ABCD中，(1,1)，···，則四邊形ABCD的面積為_三、解答題(共38分)9.（12分）已知A、B、C三點的坐標分別為（-1，0）、（3，-1）、（1，2），并

9、且，.求證：.10(12分)(2011·宣城模擬)在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知向量m(a，b)，向量n(cos A，cos B)，向量p(2sin，2sin A)，若mn，p29，求證：ABC為等邊三角形11.（14分）如圖，在邊長為1的正ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點，若m，n，m，n(0,1)設EF的中點為M，BC的中點為N.(1)若A，M，N三點共線，求證：mn；（2）若m+n=1,求的最小值答案 自主梳理1不共線有且只有1e12e2基底2.(1)夾角(2)0，0(3)ab3.互相垂直4.(x，y)坐標(x，y)x軸y軸5.(1)(x1x2，y

10、1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)終點始點6x1y2x2y107.(1)(2)自我檢測1A由x4知|a|5；由|a|5，得x4或x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要條件2Bab，×sin cos 0，sin 21,290°，45°.3Acab(6，42)，代入ysin x得，42sin 1，解得.41解析ab(1，m1)，由(ab)c，得1×2(m1)×(1)0，所以m1.52解析建立如圖所示的坐標系，則A(1,0)，B(cos 120°，sin 120°)，即B(，)設,則 (cos ，sin )x

11、y(x,0)(cos ，sin )xysin cos 2sin(30°)0°120°，30°30°150°.xy有最大值2，當60°時取最大值課堂活動區(qū)例1解題導引 本題利用方程的思想，設=ma+nb，通過建立關于m、n的方程求解，同時注意體會應用向量法解決平面幾何問題的方法.解 設manb (m，nR)，則(m1)anb，baab.因為A，M，D三點共線，所以，即m2n1.而anb，baab，因為C，M，B三點共線，所以，即4mn1.由解得所以ab.變式遷移16解析 如右圖， 在OCD中，COD30°，OCDCO

12、B90°，可求|4，同理可求|2，4，2，6.例2解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)3(3,24)，2(12,6)設M（x，y），則(x3，y4)(3,24)，M(0,20)同理可得N（9，2），因此=（9，18）.所求M（0，20），N（9，2），(9，18)變式遷移2(5,4)解析向量與a同向，設(2t,3t) (t>0)由|2，4t29t24×13.t24.t>0，t2.(4,6)設B為(x，y)，例3解(1)ambnc，m，nR，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)解之得(2)(akc)(2ba)，且akc

13、(34k,2k)，2ba(5,2)，(34k)×2(5)×(2k)0，k.變式遷移35解析ac(3,1)(k,7)(3k，6)，且(ac)b，k5.課后練習區(qū)1CA、B、C三點共線與共線k1210.2.B 由于點P落在第部分，且ab，則根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義及平行四邊形法則知a>0，b<0.3A2b(2m，m2sin )，22m，2cos2m2sin ，(2m2)2mcos22sin ，即4m29m41sin22sin .又21sin22sin 2，24m29m42，解得m2，4.又2m2，2，621.62解析方法一若M與B重合，N與C重合，則mn2.方法二

14、2mn，.O、M、N共線，1.mn2.7(0，2)解析設D點的坐標為(x，y)，由題意知，即(2，2)(x2，y)，所以x0，y2，D(0，2)8.S|sin 60°××.9證明設E、F兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則依題意，得(2,2)，(2,3)，(4，1)，.(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(4分)(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1).(x2，y2)(x1，y1).(8分)又(4，1)，4×(1)×0，.(12分)10證明mn，acos Bbcos A.由正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos A，即sin(AB)0.A、B為三角形的內(nèi)角，<AB<.AB.(5分)p29，8sin24sin2