基于模糊集理論的一種圖像二值化算法

1、基于模糊集理論的一種圖像二值化算法的原理、實(shí)現(xiàn)效果及代碼這是篇很古老的論文中的算法，發(fā)表與1994年，是清華大學(xué)黃良凱（Liang-kai Huang) 所寫(xiě)，因此國(guó)外一些論文里和代碼里稱(chēng)之為Huang's fuzzy thresholding method。雖然古老也很簡(jiǎn)單，但是其算法的原理還是值得學(xué)習(xí)的。     該論文的原文可從此處下載： Image thresholding by minimizing the measure of fuzziness。     該論文結(jié)合了當(dāng)時(shí)處于研究熱潮

2、的模糊集理論，提出了一種具有較好效果的圖像二值化算法，本文主要是對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)單的翻譯和注釋?zhuān)⑻峁┝藴y(cè)試代碼。一、模糊集及其隸屬度函數(shù)     首先，我們假定X代表一副大小為M×N的具有L個(gè)色階的灰度圖像，而xmn代表圖像X中點(diǎn)（m,n)處的像素灰度值，定義x(xmn)表示該點(diǎn)具有某種屬性的隸屬度值，也就是說(shuō)我們定義了一個(gè)從圖像X映射到0,1區(qū)間的模糊子集，用專(zhuān)業(yè)的模糊集表達(dá)，即有：              

3、0;                               其中0x(xmn)1，m=0,1,.M-1，n=0,1,.N-1。對(duì)于二值化來(lái)說(shuō)，每個(gè)像素對(duì)于其所屬的類(lèi)別（前景或背景）都應(yīng)該有很相近的關(guān)系，因此，我們可以這種關(guān)系來(lái)表示x(xmn)的值。     

4、60; 定義h(g)表示圖像中具有灰度級(jí)g的像素的個(gè)數(shù)，對(duì)于一個(gè)給定的閾值t,背景和前景各自色階值的平均值0和1可用下式表示：                                       

5、60;                                       上述0和1，可以看成是指定閾值t所對(duì)應(yīng)的前景和背景的目標(biāo)值，而圖像X中某一點(diǎn)和其所述的區(qū)域之間的關(guān)系，在直覺(jué)上應(yīng)該和該點(diǎn)的色階值與所屬區(qū)域的目標(biāo)值之間的差異

6、相關(guān)。因此，對(duì)于點(diǎn)(m,n)，我們提出如下的隸屬度定義函數(shù)：         其中C是一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)使得0.5x(xmn)1。因此，對(duì)于一個(gè)給定的閾值t，圖像中任何一個(gè)像素要么屬于背景，要么屬于前景，因此，每個(gè)像素的隸屬度不應(yīng)小于0.5。     C值在實(shí)際的編程中，可以用圖像的最大灰度值減去最小灰度值來(lái)表達(dá)，即 C=gmax-gmin;二、模糊度的度量及取閾值的原則     模糊度表示了一個(gè)模糊集的模糊程度，有好幾種度量方

7、式已經(jīng)被提及了，本文僅僅使用了香農(nóng)熵函數(shù)來(lái)度量模糊度。     基于香農(nóng)熵函數(shù)，一個(gè)模糊集A的熵定義為：             其中香農(nóng)函數(shù)：            擴(kuò)展到2維的圖像，圖像X的熵可以表達(dá)為：     因?yàn)榛叶葓D像至多只有L個(gè)色階，因此使用直方圖式（7）可進(jìn)一步寫(xiě)成：   

8、           可以證明式（6）在區(qū)間0,0.5之間是單調(diào)遞增而在0.5,1之間是單調(diào)遞減的，并且E(X)具有以下屬性：     （1）0E(X)1      （2）如果x(xmn)=0或者x(xmn)=1時(shí)，E(X)具有最小值0，在本文中x(xmn)只可能為1，此時(shí)分類(lèi)具有最好的明確性。     （3）當(dāng)x(xmn)=0.5，E(X)獲得最大值1，此時(shí)的分類(lèi)具有最大的不明確性。&

9、#160;    那么對(duì)于圖像X，我們確定最好的閾值t的原則就是：對(duì)于所有的可能的閾值t,取香農(nóng)熵值最小時(shí)的那個(gè)t為最終的分割閾值。三、編程中的技巧     有了上述原理，其實(shí)編程也是件很容易的事情了，你可以按照你的想法去做，不過(guò)作者論文中的闡述會(huì)讓代碼寫(xiě)起來(lái)更清晰、更有效。     首先，為了表達(dá)方便，我們定義如下一些表達(dá)式：             根據(jù)上述表達(dá)式，可以知道

10、S(L-1)及W(L-1)對(duì)于一副圖像來(lái)說(shuō)是個(gè)常量，其中S(L-1)明顯就是像素的總個(gè)數(shù)。我們的算法步驟如下：     （1）、計(jì)算S(L-1)、W(L-1)，設(shè)置初始閾值t=gmin,令S(t-1)=0、W(t-1)=0;     （2）、計(jì)算下面算式:                     稍微有點(diǎn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的人都

11、應(yīng)該能看懂上述算式的推導(dǎo)原理。       根據(jù)式（2）和式（3），可以知道背景和前景的區(qū)域的平均灰度值為：       上式中int表示取整操作。 （3）根據(jù)式（4）及式（11）計(jì)算圖像的模糊度; （4）令t=t+1，然后重新執(zhí)行步驟2，直到t=gmax-1; （5）找到整個(gè)過(guò)程中的最小模糊度值對(duì)應(yīng)的閾值t，并作為最佳的分割閾值。 為了稍微加快點(diǎn)速度，上述式4中的計(jì)算可以在步驟1中用一查找表實(shí)現(xiàn)。   &

12、#160;四、參考代碼：public static int GetHuangFuzzyThreshold(int HistGram) int X, Y; int First, Last; int Threshold = -1; double BestEntropy = Double.MaxValue, Entropy; / 找到第一個(gè)和最后一個(gè)非0的色階值 for (First = 0; First < HistGram.Length && HistGramFirst = 0; First+) ; for (Last = HistGram.Length - 1; Last

13、 > First && HistGramLast = 0; Last-) ; if (First = Last) return First; / 圖像中只有一個(gè)顏色 if (First + 1 = Last) return First; / 圖像中只有二個(gè)顏色 / 計(jì)算累計(jì)直方圖以及對(duì)應(yīng)的帶權(quán)重的累計(jì)直方圖 int S = new intLast + 1; int W = new intLast + 1; / 對(duì)于特大圖，此數(shù)組的保存數(shù)據(jù)可能會(huì)超出int的表示范圍，可以考慮用long類(lèi)型來(lái)代替 S0 = HistGram0; for (Y = First > 1 ?

14、 First : 1; Y <= Last; Y+) SY = SY - 1 + HistGramY; WY = WY - 1 + Y * HistGramY; / 建立公式（4）及（6）所用的查找表 double Smu = new doubleLast + 1 - First; for (Y = 1; Y < Smu.Length; Y+) double mu = 1 / (1 + (double)Y / (Last - First); / 公式（4） SmuY = -mu * Math.Log(mu) - (1 - mu) * Math.Log(1 - mu); / 公式（6

15、） / 迭代計(jì)算最佳閾值 for (Y = First; Y <= Last; Y+) Entropy = 0; int mu = (int)Math.Round(double)WY / SY); / 公式17 for (X = First; X <= Y; X+) Entropy += SmuMath.Abs(X - mu) * HistGramX; mu = (int)Math.Round(double)(WLast - WY) / (SLast - SY); / 公式18 for (X = Y + 1; X <= Last; X+) Entropy += SmuMath.Abs(X - mu) * HistGramX; / 公式8 if (BestEntropy > Entropy) BestEntropy = Entropy; / 取最小熵處為最佳閾值 Thresh