網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、無源性和耗散性

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、無源性和耗散性目錄專心-專注-專業(yè)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性、無源性和耗散性第1章 概述穩(wěn)定是系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的前提必要條件。論文介紹了非線性系統(tǒng)平衡點Lyapunov穩(wěn)定性分析理論，包括各種穩(wěn)定形式的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義、穩(wěn)定性判別定理。另外，從映射或算子的角度給出了非線性系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定性的定義與判別方法。無源性的概念是與實際系統(tǒng)的能量存儲函數(shù)以及外部輸入和輸出信號相關(guān)的概念。它把系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性和穩(wěn)定性聯(lián)系在一起，為分析非線性系統(tǒng)平衡點處Lyapunov穩(wěn)定性和系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定性提供了方便直觀的工具。論文介紹了無源性定義和條件。將無源性的概念擴(kuò)展，即可引入與系

2、統(tǒng)性能準(zhǔn)則相關(guān)的系統(tǒng)耗散性的概念，這為分析非線性系統(tǒng)抗擾性能提供了有力工具。論文對耗散性概念、條件和意義進(jìn)行了闡述。論文還表明了三者之間的關(guān)系。第2章 網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性對于實際工程中的動態(tài)系統(tǒng)來講，穩(wěn)定性是最基本的要求。對于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，存在許多不同類型的穩(wěn)定性問題1。例如，Lyapunov穩(wěn)定性無外部信號激勵的情況下，系統(tǒng)的狀態(tài)能夠從任意的初始點回到自身所固有的平衡狀態(tài)的特性。因此，也稱為平衡點的Lyapunov穩(wěn)定性。輸入-輸出穩(wěn)定性和輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性在有界的外部信號激勵下，系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)響應(yīng)能夠停留在有界的范圍內(nèi)的穩(wěn)定特性，輸入-輸出穩(wěn)定性也叫有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定性。

3、對于線性系統(tǒng)來講，平衡點的Lyapunov穩(wěn)定性和輸入-狀態(tài)(或輸出)穩(wěn)定性實際上是等價的，但是對于一般的非線性系統(tǒng)則不然。下面1-3節(jié)討論平衡點的Lyapunov穩(wěn)定性，4-6節(jié)討論輸入-狀態(tài)(或輸出)穩(wěn)定性。2.1 系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性定義2.1.1 自治系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性考慮如下所描述的非線性自治系統(tǒng)：式中，為狀態(tài)變量；是關(guān)于局部Lipschitz的；是系統(tǒng)初始條件。假設(shè)為包含點的域，且為式系統(tǒng)的一個平衡點，即。根據(jù)微分方程理論可知，在是關(guān)于局部Lipschitz的條件下，對于任意初始條件，式系統(tǒng)的解在上有定義且是連續(xù)的。以后的討論中，除非特別聲明，均假設(shè)系統(tǒng)滿足上述解的存在性條件。需指出，這

4、里只討論平衡點在坐標(biāo)原點的穩(wěn)定性問題。這是不失一般性的。因為任何平衡點均可通過坐標(biāo)變量變換而移到原點，如，則令，那么，就有，平衡點為。為此，對于式系統(tǒng)有如下的一些平衡點穩(wěn)定性定義。定義2.1（Lyapunov穩(wěn)定性）如果對于任意給定的，存在一個常數(shù)，使得對任意滿足的初始條件，式系統(tǒng)的解滿足則稱式系統(tǒng)在平衡點處是Lyapunov穩(wěn)定的，簡稱穩(wěn)定。定義2.2（漸近穩(wěn)定性）如果式系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定的，且選取使得或等價地，存在和，使得，則稱式系統(tǒng)在平衡點處是漸近穩(wěn)定的。定義2.3（指數(shù)穩(wěn)定性）如果存在常數(shù)，使得對任意滿足的初始條件，式系統(tǒng)的解滿足則稱式系統(tǒng)在平衡點處是指數(shù)穩(wěn)定的。定義2.4（不穩(wěn)定）如

5、果對于某一個，不管多么小，至少存在一個，使得時，式系統(tǒng)的解有則稱式系統(tǒng)在平衡點處是不穩(wěn)定的。注2.1 由上述定義可以知道，一個系統(tǒng)在平衡點處如果是指數(shù)穩(wěn)定的，就一定是漸近穩(wěn)定的、Lyapunov穩(wěn)定的，如果是漸近穩(wěn)定的就一定是Lyapunov穩(wěn)定的；但反之，若是Lyapunov穩(wěn)定的，不一定是漸近穩(wěn)定的，是漸近穩(wěn)定的，不一定是指數(shù)穩(wěn)定的。注2.2 對于非線性系統(tǒng)，還要注意局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性的概念。局部穩(wěn)定性是指對于，性能成立。而全局穩(wěn)定性是指，性能均成立。注2.3 對于線性定常系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定性總是全局的和指數(shù)穩(wěn)定的，不穩(wěn)定總是隱含指數(shù)發(fā)散的。只有非線性系統(tǒng)才區(qū)別漸近穩(wěn)定性、指數(shù)穩(wěn)定性、全局

6、穩(wěn)定和局部穩(wěn)定。線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性是一致的，因為線性系統(tǒng)只有一個平衡點，平衡點的穩(wěn)定性，即是系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。2.1.2 時變系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性考慮非線性時變系統(tǒng)式中，為狀態(tài)變量；為時間變量；是的分段連續(xù)函數(shù)，且關(guān)于在上局部Lipschitz，是包含原點的域。，即是平衡點。同樣，也只研究平衡點在原點的情況。如果平衡點不在原點，可以通過坐標(biāo)變換將其移到原點。例如，假設(shè)系統(tǒng)的解為，通過坐標(biāo)變換，系統(tǒng)變換為因此，原點是系統(tǒng)在時的一個平衡點，可以通過判別被變換系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性能，來確定原系統(tǒng)解的穩(wěn)定性能。對于任意初始條件，式系統(tǒng)的解在上有定義且是連續(xù)的。非自治系統(tǒng)平衡點處的穩(wěn)定性概念與上

7、面介紹的自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念基本相同，不同的是自治系統(tǒng)的解僅依賴于，而非自治系統(tǒng)的解既依賴于，又依賴于。因此，對于非自治系統(tǒng)，各種穩(wěn)定性的定義需要修改，而且需要更詳細(xì)的劃分。定義2.5（Lyapunov穩(wěn)定性和一致Lyapunov穩(wěn)定性）如果對于任意給定的及初始時刻，存在一個常數(shù)，使得對任意滿足的初始條件，式系統(tǒng)的解滿足則稱平衡點是Lyapunov穩(wěn)定的。如果在上述定義中，而與無關(guān)，則稱平衡點是一致Lyapunov穩(wěn)定的。如果式對任意成立，則稱平衡點是全局穩(wěn)定的。定義2.6（漸近穩(wěn)定性和一致漸近穩(wěn)定性）如果式系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定的，且存在使得則稱平衡點是漸近穩(wěn)定的。如果平衡點是漸近穩(wěn)定的，且存在

8、的與無關(guān)，則稱平衡點是一致漸近穩(wěn)定的。如果平衡點是一致穩(wěn)定的，且對于每對正數(shù)和，存在，使得則稱平衡點是全局一致漸近穩(wěn)定的。定義2.7（指數(shù)穩(wěn)定性）若式系統(tǒng)在平衡點是漸近穩(wěn)定的，且存在正數(shù)和，使得下式成立：則稱平衡點是指數(shù)穩(wěn)定的。如果式對任意成立，則稱平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定。需指出，時變系統(tǒng)平衡點的指數(shù)穩(wěn)定即為一致指數(shù)穩(wěn)定。2.2 平衡點穩(wěn)定性判別方法第2.1節(jié)給出了系統(tǒng)平衡點各種穩(wěn)定性的定義，平衡點的穩(wěn)定性是可以根據(jù)這些定義來判別的，但是直接由定義進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別，有時候是很困難的，因此，控制理論發(fā)展了平衡點穩(wěn)定性判別方法。2.2.1 自治系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性判據(jù)1. Lyapunov穩(wěn)定性定理定理

9、2.1 對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是包含的域，是連續(xù)可微函數(shù)。如果在內(nèi)，有(1)，且，即在內(nèi)是正定函數(shù)；(2),即是半負(fù)定函數(shù)。則系統(tǒng)在平衡點處是Lyapunov穩(wěn)定的。2. 漸近穩(wěn)定性定理定理2.2 對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是包含的域，是連續(xù)可微函數(shù)。如果在內(nèi)，有(1)，且，即在內(nèi)是正定函數(shù)；(2),且即是負(fù)定函數(shù)。則系統(tǒng)在平衡點處是漸近穩(wěn)定的。定理2.3 （全局漸近穩(wěn)定）對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是連續(xù)可微函數(shù)。如果(1)，；(2),。則系統(tǒng)在平衡點處是全局漸近穩(wěn)定的。3. 指數(shù)穩(wěn)定性定理定理2.4 對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是包含的域。如果存在連續(xù)函數(shù)，常數(shù)，使得對任意的，有(1)；(2)。則

10、系統(tǒng)在平衡點處是局部指數(shù)穩(wěn)定的。如果對于任意的，條件（1）、（2）都成立，則平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的。4. 不穩(wěn)定定理定理2.5 對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是包含的域。若存在連續(xù)可微函數(shù)，有，并且對于在原點的任意小鄰域內(nèi)（很?。┯小Ｍ瑫r，定義集合，在域內(nèi)。則此時系統(tǒng)在平衡點是不穩(wěn)定的。5. 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判別現(xiàn)在考慮自治系統(tǒng)的特例線性定常系統(tǒng)的情況。線性定常系統(tǒng)描述為其中，是非奇異陣。式系統(tǒng)有唯一的平衡點。則平衡點的穩(wěn)定性可由如下定理判別。定理2.6 對于式系統(tǒng)，平衡點是漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣的所有特征根滿足，即矩陣為Hurwitz矩陣。而矩陣特征根均為負(fù)實部，當(dāng)且僅當(dāng)對任意給定的正定對稱陣

11、，存在滿足如下Lyapunov方程的對稱正定陣，而且，如果陣是穩(wěn)定陣，那么，是方程的唯一解。6. 非線性系統(tǒng)的線性化考慮式非線性系統(tǒng)，其中，是連續(xù)可微的函數(shù)，包含在中，且是平衡點，。由中值定理有其中，是連接與原點的線段上的一點。由于，則所以有其中，。函數(shù)滿足不等式，由于的連續(xù)性，有當(dāng)時，。這意味著在原點的很小的鄰域內(nèi)，非線性系統(tǒng)可以用它的關(guān)于原點的線性化來近似表示，則在原點的穩(wěn)定性可以用其近似方程中矩陣來判別。進(jìn)而有下面的Lyapunov間接定理。定理2.7 對于式系統(tǒng)，是平衡點，連續(xù)可微，是原點的一個鄰域。令，則(1)如果的所有特征根均為負(fù)實部，原點是漸近穩(wěn)定的。(2)如果的特征根有一個或多

12、個，原點是不穩(wěn)定的。注2.4 定理2.7并未給出對于所有的特征根，對于一些特征根的情況的結(jié)論，在這種情況下，用線性化不能確定原點的穩(wěn)定性。2.2.2 時變系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性判別本節(jié)將討論式時變系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定的條件。注意，與自治系統(tǒng)相比，時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析增加了一致性的概念。設(shè)是原點的一個鄰域，是初始時刻。定理2.8 （Lyapunov穩(wěn)定定理）對于式系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微的正定函數(shù)，并且沿式系統(tǒng)的軌跡對的導(dǎo)數(shù)是連續(xù)半負(fù)定的，則是該系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點。若是正定且漸小的，即存在正定函數(shù)，使得，則平衡點是一致Lyapunov穩(wěn)定的。定理2.9 （漸近穩(wěn)定定理）對于式系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微函數(shù)

13、，和連續(xù)正定函數(shù)，使得和沿式系統(tǒng)的任意軌跡的時間導(dǎo)數(shù)滿足(1)(2)則是該系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定的平衡點。如果，是徑向無界，則是該系統(tǒng)的全局一致漸近穩(wěn)定的平衡點。定理2.10 對于式系統(tǒng)，若是系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)，且滿足(1)；(2)。其中，為給定常數(shù)，則零解是指數(shù)穩(wěn)定的。2.3 Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法以下是一些實際中常采用的函數(shù)構(gòu)造方法。1. 線性定常系統(tǒng)：取，解，求出，由的正定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，函數(shù)構(gòu)造為。2. 線性時變系統(tǒng)：取，解，求出，由連續(xù)、對稱、正定判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，函數(shù)構(gòu)造為。3. 非線性自治系統(tǒng)：(1)Jacobian矩陣法先計算Jacobian矩陣，選取，

14、為對稱正定陣，則的時間導(dǎo)數(shù)為令，則給定，求出，由的正定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。特例，則，是克拉索夫斯基法。(2)變量梯度法由，其中，若選取使得為負(fù)，同時滿足旋度方程，則在此條件下求得2.4 穩(wěn)定性一般將非線性系統(tǒng)的動態(tài)過程描述為如下的狀態(tài)空間表達(dá)式形式：式中，為該系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)；為系統(tǒng)外部輸入信號；為系統(tǒng)輸出信號。在考慮外部輸入信號作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)特性分析時，可以采用輸入輸出法來建模非線性系統(tǒng)，就像可以采用傳遞函數(shù)這種外部描述法來建模線性系統(tǒng)一樣。即非線性系統(tǒng)輸入-輸出之間關(guān)系被描述為如下形式：其中，代表某種映射或算子，指定了輸入和輸出之間的關(guān)系。下面研究工程系統(tǒng)的品質(zhì)特性，即從映射或算子的角度

15、給出非線性系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定性的定義與判別方法。1. 穩(wěn)定性定義定義2.8 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在定義在上的函數(shù)和一個非負(fù)常數(shù)，使得對任意，有成立，則稱算子是穩(wěn)定的。其中表示向量空間的范數(shù)。定義2.9 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在非負(fù)常數(shù)和，使得對任意，有成立，則稱算子是有限增益穩(wěn)定的。注2.5 如果，是一致有界信號的空間，則穩(wěn)定性即為有界輸入有界輸出穩(wěn)定性。顯然BIBO穩(wěn)定意味著任何一個有界輸入的激勵響應(yīng)都是有界的。由于范數(shù)的等價性，表征BIBO穩(wěn)定的定義不局限于空間或-范數(shù)。實際上，只要輸入信號在某種范數(shù)意義下有界時，輸出信號也在同一范數(shù)意義下是有界的，則可稱該系統(tǒng)是B

16、IBO穩(wěn)定的。定義2.10 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在正常數(shù)，使得對所有具有的，有不等式或不等式成立，則稱算子是小信號穩(wěn)定的或小信號有限增益穩(wěn)定的。2.5 增益穩(wěn)定性在系統(tǒng)分析中起著特殊的作用，因為是平方可積信號，因此?？煽闯蔀橛邢薜哪芰啃盘?。在許多抗干擾控制問題中，系統(tǒng)可以被看成是從一個干擾輸入到一個被控制輸出的輸入輸出映射，希望輸出信號很小。如果使用輸入信號，那么，控制設(shè)計的目的是保證輸入輸出映射是有限增益穩(wěn)定的，并且使系統(tǒng)的增益最小。定理2.11 考慮線性定常系統(tǒng)其中，為Hurwitz矩陣。設(shè)，則系統(tǒng)的增益是即。定理2.12 考慮非線性自治系統(tǒng)式中，是局部Lipschiz的，在

17、上連續(xù)，且。如果存在一個連續(xù)可微的半正定函數(shù)和一個正數(shù)，使得如下不等式成立：那么，對于所有的，系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的，且它的增益不大于。2.6 小增益定理Error! Reference source not found.中的系統(tǒng)是由兩個子系統(tǒng)和反饋連接構(gòu)成的。假設(shè)兩圖 21 反饋連接系統(tǒng)個系統(tǒng)都是有限增益穩(wěn)定的，即有進(jìn)一步假設(shè)對每對輸入和，都存在唯一的輸出和，在此意義下反饋系統(tǒng)有明確的定義下面的小增益定理給出了反饋連接系統(tǒng)有限增益穩(wěn)定性的一個條件。定理2.13（小增益定理）對于Error! Reference source not found.，在前面的假設(shè)條件下，如果，則反饋連接系統(tǒng)是有限增

18、益穩(wěn)定的。第3章 網(wǎng)絡(luò)的無源性無源性的概念來源于電網(wǎng)絡(luò)和物理學(xué)的分支3，是與系統(tǒng)的能量存儲函數(shù)以及外部輸入和輸出信號相關(guān)的概念。因此，無源性很好地把系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性和穩(wěn)定性聯(lián)系起來，為分析非線性系統(tǒng)提供了一個有力的工具。由于無源性理論利用了物理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點，無源性方法和其它控制技巧結(jié)合使用時，可以簡化相應(yīng)的控制方法，用無源化方法設(shè)計的非線性觀察器觀測器可以減少觀測器的參數(shù)，而且它也可以簡化自適應(yīng)控制，魯棒控制，滑模控制控制，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊控制。近年來，無源性理論廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)設(shè)計，機(jī)器人控制，機(jī)械系統(tǒng)，電力系統(tǒng)和化工過程等方面3,4。3.1 無源性的概念無源性的概念來源于電網(wǎng)絡(luò)

19、，所以用電路來闡述該定義。Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.所示是電壓為，電流為的單端口電阻元件，把該元件看成是以電壓為輸入，電流為輸出的系統(tǒng)。，為電導(dǎo)。圖 31 無源電阻如果輸入功率始終是非負(fù)，即如果在特性的每個點都滿足，則該電阻元件是無源的。對于一個多端口的網(wǎng)絡(luò)，和是向量，流入網(wǎng)絡(luò)的功率是內(nèi)積。如果對于所有都有，則認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)是無源的。是無源性的極限情況。在這種情況下，認(rèn)為系統(tǒng)是無損耗的。首先把這一無源性概念推廣到無記憶非線性函數(shù)其中，。定義3.1 考慮式系統(tǒng)，（1）如果，則系統(tǒng)是無源的；（2

20、）如果，則系統(tǒng)是無損的；（3）如果存在某一函數(shù)，滿足，則系統(tǒng)是輸入前饋無源的；（4）如果滿足，且，則系統(tǒng)是輸入嚴(yán)格無源的；（5）如果存在某一函數(shù)，滿足，則系統(tǒng)是輸出反饋無源的；（6）如果滿足，且，則系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無源的。以下定義由狀態(tài)空間表達(dá)式描述的非線性系統(tǒng)的無源性，其中，狀態(tài)向量，為空間中含原點的子集或者整個空間，和分別為維的輸入信號和輸出信號。是局部Lipschitz的，是連續(xù)的，且，。定義3.2 對于式系統(tǒng)，如果存在連續(xù)可微的半正定的函數(shù)，使得對任意的輸入信號都成立，則稱式系統(tǒng)是無源的。則稱為能量存儲函數(shù)，簡稱存儲函數(shù)，式稱為耗散不等式。若式中只取不等號，或者存在正定函數(shù)，使得耗散不等

21、式對任意的輸入信號都成立，則稱該系統(tǒng)是嚴(yán)格無源的。如果不是整個空間，即只考慮局部特性，那么耗散不等式不要求對任意的輸入都成立，而是對那些使得狀態(tài)停留在內(nèi)的輸入信號成立即可。顯然，由上述定義可知，無源性是與系統(tǒng)的外部輸入、輸出信號相關(guān)的概念。如果視為系統(tǒng)在時刻所具有的能量總和，那么耗散不等式的左端就代表系統(tǒng)從初始時刻到時刻的能量的總增量。如果進(jìn)一步把解釋為伴隨著輸入由外部注入到系統(tǒng)的能量供給率，那么式的右端就是在時間從外部注入系統(tǒng)的能量總和。因此，耗散不等式的物理意義就在于，它表明系統(tǒng)的能量由初始時刻到目前時刻的增長量總是小于等于外部注入的能量總和。這就意味著無源系統(tǒng)的運(yùn)動總是伴隨著能量的損耗。

22、下面給出針對系統(tǒng)給出一些無源性相關(guān)定義。定義3.3 對于式系統(tǒng)，如果存在連續(xù)可微的半正定的函數(shù)，使得則稱式系統(tǒng)是無源的，其中是非負(fù)常數(shù)，是的一個正定函數(shù)，且對于所有的解和任意使解存在的，有。更進(jìn)一步，有（1）如果，且有，系統(tǒng)是無損的；（2）如果，即，系統(tǒng)是輸入嚴(yán)格無源的；（3）如果，即，系統(tǒng)是輸出嚴(yán)格無源的；（4）如果，即，系統(tǒng)是狀態(tài)嚴(yán)格無源的；（5）如果中多于一個為正，則可以合并命名，例如，則系統(tǒng)是輸入輸出嚴(yán)格無源的。3.2 無源性條件考慮非線性系統(tǒng)式中，和分別為狀態(tài)向量、輸入信號和輸出信號。和分別為維和維的函數(shù)向量；為維的函數(shù)矩陣；為維的函數(shù)矩陣。定義3.4 對于式系統(tǒng)，若存在半正定函數(shù)、

23、函數(shù)矩陣及，使得成立，則稱式系統(tǒng)具有KYP特性。定理3.1 式系統(tǒng)是無源的充分必要條件是存在光滑可微的半正定存儲函數(shù)，使得該系統(tǒng)具有KYP特性。考慮線性系統(tǒng)注意到式線性系統(tǒng)是式非線性系統(tǒng)的特例。定理3.2 線性時不變最小實現(xiàn)為式系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為（1）如果是正實的，則系統(tǒng)是無源的；（2）如果是嚴(yán)格正實的，則系統(tǒng)是嚴(yán)格無源的。第4章 網(wǎng)絡(luò)的耗散性第3.1節(jié)中所介紹的無源性概念，反映了系統(tǒng)在運(yùn)動過程中能量的耗損特性。對系統(tǒng)耗散不等式的這種物理解釋實際上基于一種前提，即存儲函數(shù)表示系統(tǒng)在狀態(tài)所具有的能量綜合。代表單位時間內(nèi)隨輸入信號注入系統(tǒng)的能量供給率。如果考慮更一般的供給率，即單位時間內(nèi)由外部注入的

24、能量為輸入-輸出信號的更一般的函數(shù)，那么耗散不等式為同樣反映了所對應(yīng)的能量耗損特性。耗散性和作為其特例的無源性概念廣泛存在與物理學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)及其力學(xué)等領(lǐng)域。它們在控制領(lǐng)域里的應(yīng)用起源于Kalman、popov、Yakubocich和Willems等在超穩(wěn)定性，正實性等方面開創(chuàng)性的工作，后經(jīng)眾多控制工作者的共同努力形成了系統(tǒng)的耗散性和無源性理論。耗散系統(tǒng)在任意時刻所具有的能量總是小于或等于系統(tǒng)初始時刻的能量和外部提供的能量之和，這種物理意義和無源性完全相同，只是在能量供給方式上更具有一般性5。關(guān)于線性系統(tǒng)的耗散性研究，線性定常系統(tǒng)的無源性或傳遞函數(shù)的正實性首先是人們關(guān)注的焦點。傳遞函數(shù)的正實性是

25、線性定常系統(tǒng)的一種重要性質(zhì)，在絕對穩(wěn)定性分析、超穩(wěn)定性理論、無源性分析、二次優(yōu)化控制及自適應(yīng)控制理論等多個領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛。近年來，受魯棒穩(wěn)定性分析中參數(shù)化方法的刺激，正實性綜合受到了廣泛的關(guān)注。關(guān)于非線性系統(tǒng)的耗散性研究，一般非線性系統(tǒng)的耗散性研究主要集中在仿射系統(tǒng)的無源性及無源化上。Molan將KYP引理推廣到了仿射非線性系統(tǒng)的情形，并證明了對仿射非線性系統(tǒng)，在局部能控的假設(shè)下，輸入輸出無源性和基于狀態(tài)空間的無源性定義是等價的。而Hill研究了無源性和穩(wěn)定性之間的關(guān)系，揭示出零狀態(tài)可觀系統(tǒng)的儲能函數(shù)是正定的，從而斷定這樣的無源系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并進(jìn)一步指出此時系統(tǒng)可通過無記憶輸出反饋漸近鎮(zhèn)定。這

26、就是說，對無源系統(tǒng)，只要零狀態(tài)可觀測。簡單的單位負(fù)反饋就可使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定6。這些研究成果為控制系統(tǒng)的無源性設(shè)計方法奠定了理論基礎(chǔ)。無源性理論是當(dāng)今非線性系統(tǒng)分析和設(shè)計的重要工具，而使系統(tǒng)無源即系統(tǒng)的無源化成為基于無源分析的控制系統(tǒng)設(shè)計的關(guān)鍵。本文從非線性系統(tǒng)出發(fā)，給出耗散性的定義和相關(guān)性質(zhì)。4.1 耗散性定義定義4.1 考慮式系統(tǒng)及能量供給率。若存在半正定的存儲函數(shù)使得耗散不等式對于任意輸入成立，則稱該系統(tǒng)對能量供給率是耗散的。顯然，無源性是耗散性的一種特例，即如果系統(tǒng)對于供給率是耗散的，那么就稱該系統(tǒng)是無源的。在非線性控制理論中，還有一種重要的供給率就是所謂的供給率其中，為給定正數(shù)。表示對向

27、量的歐幾里得范數(shù)。如果式系統(tǒng)對于式供給率是耗散的，則稱該系統(tǒng)是耗散的。如果式系統(tǒng)是耗散的，那么，沿任意零初始狀態(tài)所對應(yīng)的軌跡，不等式對于任意的輸入都成立，注意到，即對任意，有。如果進(jìn)一步假設(shè)系統(tǒng)對于任意，有，那么，該系統(tǒng)作為輸入信號空間到輸出信號空間的算子，其誘導(dǎo)范數(shù)滿足式中，為范數(shù)，或者對于任意給定的成立。不等式的左端為式系統(tǒng)的范數(shù)的定義。若式或式成立，則稱式系統(tǒng)具有小于或等于的增益。當(dāng)存儲函數(shù)光滑可微時，耗散不等式就可以等價地表示為其微分形式或者耗散不等式等價于。綜合上述討論。，有下面的引理。引理4.1 對于給定的正數(shù)，若式系統(tǒng)是耗散的，則該系統(tǒng)具有小于或等于的增益。定理4.1 考慮式非線

28、性系統(tǒng)。對于給定的正數(shù)，存在光滑可微的存儲函數(shù)使得系統(tǒng)是耗散的充分必要條件是成立，且存在適合的函數(shù)向量和滿足推論4.1 對于給定的，式系統(tǒng)對于二次型正定存儲函數(shù)是耗散的充分必要條件是存在適當(dāng)?shù)木仃囀沟贸闪ⅰＦ渲?，為滿足的任意矩陣。4.2 耗散性意義：耗散理論從一類耗能網(wǎng)絡(luò)中抽象出來具有廣泛的工程背景，已經(jīng)成為自適應(yīng)系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計的重要工具。而耗散控制可將控制和無源控制統(tǒng)一起來，為控制系統(tǒng)設(shè)計提供一種更靈活、保守性較小的方法。不僅如此，耗散控制也是魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計的重要方法。另外，由于實際系統(tǒng)難以精確描述，運(yùn)行過程中也有各種各樣的不確定性，解決了魯棒耗散問題才能使耗散理論的應(yīng)

29、用更加有效，所以研究不確定系統(tǒng)的魯棒耗散控制問題既有重要的理論價值也具有重要的實際意義。研究耗散性和無源性理論的主要出發(fā)點在于他們運(yùn)用基于能量的輸入輸出描述給出了控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的新框架，對系統(tǒng)控制的諸多方面都起到很大的推動作用。具體的說，第一、他們?yōu)槔钛牌罩Z夫函數(shù)的構(gòu)造提供了新方法。在現(xiàn)代理論中，經(jīng)常要用到李雅普諾夫函數(shù)，但其實際可行的構(gòu)造方法并不多，而無源系統(tǒng)的存儲函數(shù)在一定條件下便可以作為李雅普諾夫函數(shù)。這個事實也為無源性理論和非線性系統(tǒng)集幾何理論的深入結(jié)合來解決系統(tǒng)控制問題提供了良好的基礎(chǔ)：第二、應(yīng)用它們可方便研究受控動態(tài)系統(tǒng)的諸如系統(tǒng)鎮(zhèn)定，調(diào)節(jié)問題，魯棒控制，自適應(yīng)控制，最優(yōu)控制以

30、及控制等重要課題。不僅在控制理論方面有著重要的作用，耗散性和無源性理論在許多實際系統(tǒng)，如機(jī)器人系統(tǒng)，電機(jī)系統(tǒng)，內(nèi)燃機(jī)工程，化工過程等的研究中扮演著很重要的角色，有時甚至不可或缺。綜上所述，系統(tǒng)的耗散性和無源性理論研究不僅具有重要的理論意義，而且具有廣闊的應(yīng)用前景，是一個很有價值的研究課題。第5章 三者之間的關(guān)系5.1 無源性與穩(wěn)定性關(guān)系無源性與穩(wěn)定性間的緊密聯(lián)系可以從兩方面得到體現(xiàn)：l、無源系統(tǒng)的KYP引理；2、無源系統(tǒng)的正定存儲函數(shù)可以作為李雅普諾夫函數(shù)。無源系統(tǒng)并不是穩(wěn)定系統(tǒng)的子集，無源系統(tǒng)加上可探測性條件才會是穩(wěn)定的4。主要討論系統(tǒng)無源性與系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性和系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定性之間的關(guān)系?？紤]動