第二章第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何 意義意義 2會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)的單調(diào)性與最值理理 要要 點(diǎn)點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有 ，那么就，那么就說函數(shù)說函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是增函數(shù)上是增函數(shù)當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有 ，那么就說

2、函數(shù)那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是上是減函數(shù)減函數(shù)f(x1)f(x2) 增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)圖象圖象描述描述自左向右看圖象自左向右看圖象是是 自左向右看圖象是自左向右看圖象是 逐漸上升逐漸上升逐漸下降逐漸下降2單調(diào)區(qū)間的定義單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是上是 或或 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的嚴(yán)格的)單調(diào)性，單調(diào)性， 叫做叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)區(qū)間區(qū)間D二、函數(shù)的最值二、函數(shù)的最值前提前提設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)M滿足滿足條件條件對(duì)于任意對(duì)

3、于任意xI，都有，都有 存在存在x0I，使得，使得 對(duì)于任意對(duì)于任意xI，都，都有有存在存在x0I，使得，使得 結(jié)論結(jié)論M為最大值為最大值M為最小值為最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M究究 疑疑 點(diǎn)點(diǎn)1如果一個(gè)函數(shù)在定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增如果一個(gè)函數(shù)在定義域的幾個(gè)區(qū)間上都是增(減減)函數(shù)，函數(shù)， 能不能說這個(gè)函數(shù)在其定義域上是增能不能說這個(gè)函數(shù)在其定義域上是增(減減)函數(shù)？函數(shù)？2函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增與函數(shù)上單調(diào)遞增與函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增的單調(diào)遞增 區(qū)間為區(qū)間為a，b含義相同嗎？含義相同嗎？提示：提示：含義不同含義不同f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上單調(diào)

4、遞增并不上單調(diào)遞增并不能排除能排除f(x)在其他區(qū)間單調(diào)遞增，而在其他區(qū)間單調(diào)遞增，而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)的單調(diào)遞增區(qū)間為間為a，b意味著意味著f(x)在其他區(qū)間不可能單調(diào)遞增在其他區(qū)間不可能單調(diào)遞增答案：答案： A2下列說法正確的是下列說法正確的是 ()A定義在定義在(a，b)上的函數(shù)上的函數(shù)f(x)，若存在，若存在x1x2，有，有f(x1)f(x2)， 那么那么f(x)在在(a，b)上為增函數(shù)上為增函數(shù)B定義在定義在(a，b)上的函數(shù)上的函數(shù)f(x)，若有無窮多對(duì)，若有無窮多對(duì)x1，x2(a， b)，使得當(dāng)，使得當(dāng)x1x2時(shí)，有時(shí)，有f(x1)f(x2)，那么，那么f(x)在在(a，b)上

5、為上為增函數(shù)增函數(shù)C若若f(x)在區(qū)間在區(qū)間I1上為增函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間I2上也為增函數(shù)，上也為增函數(shù)，那么那么f(x)在在I1I2上也一定為增函數(shù)上也一定為增函數(shù)D若若f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上為增函數(shù)，且上為增函數(shù)，且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那，那么么x1x2答案：答案：D歸納領(lǐng)悟歸納領(lǐng)悟 判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的常用方法：判斷或證明函數(shù)單調(diào)性的常用方法：1定義法定義法第一步：取值，即設(shè)第一步：取值，即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)值且是該區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)值且x10)的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)增區(qū)間是 ()A(0，)B(1，)C(，1) D(，3答案：答案： A解析：解析：二

6、次函數(shù)的對(duì)稱軸為二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x1，又因?yàn)槎雾?xiàng)系，又因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為正數(shù)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸在定義域的左側(cè)，數(shù)為正數(shù)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸在定義域的左側(cè)，所以其單調(diào)增區(qū)間為所以其單調(diào)增區(qū)間為(0，)2函數(shù)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：解析：f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令令f(x)0，解得，解得x2.答案：答案：D3求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一區(qū)間上的單調(diào)性求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一區(qū)間上的單調(diào)性(1)f(x)x22|x|3；(2)f(x)x315x233x6.解：解：

7、(1)依題意，可得依題意，可得當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，f(x)x22x3(x1)24；當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，f(x)x22x3(x1)24.由二次函數(shù)的圖象知，由二次函數(shù)的圖象知，函數(shù)函數(shù)f(x)x22|x|3在在(，1，0,1上是增上是增函數(shù)，在函數(shù)，在1,0，1，)上是減函數(shù)上是減函數(shù)(2)f(x)3x230 x333(x11)(x1)，當(dāng)當(dāng)x11時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；當(dāng)當(dāng)1x11時(shí)，時(shí)，f(x)0，即，即x|x1或或x1令令u(x)x21，圖象如圖所示，圖象如圖所示由圖象知，由圖象知，u(x)在在(，1)上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在(1，)上上是增函數(shù)是增函數(shù)而而f(u)lo

8、g2u是增函數(shù)是增函數(shù)故故f(x)log2(x21)的單調(diào)增區(qū)間是的單調(diào)增區(qū)間是(1，)，單調(diào)減區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間是(，1)歸納領(lǐng)悟歸納領(lǐng)悟 求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法1利用已知函數(shù)的單調(diào)性利用已知函數(shù)的單調(diào)性2定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義3圖象法：如果圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖的圖 象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間4導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2若若f

9、(x)為為R上的增函數(shù)，則滿足上的增函數(shù)，則滿足f(2m)f(m2)的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)m的的取值范圍是取值范圍是_解析：解析：f(x)在在R上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，2m0，m1或或m0時(shí)，時(shí)，f(x)1.(1)求證：求證：f(x)是是R上的增函數(shù)；上的增函數(shù)；(2)若若f(4)5，解不等式，解不等式f(3m2m2)3.解：解：(1)證明：設(shè)證明：設(shè)x1，x2R，且，且x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即即f(x)是是R上的增函數(shù)上的增函數(shù)解：解：函數(shù)函數(shù)f(x)對(duì)于任意對(duì)于任意x，y

10、R，總有，總有f(x)f(y)f(xy)，令令xy0，得，得f(0)0.再令再令yx，得，得f(x)f(x)f(x)在在R上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，f(x)在在3,3上也是減函數(shù)，上也是減函數(shù)，f(x)在在3,3上的最大值和最小值分別為上的最大值和最小值分別為f(3)與與f(3)而而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在在3,3上的最大值為上的最大值為2，最小值為，最小值為2.歸納領(lǐng)悟歸納領(lǐng)悟 f(x)在定義域上在定義域上(或某一單調(diào)區(qū)間上或某一單調(diào)區(qū)間上)具有單調(diào)性，則具有單調(diào)性，則f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0，若函數(shù)是增函數(shù)，則，若函數(shù)是增函數(shù)，則f(x1)f(x

11、2)x1x2，函數(shù)不等式，函數(shù)不等式(或方程或方程)的求解，總是想方的求解，總是想方設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，化為一般不等式設(shè)法去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，化為一般不等式(或方程或方程)求解，求解，但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行但無論如何都必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進(jìn)行一、把脈考情一、把脈考情 從近兩年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用從近兩年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法 預(yù)測預(yù)測2012年高考仍