和倍問題講義教師版

1、和倍問題 學(xué)生姓名/年級/學(xué)科授課教師/日期/時段/核心內(nèi)容解決和倍問題課型一對一/一對N教學(xué)目標(biāo)1、 掌握畫線段圖的方法2、 能夠正確判斷出題目中的數(shù)量關(guān)系，確定一倍量、多倍量3、 通過題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，調(diào)整數(shù)量，使兩個數(shù)量之間存在整倍數(shù)的關(guān)系4、 解決知道兩個或者三個數(shù)量的和以及它們倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題重、難點重點：教學(xué)目標(biāo)1、4 難點：教學(xué)目標(biāo)3、4精準(zhǔn)診查課首溝通1、 你學(xué)過倍數(shù)問題嗎？如果學(xué)過，你覺得倍數(shù)問題的解題關(guān)鍵是什么？2、 你能說說畫線段圖的方法嗎？知識導(dǎo)圖 課首小測1、畫線段圖：甲是乙的2倍。【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】【思維對話】常見思維障礙點：

2、無法確定一倍量，以及不知道應(yīng)該畫多長。思維障礙點突破方法：1步：先確定倍數(shù)關(guān)系，一倍量是乙，多倍量是甲，根據(jù)題意甲是2倍量。2步：通常以1厘米長度表示一倍量，多倍量是多少倍就用多少厘米表示；注意2條線段靠左邊對齊，乙畫1厘米，甲畫2厘米2、小衛(wèi)家里養(yǎng)了20只兔子，其中大兔只數(shù)是小兔的4倍，小衛(wèi)家養(yǎng)的小兔和大兔各有多少只？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】小兔只數(shù)4只 大兔只數(shù)16只【解析】小兔只數(shù)：20÷（4+1）=4（只） 大兔只數(shù)：4×4=16（只）互動導(dǎo)學(xué)導(dǎo)學(xué)一：畫線段圖協(xié)助解決倍數(shù)問題知識點講解1：畫線段圖的方法先確定一倍量，通常以1厘米或者2厘

3、米長度表示一倍量，再找準(zhǔn)多倍量，多少倍就用多少厘米表示。例題1、依照下列題目的數(shù)量關(guān)系畫線段圖：甲是乙的2倍，乙是丙的三倍【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】【思維對話】常見思維障礙：3個數(shù)量關(guān)系，無法準(zhǔn)確找到一倍量，并且畫的時候不懂從上往下是一倍量到多倍量。思維障礙點突破方法：1步：先確定倍數(shù)關(guān)系：一倍量是丙，多倍量分別是甲、乙；乙是3倍量，甲是6倍量。2步：先畫好甲丙1厘米長，乙畫3厘米長，甲畫6厘米長。我愛展示1、【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】2、甲比乙多3倍【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】3、甲是乙的2倍，丙是乙的3倍【題

4、型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】導(dǎo)學(xué)二：倍數(shù)關(guān)系明確的題型知識點講解1： 常用的關(guān)系式 例題1、（2011年越秀區(qū)五年級數(shù)學(xué)倍數(shù)的變換、因數(shù)與倍數(shù)單元檢測卷應(yīng)用題10）媽媽買了一套西裝，共用去1350元，其中上衣的價錢是褲子的2倍。褲子的價錢是多少元？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】450元【解析】1350÷（2+1）=450（元） 答：褲子的價錢是450元?！舅季S對話】常見思維障礙：不能準(zhǔn)確判斷一倍量是上衣還是褲子。思維障礙點突破方法：老師講解時，建議讓學(xué)生把幾道題目都讀一遍，找找?guī)椎缿?yīng)用題中相似的句子。提問1：你發(fā)現(xiàn)這幾道應(yīng)用題中，有什么相

5、似的地方？例如一些句子。（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)倍數(shù)問題的應(yīng)用題的共同點就是有相似的數(shù)量關(guān)系的句子：“A和B的和是多少，A是B的幾倍”）提問2：從這些句子里面，我們是可以發(fā)現(xiàn)兩個數(shù)量存在的倍數(shù)關(guān)系的，我們可以從中確定誰是一倍量。例如“上衣的價錢是褲子的2倍”，判斷一倍量是上衣呢？還是褲子呢？（引導(dǎo)學(xué)生自己找到一倍量）分析倍數(shù)關(guān)系的句子有固定模式：“A是B的幾倍”那么也就是應(yīng)該理解為：“多倍量是一倍量的幾倍”。【學(xué)有所獲】發(fā)現(xiàn)多倍量和多倍量在題中位置的規(guī)律：“ 是 的幾倍”學(xué)有所獲答案多倍量；一倍量2、小明和媽媽的年齡加在一起是45歲，媽媽的年齡是小明的4倍，小明和媽媽各是多少歲？【題型】解答題 【知識點

6、】和倍、差倍問題 【參考答案】小明9歲；媽媽36歲【解析】小明歲數(shù)：媽媽歲數(shù)：或答：小明今年9歲，媽媽今年36歲?！舅季S對話】把小明的歲數(shù)作為一倍量，則媽媽的歲數(shù)為小明的4倍，那么小明和媽媽的歲數(shù)之和相當(dāng)于小明歲數(shù)的5倍，用小明和媽媽歲數(shù)和除以5就是小明的歲數(shù)。我愛展示1、學(xué)校有科技書和故事書共480本，科技書的本數(shù)是故事書的3倍。兩種書各有多少本？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】故事書：120本；科技書：360本?！窘馕觥抗适聲谋緮?shù)：480÷（3+1）=120（本） 科技數(shù)的本數(shù)：120×3=360（本） 答：故事書有120本，科技書有360本?！?/p>

7、思維對話】畫線段圖協(xié)助解題把故事書的本數(shù)看作1份，也就是一倍量；科技書是故事書的3倍，也就是3份。兩種書一共有4份，則把480平均分成4份。其中1份就是故事書，再求出故事書的3份就是科技書的本數(shù)。2、被除數(shù)與除數(shù)的和為320，商是7，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】除數(shù)40；被除數(shù)280。【解析】除數(shù)：320÷（71）=40被除數(shù)：40×7=2803、小聰和小明共有60個玻璃球，小聰?shù)牟Ａ蚴切∶鞯?倍，他們倆各有玻璃球多少個？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】小明15個；小聰45個?！窘馕觥啃∶鞑Ａ驍?shù)：60

8、÷（3+1）=15（個） 小聰玻璃球數(shù)：15×3=45（個）答：小聰有45個玻璃球，小明有15個玻璃球。導(dǎo)學(xué)三：多個數(shù)量存在倍數(shù)關(guān)系的題型。例題1、果園里有梨樹、桃樹和蘋果樹共1200棵，其中梨樹的棵數(shù)是蘋果樹的3倍，桃樹的棵數(shù)是蘋果樹的4倍。求梨樹、桃樹和蘋果樹各有多少棵？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】蘋果樹150棵，梨樹450棵，桃樹600棵?！窘馕觥刻O果樹有1200÷（1+3+4）=150（棵）梨樹樹有150×3=450（棵）桃樹樹有150×4=600（棵）答：蘋果樹有150棵，梨樹有450棵，桃樹有600棵。【思

9、維對話】常見思維障礙點：（1）知道梨樹和蘋果樹有倍數(shù)關(guān)系，也知道桃樹和蘋果樹有倍數(shù)關(guān)系，不懂3者與和的關(guān)系。障礙點突破方法：找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，然后利用線段圖，畫出它們，再分析。提問1：你能找到題目中以哪種果樹作為一倍量嗎？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)梨樹和桃樹都是以蘋果樹為一倍量）提問2：都是蘋果樹為一倍量，那梨樹和桃樹分別是幾倍量？你能畫線段圖表示出來嗎？如果學(xué)生會畫，則不需要再細講畫圖方法，如果不會則再次講。提問3：現(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)三種果樹一共是幾倍量？我們要如何求出一倍量，也就是求出我們的蘋果樹多少棵？如果學(xué)生能夠直接說出三種果樹一共是8倍，也就是8份，再讓他用前學(xué)過的公式解決問題。如果學(xué)生不懂，則要通過線段圖

10、一份一份地數(shù)給他看，讓他知道三種水果樹一共8份，要把總棵樹平均分成8份?！緦W(xué)有所獲】在一倍量相同的多倍量數(shù)量關(guān)系的題型中，找到幾種數(shù)量各是多少倍，然后按照公式解決問題。 一倍量= 和÷（倍數(shù)A+倍數(shù)B+1） 蘋果樹：1200÷（3+4+1）=150（棵） 多倍量A= 一倍量×倍數(shù)A 梨樹樹：150×3=450（棵） 多倍量B= 一倍量×倍數(shù)B 桃樹樹：150×4=600（棵）2、已知雞、鴨、鵝共110只，鴨的只數(shù)是雞的2倍，鵝的只數(shù)是鴨的4倍。問雞、鴨、鵝各多少只？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】雞10只，鴨20

11、只，鵝80只?！窘馕觥侩u的只數(shù)：鴨的只數(shù)：鵝的只數(shù)：或答：雞有10只，鴨有20只，鵝有80只?！舅季S對話】常見思維障礙點：（1）3種數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系理不清。 （2）線段圖不會畫。思維障礙點（1）突破方法：提問1：這道題哪些句子可以知道倍數(shù)關(guān)系的，你能夠找出來嗎？（引導(dǎo)學(xué)生讀題找倍數(shù)關(guān)系的句子，獲取倍數(shù)關(guān)系信息。）提問2：這2句數(shù)量關(guān)系關(guān)鍵句里面的一倍量相同嗎？你能夠說出是以哪種動物為一倍量嗎？ （引導(dǎo)學(xué)生逐漸分析找好一倍量，前一句是“雞”，后一句是“鴨”。提問3：雞和鴨都是一倍量，你覺得誰比較??？如果讓你選擇其中一個為一倍量，你會怎么選擇？ （引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)雞比較小，那么也就是我們的標(biāo)準(zhǔn)的一倍量，

12、接著鴨是2倍量，最后鵝是鴨的4倍，也就是4個2倍量，就是8倍量。）思維障礙點（2）突破方法：提問1：題目的數(shù)量關(guān)系已經(jīng)分析過了，現(xiàn)在我們畫線段圖，你可以告訴老師畫哪種動物為一倍量嗎？提問2：那么以雞為一倍量，鴨要怎么畫？提問3：那我們的鵝呢？以誰為一倍量，畫多少倍？學(xué)生會有2種回答，一種是以雞為一倍量，畫8份；另外一種是以鴨為一倍量，畫4份。但是要注意第二種是以鴨的長度為一份進行畫圖?！緦W(xué)有所獲】學(xué)會畫線段圖；在復(fù)雜的倍數(shù)關(guān)系中找準(zhǔn)一倍量解決問題。我愛展示1、B是A的2倍，C是A的3倍，B和C共50，求A是多少？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】10.【解析】50÷

13、;（3+2）=10 答：A是10。2、有三個書櫥共放了330本書，第二個書櫥里的書是第一個的2倍，第三個書櫥里的書是第二個的4倍。每個書櫥里各放了多少本書？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】第一：30本；第二：60本；第三：240本【解析】第一：330÷11=30（本）第二：30×2=60（本）第三：60×4=240（本）答：第一個放了30本，第二個放了60本，第三個放了240本。3、（2011年廣州小聯(lián)盟真題卷 應(yīng)用題5）把一條大魚分成魚頭、魚身和魚尾三部分，魚尾重5千克，魚頭的重量等于魚身重量的一半，而魚身的重量等于魚頭的重量加上三個魚尾的

14、重量，這條大魚重多少千克？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】50千克。【解析】 魚頭：5×3=15（千克） 魚身：15×2=30（千克） 大魚：5+15+30=50（千克） 答：這條大魚50千克。導(dǎo)學(xué)三：倍數(shù)關(guān)系不明確的題型例題1、（2011年越秀區(qū)五年級數(shù)學(xué)倍數(shù)的變換、因數(shù)與倍數(shù)單元檢測卷選做題4）長江全長6300千米，比珠江的3倍多300千米。珠江全長有多少千米？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】2000千米?！窘馕觥浚?300300）÷3=6000÷3=2000（千米）2、少先隊員種柳樹和楊樹共216棵，楊樹

15、的棵數(shù)比柳樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】柳樹49棵；楊樹167棵?！窘馕觥?21620=196（棵） 柳樹：196÷（13）=49（棵） 楊樹：21649=167（棵）。 答：略?！舅季S對話】常見思維障礙點（1）看到不是整數(shù)倍，不知道如何處理多出來的20棵樹。思維障礙點（1）突破方法：提問1：這道題你可以在讀完題目時獲取到什么條件？（引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目給的信息）提問2：如果楊樹沒有這多出來的20棵，你會不會解決？（引導(dǎo)學(xué)生先處理多出來的20棵）提問3：如果楊樹少20棵，總數(shù)會發(fā)生什么變化？楊樹這時候是柳樹的多少倍？（引導(dǎo)學(xué)生

16、用總數(shù)的“21620”，使樹的總棵樹剛好是柳樹的整數(shù)倍）提問4：如果題目變成“楊樹的棵數(shù)比柳樹的3倍少20棵”，那解決方法還是一樣嗎？ （把題目改變，診查學(xué)生是否真正理解解決方法，也就是不管是比整數(shù)倍多一些，還是比整數(shù)倍少一些都會解決這些問題）【學(xué)有所獲】懂得通過加減法，使另外一個剛好是一倍量的整數(shù)倍，然后解決問題。發(fā)現(xiàn)題目條件是比一倍量的幾倍多若干，就用和減去這若干數(shù)量，使“和”變成一倍量的整數(shù)倍量；如果題目條件是比一倍量的幾倍少若干，就用和加上這若干數(shù)量，使“和”變成一倍量的整數(shù)倍量。我愛展示1、小華和小明兩人參加數(shù)學(xué)競賽，兩人共得168分，小華的得分比小明的2倍少42分。兩人各得多少分？

17、【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】小明70分；小華98分。【解析】（16842）÷（21） =210÷3小明： =70（分）小華：168-70=90分答：略2、學(xué)校購買了720本圖書分給高、中、低三個年級，高年級分得的比低年級的3倍多8本，中年級分得的比低年級的2倍多4本。高、中、低年級各分得圖書多少本？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】低年級：118本； 中年級：240本； 高年級：362本。【解析】 （72084）÷（132） =708÷6 低年級： =118（本）中年級：118×24=240（本）高

18、年級：118×38=362（本）3、某汽車運輸場有大小貨車共115輛，大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這個運輸場有大小貨車多少輛？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】大貨車97輛；小貨車18輛。【解析】小貨車：（115-7）÷（5+1）=18（輛） 大貨車：18×5+7=97（輛） 答：略導(dǎo)學(xué)四： 變化后形成倍數(shù)關(guān)系的題型例題1、甲、乙兩個糧庫原來共存糧170噸，后來從甲庫運出30噸，給乙?guī)爝\進10噸，這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍，兩個糧庫原來各存糧多少噸？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】甲庫原有：130噸； 乙?guī)煸校?0噸

19、。【解析】后來甲、乙糧庫存糧總和為：170-30+10=150（噸） 乙?guī)齑婕Z為 甲庫存糧為100-50=100（噸）或 原來甲庫存糧：100+30=130（噸） 原來乙?guī)齑婕Z：50-10=40（噸） 答：甲庫原來有存糧130噸，乙?guī)煸瓉碛写婕Z40噸?！舅季S對話】常見思維障礙點：（1）被運來運去弄暈了，找不到最后2個倉庫的總和是多少。思維障礙點（1）突破方法：提問1：你能夠算出最后2個倉庫存糧多少噸嗎？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：甲庫運出30噸，乙?guī)爝\進10噸，則此時甲、乙兩個糧庫的存糧總數(shù)變成170-30+10=150噸）。提問2：你能夠求出現(xiàn)在乙?guī)齑娑嗌賴崋幔浚ㄒ龑?dǎo)學(xué)生解決問題：這時甲庫存糧是乙?guī)齑婕Z

20、的2倍，這是總和是乙?guī)斓?倍，利用公式解決問題。） 【學(xué)有所獲】理解部分量增加或減少，總量也隨著增加或者減少的原則。2、學(xué)校飯?zhí)觅I回大米和面粉共1000千克，面粉用去200千克，大米用去50千克，剩下的大米比剩下的面粉的2倍多30千克。飯?zhí)觅I回來大米和面粉各多少千克？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】大米：560千克； 面粉：440千克。【解析】剩下的面粉：（10002005030）÷（12）=240（千克）買回的大米：240×23050=560（千克）買回的面粉;240200=440（千克）答：略?！舅季S對話】常見思維障礙點：（1）看到條件繁多，找不到

21、和倍問題的模型。（2）不懂處理條件中的用去的那些重量。例如“面粉用去200千克，大米用去50千克”思維障礙點（1）突破方法：提問1：這道題是和倍問題嗎？我們學(xué)過的和倍問題是如何的？ （引導(dǎo)學(xué)生進行思考，總結(jié)和倍問題的特征） 提問2：這道題跟我們前面學(xué)的問題有什么不同？ （引導(dǎo)學(xué)生進行分析，理清題目中的條件）思維障礙點（2）突破方法：提問1：題目中那些數(shù)量形成倍數(shù)關(guān)系？ （引導(dǎo)學(xué)生把“剩下的數(shù)量形成倍數(shù)關(guān)系”，作為解題關(guān)鍵入口）提問2：如果這道題只知道面粉和大米剩下的重量，你會解決嗎？ （引導(dǎo)學(xué)生處理前面用去的那些面粉和大米，求出剩下的總重量：100020050=750千克）提問3：那么現(xiàn)在剩下

22、的大米、面粉之間的關(guān)系剛好是整數(shù)倍關(guān)系嗎？ （引導(dǎo)學(xué)生處理倍數(shù)關(guān)系條件中多出的30千克的數(shù)量：750-30=720千克）提問4：那現(xiàn)在我們應(yīng)該怎么去求出剩下的面粉重量呢？ （引導(dǎo)學(xué)生利用和倍問題的公式求出一倍量：剩下的面粉 720÷（1+2）=240千克）【學(xué)有所獲】 教學(xué)生逐步分析題目中的復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生掌握把條件逐個解決然后求出問題，同時學(xué)會看到復(fù)雜題目中的題型的原形。我愛展示1、兩箱茶葉共176千克，從甲箱取出30千克放乙箱，乙箱的千克數(shù)就是甲箱的3倍。兩箱原有茶葉多少千克？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】甲箱原有茶葉74千克，乙箱原有茶葉102千克

23、【解析】甲箱取出30千克放乙箱后，和還是不變的。 甲箱有茶葉：176÷（3+1）=44（千克） 乙箱有茶葉：176-44=132（千克） 所以，甲箱原有茶葉：44+30=74（千克） 乙箱原有茶葉：132-30=102（千克） 答：甲箱原有茶葉74千克，乙箱原有茶葉102千克。2、甲油庫原存油是乙油庫的6倍，若兩油庫各增加30噸油后，甲庫存量是乙?guī)齑媪康?倍。求兩油庫原存油量各多少噸？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】乙?guī)煸校?0噸；甲庫原有：120噸?！窘馕觥恳?guī)煸校?0×2÷（52）=20（噸） 甲庫原有：20×6=120（噸

24、）3、三個筑路隊共筑路1360米，甲隊筑的米數(shù)是乙隊的2倍，乙隊比丙隊多240米。三個隊各筑多少米？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】乙隊筑：400米；甲隊筑：800米；丙隊筑：160米。【解析】把乙隊的米數(shù)看作1份，甲隊筑的米數(shù)是這樣的2份。假設(shè)丙隊多筑240米，那么三個隊共筑了1360240=1600米，正好是乙隊的211=4倍。所以，乙隊筑了1600÷4=400米，甲隊筑了400×2=800米，丙隊筑了400240=160米。能力展示限時考場模擬 10分鐘完成1、哥哥和弟弟共有圖書24本，哥哥的圖書本數(shù)是弟弟的2倍，哥哥和弟弟各有多少本圖書？【題型

25、】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】弟弟8本；哥哥16本?！窘馕觥康艿軋D書本數(shù)：24÷（2+1）=8（本） 哥哥圖書本數(shù)：8×2=16（本）2、弟弟有課外書20本，哥哥有課外書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】哥哥給弟弟10本?！窘馕觥扛绺纭⒌艿軆扇斯灿?5+20=45（本） 弟弟的課外書是哥哥的2倍，根據(jù)公式 此時哥哥課外書本數(shù)是： 哥哥給弟弟課外書本數(shù)是： 答：哥哥給弟弟10本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍。3、姐姐有32元錢，弟弟有18元錢，弟弟給姐姐多少錢后，姐姐的錢比弟弟的錢多3倍？【題型】解答題 【知識點】和倍、差倍問題 【參考答案】弟弟給姐姐8元?！窘馕觥拷憬愫偷艿芤还灿绣X：32+18=50（元） 弟弟給姐姐錢后，弟弟有：50÷（3+1+1）=10（元） 姐姐有：50-10=40（元） 弟弟給姐姐的錢為：18-10=8（元） 答：弟弟給姐姐8元后，姐姐的錢