第30講巧解長方體和正方體（二）

1、 才子教育 小學(xué)奧數(shù)系列第30講 巧解長方體和正方體（二）表面積與體積巧點(diǎn)晴方法和技巧長方體和正方體是我們較為熟悉的立體圖形。長方體有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱。在它的6個(gè)面中，兩個(gè)對面是全等的，即三組對面兩兩全等。長方體的表面積和體積的計(jì)算公式如下：長方體的表在積S長方體=2（bbcac）長方體的體積V長方體=abc正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的6個(gè)面都是正方形。如果正方體的棱長為，那么S正方體=62，V正方體=3。巧指導(dǎo)例題精講A級 沖刺名校·基礎(chǔ)點(diǎn)晴【例1】右圖的幾何體是由18個(gè)邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面各。分析與解 如果一面一面地?cái)?shù)，那么雖然可

2、以得到答案，但過程太麻煩，且容易出錯(cuò)。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)幾何體的上面與下面、左面與右面、前面與后面的面積分別相等。如上圖所示，可求得表面積為（978）×2=48(厘米2)答：它的表面積為48平方厘米。做一做1 有30個(gè)邊長為1米的正方體，在地面上擺成下圖所示的形式，然后把露出的表面涂在紅色。問：被涂成紅色的面積是多少？【例2】如果是由22個(gè)小正方體組成的幾何體，問：其中共有多少個(gè)大大小小的正方體？由兩個(gè)小正方體組成的長方體有多少個(gè)？分析與解 正方體只可能有兩種：由1個(gè)小正方體構(gòu)成的正方體，有22個(gè)；由8個(gè)小正方體構(gòu)成的2×2×2的正方體，有4個(gè)。所以，共有正方

3、體224=26（個(gè)）。由兩個(gè)小正方體組成的長方體，根據(jù)擺放的方向可分為下圖所示的上下位、左右位、前后位三種，其中上下位有13個(gè)，左右位有13個(gè)，前后位有14個(gè)，共有131314=40（個(gè)）答：共有26個(gè)正方體，有40個(gè)長方體。做一做2 下圖是一個(gè)由24個(gè)小正方體組成的立體圖形，其中由2個(gè)小正方體組成的小長方體有多少個(gè)？【例3】如右圖，一個(gè)長方體的寬和高相等，并且都等于長的一半。將這個(gè)長方體切成12個(gè)小長方體，這些小長方體的表面積之和是600平方人米，求這個(gè)長方體的面積。分析與解 設(shè)大長方體的左（右）面面積為（分米2），則它的表面積為4×2=10。切成12個(gè)小長方體后，新增加的表面積為

4、（32×2）3=1412個(gè)小長方體的表面積之和為1014=2424=600=25大長方體體積是5×5×10=250(公米3)。答：這個(gè)大長方體的體積是250立方分米。做一做3 一個(gè)正方體被切成24個(gè)小長方體（見下圖），這些小長方體的表面積總和為162平方厘米，求這個(gè)正方體的體積。B級 培優(yōu)競賽·更上層樓【例4】圖1是一個(gè)棱長為5厘米的正方體木塊，它的每個(gè)表面都有一個(gè)穿透的完全相同的孔，求這個(gè)立體圖形的表面積。分析與解 正方體中間被穿了孔，表面積不好計(jì)算。我們可以將這個(gè)立體圖形看成由8個(gè)棱長為2厘米的正方體和12個(gè)棱長為1厘米的正方體黏合而成。如圖2，8個(gè)

5、棱長為2厘米的正方體分別在8個(gè)頂角，12個(gè)棱長為1厘米的正方體分別在12條棱的中間。由于每個(gè)小正方體都有2個(gè)面分別粘接兩個(gè)較大的正方體，相對于不粘接，減少了表面積4平方厘米，所以總的表面積為（2×2×6）×8(1×1×6)×124×12=216(厘米2)。答：這個(gè)立體圖形的表面積為216平方厘米。做一做4 在棱長為3厘米的正方體木塊的每個(gè)面中心上打一個(gè)直穿木塊的洞，洞口呈邊長為1厘米的正方形（見下圖）。求挖洞后木塊的體積和表面積?！纠?】把一個(gè)正方體染紅后，在公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上橫豎各切三刀，這樣共切成（31）3=4×

6、;4×4=64(塊)小立方體。因?yàn)橐呀?jīng)先在外面染上紅色，所以切開的這些小立方體中必定有的一面是紅色，有的兩面或三面是紅色，還有的沒有被染上紅色。請你計(jì)算出每種顏色的小立方體各有多少塊。如果切n刀（n為自然數(shù)），又各有多少塊？分析與解 顯然各項(xiàng)點(diǎn)處必定是三面紅色，那么這個(gè)大立方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)的8個(gè)小立方體三面都是紅色。在各棱中間的小立方體是兩面紅色的。如切n刀，那么每一棱必切為n1(塊)，除去兩端三面紅色的兩塊外，中間有兩面紅色的是（n1）2=n1(塊)，大立方體共有12條棱，所以有12(n1)（塊）是兩面紅色。一面紅色的是每面的中心部分，即每面切成的正方體把四周小正方體去掉

7、，那么共有（n1）×（n1）個(gè)正方體，每個(gè)正方體都是一面紅色。大正方體共有6個(gè)面，所以一面紅色的有（n1）×(n1)×6=6(n1)2（塊）。沒有染色的小正方體有兩種求法，一種是總的小正方體個(gè)數(shù)，分別減去一面、兩面、三面染有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)即是，或者把大正方體外層的小正方體去掉 ，可得沒有染色的小正方體的個(gè)數(shù)，也就是（n1）3(個(gè))。解 切三刀及切n刀，各小正方體的個(gè)數(shù)如下表：正方體切法三面紅色兩面紅色一面紅色沒有染上紅色切三刀8個(gè)12×2=24（個(gè)）6×22=24（個(gè)）6482424=8（個(gè)）或（31）3=23=8（個(gè)）切n刀8個(gè)12&#

8、215;（n1） (個(gè))6（n1）2（個(gè)）（n1）2812（n1）26（n1）2（個(gè)）或（n1）3（個(gè)）做一做5 由125塊小立方體組成一個(gè)大立方體，把這個(gè)大立方體表面涂成紅色。在這些小立方體中，涂有三面紅色的小立方體有幾個(gè)？涂有兩面紅色和涂有一面紅色的各有幾個(gè)？沒有涂紅色的小立方體有幾個(gè)？【例6】某工人用薄木板釘成一個(gè)長方體的郵件包裝箱，并且用尼龍帶包扎，如圖所示，所用三條尼龍帶長分別為235厘米、445厘米、515厘米。若每個(gè)尼龍帶加固時(shí)接頭重疊都是5厘米，問：這個(gè)長方體包裝箱的體積是多少立方米？分析與解 利用尼龍帶的長度分別求出長方體郵件的長、寬、高。長方體中：寬高=（2355）

9、7;2=115長高=（4455）÷2=220長寬=（5155）÷2=225 由式式，得長寬=220115=105由（式式）÷2，得長=180，寬=75，高=40所以長方體的體積為180×75×40=540 000（厘米3） =0.54（米3）答：這個(gè)長方體包裝箱的體積是0.54米3。做一做6 將表面積為54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔鑄造成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。C級 （選學(xué)）決勝總決賽·勇奪冠軍【例7】有大、中、小三個(gè)正方體形的水池，它們的內(nèi)邊長分別為4米、3米、2米。把兩堆碎石分

10、別沉入中、小水池的水中，兩個(gè)水池的水面分別升高4厘米和11厘米。問：如果將這兩堆碎石都沉入大水池中，那么大水池的水面將升高多少厘米？解 水池中水面升高部分的體積即投入水中的碎石體積。沉入中、小水池中的碎石的體積分別是3×3×0.04=0.36（米3）2×2×0.11=0.44（米3）它們的和是0.360.44=0.8（立方米）把它們都沉入大水池里，大水池水面升高部分水的體積也應(yīng)是0.8立方米，而大水池的底面面積是4×4=16（米2），所以大水池的水面升高0.8÷16=0.05（米）=5（厘米）做一做7 在長為15厘米、寬為16厘米的長

11、方體水箱中有10厘米深的水?，F(xiàn)在往水箱里放一個(gè)石塊，這時(shí)水平面的高度是14厘米。問：石塊的體積至少是多少？巧練習(xí)溫故知新（三十）A級 沖刺名校·基礎(chǔ)點(diǎn)睛1、如下圖，在棱長為5厘米的正方體的上下、前后、左右的正中位置都挖去一個(gè)棱長為1厘米的正方體。問：此圖形的表面積是多少？2、如1題圖，一個(gè)邊長為3a（厘米）的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心挖去一個(gè)截面邊長為a厘米的正方形的長方體（都和對面打通）。如果這個(gè)物體的表面積為2592平方厘米，試求正方形截面的邊長。3、一個(gè)長主體，如果長減少2厘米，寬、高都不變，那么它的體積減少48立方厘米；如果寬增加3厘米，長、高都不變，那么它

12、的體積增加99立方厘米；如果高增加4厘米，長、寬都不變，那么它的體積增加352立方厘米。問：原長方體的表面積是多少平方厘米？4、有一個(gè)棱長為2厘米的正方體，在正方體上面的正中向下挖一個(gè)棱長為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中再向下挖一個(gè)棱長為厘米的正方體小洞，第三個(gè)小洞的挖法與前兩個(gè)相同，棱長為厘米。問：最后得到的幾何體的表面是多少平方厘米？B級 培優(yōu)競賽·更上層樓5、如下圖，一張長方形鐵皮四角都剪去一個(gè)邊長為2厘米的正方形，做成一個(gè)容積是192立方厘米的鐵盒子。問：原來這張鐵皮的長是多少厘米？做這鐵盒子至少需要鐵皮多少平方厘米？6、將一根長為3.6米的長方體的木料鋸成三段，這

13、樣，三段長方體的表面積總各比原來長方體的表面積增加了36平方分米。問：這根木料原來的體積是多少？7、一個(gè)正方體，表面全部涂上紅色，切成27個(gè)棱長是1厘米的小正方體。問：一面帶紅色的小正方體有多少個(gè)？兩面帶紅色的小正方體有多少個(gè)？三面帶紅色的小正方體有多少個(gè)？8、在10個(gè)表面涂了紅色的正方體，它們的棱長分別是1，3，5，7，19。問：若把它們?nèi)夸彸衫忾L為1的小正方體，那么所有這些小正方體中，共有多少個(gè)至少一面是紅色的正方體？9、1000個(gè)體積為1立方厘米的小立方體合在一起成為一個(gè)邊長為10厘米的大立方體，表面涂油漆后再分開為原來的小立方體，這些小立方體中至少有一面被油漆涂過的數(shù)目是多少？10、一個(gè)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)都有3條棱以其為端點(diǎn)，沿這3條棱的3個(gè)中點(diǎn)，把這個(gè)正方體切下一個(gè)角，這樣一共切下8個(gè)角，則余下部分的體積和正方體體積之比是多少？C級）（選學(xué)）決勝總決賽·勇奪冠軍11、把正方體用一個(gè)與它的一面平行的平面切開，分成A，B兩個(gè)長方體，當(dāng)A，B的表面積之比是1：2時(shí)，請用最簡整數(shù)比表示出A和B的體積比。12、某種長方體集裝箱，它的長、寬、高之比4：3：2。如果用甲等油漆噴涂它的表面，每平方米的費(fèi)用是0.9元；如果改用乙等9油漆，每平方米的費(fèi)