多維隨機變量及其分布

1、 第三章 多維隨機變量及其分布隨機向量的定義：隨機試驗的樣本空間為S=w，若隨機變量X1(w),X2(w),Xn(w)定義在S上，則稱（X1(w),X2(w),Xn(w)）為n維隨機變量（向量）。簡記為（X1,X2,Xn）。二維隨機向量（X,Y），它可看作平面上的隨機點。對（X,Y）研究的問題：1（X,Y）視為平面上的隨機點。研究其概率分布聯(lián)合分布率、聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合概率密度；Joint 2分別研究各個分量X,Y的概率分布邊緣（際）分布律、邊緣分布函數(shù)、邊緣概率密度；marginal 3X與Y的相互關(guān)系；4（X,Y）函數(shù)的分布。§3.1 二維隨機變量的分布一離散型隨機變量1聯(lián)合分布

2、律定義3.1 若二維隨機變量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多個或可列無窮多個,則稱(X,Y) 為二維離散型隨機變量。設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)可能取的值(xi,yj),i，j=1,2,取這些值的概率為pij=P(X,Y)=(xi,yi)=pX=xi,Y=yii,j=1,2,(3.1)稱 (3.1)式為(X,Y)的聯(lián)合分布律。 (X,Y)的聯(lián)合分布律可以用表格的形式表示如下： Y X y1 y2 yjX的邊緣分布率X1p11 p12 p1j P1·.X2p21 p22 p2jP2·MMMMMxipi1 pi2 pij Pi·MMMMMY的邊緣分布率P

3、3;1 p·2M p·j 1性質(zhì)： (1) pij ³ 0，i, j=1,2, (2) =1 2邊緣分布律設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y) 的聯(lián)合分布律為pij=PX=xi,Y=yi i, j=1,2, 分量X和Y的分布律分別為pi.=PX=xi i=1,2,滿足pi.³0S pi.=1p.j= pY=yij=1,2,p.j³0S p.j=1 我們稱pi.和p.j分別為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律，簡稱為(X,Y)的邊緣分布律。 二維離散型隨機變量(X,Y) 的聯(lián)合分布律與邊緣分布率有如下關(guān)系： pi.=PX=xi=PX=xi,S=PX=xi

4、,(Y=yj)=PX=xi,Y=yj=pij (3.4)同理可得 p.j =pij (3.5)例1:一整數(shù)X隨機地在1，2，3三個整數(shù)中任取一值，另一個整數(shù)Y隨機地在1到X中取一值。試求（X,Y）的聯(lián)合分布率及邊緣分布率。解： YX123X的邊緣分布率11/3001/3p1·21/61/601/3p2·31/91/91/91/3p3·Y的邊緣分布率11/185/181/91P·1p·2p·3二聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)1定義3.2 設(shè)（X,Y)是二維隨機變量，對任意的實數(shù)x,y令 F(x,y)=PX£x,Y£y (

5、3.7)則稱 F(x,y)為（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。2F(x,y)的性質(zhì)：性質(zhì)1 對于x和y,F(x,y)都是單調(diào)不減函數(shù)，即若x1<x2,對任意的實數(shù)y，則有 F(x1,y)£F(x2,y)；若y1<y2,對任意的實數(shù)x，則有 F(x,y1)£F(x,y2)。性質(zhì)2 對于任意的實數(shù)x,y,均有 0£F(x,y)£1,F(x,y)=0,F(x,y)=0,F(x,y)=1。性質(zhì)3 對于x和y,F(x,y)都是右連續(xù)的，即對任意的實數(shù)x0和y0，均有F(x,y)=F(x0,y),F(x,y)=F(x,y0)。性質(zhì)4 若x1<x2, y1&

6、lt;y2, 則 F(x2,y2)-F(x2,y1) -F(x1,y2)+F(x1,y1)³0 （X,Y）落于下圖陰影部分的矩形區(qū)域內(nèi)的概率為： F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=Px1<X£x2,y1<Y£y2例 2 P71,照書上講。3邊緣分布(X,Y)的分量X，Y的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y)，稱它們?yōu)閄，Y的邊緣分布函數(shù)。它們與F(x,y)的關(guān)系如下：FX(x)=PX£x=PX£x,-<Y<+=F(x,+)，F(xiàn)Y(y)=PY£y=P-<X<+,Y

7、£y=F(+,y)。例2：(第一版)設(shè),求：(1) (X,Y)的邊緣分布函數(shù)；(2)P(1x2,-1y3)。(3)P(X>2,Y>3)=1- P(X2,Y3)?三連續(xù)性隨機變量 1聯(lián)合概率密度 定義3.3 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),若存在非負函數(shù)f(x,y),使得對于任意的實數(shù)x,y均有 F(x,y)=（3.12)則稱(X,Y)為連續(xù)型隨機變量，并稱f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度，簡稱為概率密度。2f(x,y)有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 f(x,y)³0 性質(zhì)2 =1 性質(zhì)3 若f(x,y)的連續(xù)點(x,y)處，有性質(zhì)4 若隨機點(X,Y)落于平

8、面上相當(dāng)任意的區(qū)域D內(nèi)記為(X,Y)D,則 P(X,Y)D=（3.16）注：在f(x,y)非0域與D公共部分積分有非0值。P71例2 例3：（第一版書上例3.3）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)=求(1)(X,Y) 的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y); (2) PX>1(3)P(X,Y) D，其中D=(x,y):x+y£1; (4)PX2³Y解：注意的非零域為H（1），當(dāng)時， 其他（2）PX>1=1- PX1=1-Fx(1)=1- F(1,+) = (3) P(X,Y)D= = (4) PX2³Y= = = =注是的概率密度，即=可知 PX2

9、9;Y=1-. 3邊緣概率密度設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y) 聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合概率密度分別為F(x,y),f(x,y),分量X,Y的邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)、FY(y)。利用邊緣分布函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系及(3.16)式，可得 FX(x)=F(x,+¥)= (3.17) FY(y)=F(+¥,y)= (3.18)記：fX(x)=為X的邊緣概率密度函數(shù)；fY(y)= 為Y的邊緣概率密度函數(shù)。例2： P74例3： P75 即下面的例5（第一版）,若二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)=其中均為常數(shù)，且則稱(X,Y)服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,通常記為 (X

10、,Y)服從于N。求：(X,Y)的邊緣概率密度 fX(x) ,fY(y)。解：令：且中e的指數(shù)部分改寫為：是的積分函數(shù)，積分=1。即知：X服從于，同理：Y服從于結(jié)果表明：（1）二維正態(tài)分布，其邊緣分布都是一維正態(tài)分布和 。而反之不然。（2）二維R.V.邊緣分布是由聯(lián)合分布唯一確定。（見第一版習(xí)題3.1）例4： （第一版 書上例3.4）設(shè)(X,Y)在圓域D=(x,y): x2+y2£ r2(r > 0)上服從均勻分布，其聯(lián)合概率密度為 f(x,y)=求(1)P<X2+Y2£ (2)(X,Y)的邊緣概率密度函數(shù)fX(x) ,fY(y)。§3.3 條件分布由條

11、件概率引出條件概率分布的概念。定義1 設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機變量，對于固定的，若，則稱 例1， P77，一射手進行射擊，擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止。設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù)，試求X和Y的聯(lián)合分布律及條件分布律。解：定義2 （不嚴格），設(shè)(X,Y)的概率密度為，記為在條件Y=y下X的條件概率密度，則P79 求條件邊緣分布和密度公式的推導(dǎo)過程。公式3.4和3.5.例2 P79，例3 P80，§3.4 隨機變量的獨立性1概念：定義3.5 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y),X,Y的邊緣分布函數(shù)分

12、別為FX(x), FY(y)。若對任意的實數(shù)x,y，均有 F(x,y)=FX(x)·FY(y) (3.30)即 PX£x,Y£y=PX£x·PY£y則稱X,Y相互獨立。例1 電子儀器由兩個部件構(gòu)成，以X和Y分別表示兩個部件的壽命（單位千小時）。已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為：,(1) 問X與Y是否獨立？解：獨立。因為：2判斷兩個隨機變量是否獨立的定理定理3.1 二維隨機變量(X,Y)的兩個分量X,Y相互獨立的充要條件是：對任意的實數(shù)x1<x2,y1<y2,均有 Px1<X£x2,y1<Y£y2=

13、Px1<X£X2· P y1<Y£y2。定理3.1二維隨機變量(X,Y)的兩個分量X,Y相互獨立的充要條件是：對任意的實數(shù)x,y,均有 PX>x,Y>y=PX>xPY>y 定理3.2 設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律，邊緣分布律分別為pij, pi. ,p.j, i,j=1,2,則 X,Y相互獨立的充要條件是：對任意的i,j均有 pij=pi.p.j 即 PX=xi,Y=yj=PX=xi·PY=yj定理3.3 設(shè)連續(xù)型隨機變量X,Y的概率密度分別為fX(x) ,fY(y)，則X,Y相互獨立的充要條件是： fX

14、(x)fY(y)=f(x,y)其中：f(x,y)是（X,Y）的聯(lián)合概率密度。例6：（續(xù)例3.5第一版）第二版P82，這里的結(jié)論很重要。設(shè) (X,Y)服從于N，證明 X,Y相互獨立的充要條件是：=0。證明：由第一版例3.5知（X,Y）的聯(lián)合概率密度、X和Y的邊緣概率密度分別為充分性若r=0，此時二元函數(shù) fX(x)fY(y)=f(x,y)是(X,Y)的聯(lián)合概率密度，所以X,Y相互獨立；必要性若X,Y相互獨立，則 f(x,y)=fX(x)fY(y)取x=m1、y=m2代入上式，即得于是r=0。例1 P83，挺怪一例子，好象是為了算概率而不是為了說明這段的內(nèi)容。 3二維隨機變量獨立性概念的推廣定義3

15、.6設(shè)(X1、X2、Xn)是n維隨機變量，其聯(lián)合分布函數(shù)和一維邊緣分布函數(shù)分別為F(x1、x2、,xn)、,若對任意的實數(shù)x1、x2、xn均有 F(x1、x2、,xn)=·則稱X1、X2、Xn相互獨立。定義3.7 設(shè)X1、X2、Xn、是一列隨機變量，若其中任意有限個隨機變量是相互獨立的，則稱這一列隨機變量是相互獨立的。§3.5 多維隨機變量函數(shù)的分布這一節(jié)是很重要的內(nèi)容，一般概率統(tǒng)計的考試必有這些內(nèi)容的考題。特別是本節(jié)例1，3，4以及Max(X,Y)，Min(X,Y)的分布等內(nèi)容，很有代表性。一離散型隨機變量（X，Y）的函數(shù)的概率分布例1：已知（X，Y）的分布律為：X Y

16、-1 1 2 -1 2 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20求：Z1=X+Y，Z2 =max（X，Y）的分布律。P5/202/206/203/203/201/20(X,Y)取值(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)Z1取值-201134Z2取值-112222二連續(xù)型隨機變量（X，Y）的函數(shù)的概率分布1 已知（X，Y）f(x,y)，求Z=g（X，Y）的概率密度。（1） ZFZ(z)=P(Z£z)=Pg（X，Y）£z=,（2） ZfZ(z)= FZ(z)2已知（X，Y）f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度 定理3.4 若(X

17、,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則Z=X+Y的概率密度為 fZ(z)=或 fZ(z)=。證明：P85-86.講P85.。 推論 若X,Y相互獨立，它們的概率密度分別為fX(x)和fY(y)，則獨立和Z=X+Y的概率密度為fZ(z)=(3.36)或 fZ(z)=(3.37)例1 P86 設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從N(0,1),即。求Z=X+Y的概率密度。一般，設(shè)X，Y相互獨立且，則Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布，且有。此結(jié)論可以推廣到n個獨立正態(tài)隨機變量之和的情況。即若，且它們相互獨立，則它們的和仍然服從正態(tài)分布，且有更一般地，可以證明有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布。例2 P87例3 P88例3結(jié)論的推廣，n個相互獨立的分布變量之和仍服從分布。例(第一版)：設(shè)RV. X與Y相互獨立，Xf(x)=, Yf(y)=, 求 Z=X+Y的分布密度函數(shù)。例：（書上例3.17）已知X,Y相互獨立，均服從N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度。 例（第一版）：（書上例3.18）設(shè)X,Y相互獨立，它們的概率密度分別為fX()=，fY(y)=,求Z=X+Y的概率密度。 3M=max（X，Y），N=min（X，Y）的概率分布定理3.6 若X,Y相互獨立，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y),則(1) M=max(X,Y)的分布函