固體物理CH習(xí)題解答

1、第四章習(xí)題試解1. 一維單原子晶格，在簡(jiǎn)諧近似下，考慮每一原子與其余所有原子都有作用，求格波的色散關(guān)系。解：設(shè)原子質(zhì)量為m，周期為a，第n個(gè)原子偏離平衡位置的位移為n，第n-k及n+k個(gè)原子偏離平衡位置的位移分別為n-k，n+k，其與第n個(gè)原子間的彈性恢復(fù)力系數(shù)為-k，k。n-k n-1 n n+1 n+k顯然：第n 個(gè)原子受n-k 和n+k原子的合力為：第n 個(gè)原子受所有原子的合力為：振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可寫(xiě)為：代入振動(dòng)的格波形式的解 有 色散關(guān)系即為 2. 聚乙烯鏈CHCHCHCH的伸張振動(dòng)，可以采用一維雙原子鏈模型來(lái)描述，原胞兩原子質(zhì)量均為M，但每個(gè)原子與左右鄰原子的力常熟分別為1和2，原子

2、鏈的周期為a。證明振動(dòng)頻率為證：如圖，任意兩個(gè)A原子（或B原子）之間的距離為a，設(shè)雙鍵距離b2，單鍵距離b1 CHCHCHCHCHCHCHCHCHCH 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 A B Ab2 b1只考慮近鄰作用的A，B兩原子的運(yùn)動(dòng)方程為 A： B： 將格波解 和 代入以上運(yùn)動(dòng)方程，有 化簡(jiǎn)得： 同理： 化為以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程組，它的有解條件是 從而得到 3. 求一維單原子鏈的振動(dòng)模式密度g()，若格波的色散可以忽略，其g()具有什么形式，比較這兩者的g()曲線。解：一維情況q空間的密度約化為L(zhǎng)/2，L=Na為單原子鏈的長(zhǎng)度，其中a為原子間距，N為原子數(shù)目。則在

3、dq間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)目為。d頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)目為 等式右邊的因子2來(lái)源于（q）具有中心反演對(duì)稱，q0和q0區(qū)間是完全等價(jià)的。從而有 對(duì)于一維單原子鏈，只計(jì)入最近鄰原子之間的相互作用時(shí)，有 其中m為最大頻率。代入g()得 考慮=cq（德拜近似）由q®0（德拜近似下）, 有 即則有： （常數(shù)）考慮=0（愛(ài)因斯坦近似） 顯然有4. 金剛石（碳原子量為12）的楊氏模量為1012 N·m-2，密度=3.5g·cm-3。試估算它的德拜溫度D=？解：德拜溫度 ， 近似看作彈性介質(zhì)時(shí)，每摩爾原子數(shù)目為N=6.02×1023，摩爾質(zhì)量m=12g，則摩爾體積 代入，

4、得 m=57.97×1013最后得 D=4427K5.試用德拜模型求晶體中各聲頻支格波的零點(diǎn)振動(dòng)能。解：根據(jù)量子理論，各簡(jiǎn)諧振動(dòng)的零點(diǎn)能為德拜近似下 總零點(diǎn)能為 由自由度確定的 代回上式中 6. 一根直徑為3mm的人造藍(lán)寶石晶體的熱導(dǎo)率，在30K的溫度達(dá)到一個(gè)銳的極大值，試估計(jì)此極大值。（藍(lán)寶石在TD=1000K時(shí)，cV=10-1T3J·m-3·K-1）解： m=1.31×1014此時(shí)聲速 在與晶格常數(shù)10-10m近似時(shí)約為2.09×103，近似作為平均聲速代入熱導(dǎo)率 7. Na和Cl的原子量分別為23和37。氯化鈉立方晶胞邊長(zhǎng)為0.56nm，在100方向可以看做是一組平行的離子鏈。離子間距d=0.28nm。NaCl晶體的楊氏模量為5×1010N·m-2，如果全反射的光頻率與q=0的光頻模頻率相等，求對(duì)應(yīng)的光波波長(zhǎng)。解：當(dāng)q=0時(shí)，光頻支頻率為 楊氏模量，且m故，再同兩原子質(zhì)量一同代入頻率式 則波長(zhǎng)=1.53×10-14m8. 立方晶體有三個(gè)彈性模量C11，C12和C44。鋁的C11=10.82×1010N·m-2，C44=2.85×1010N·m-2，鋁沿100方向傳播的彈性波縱波速度