§21平面的等距變換

1、.第二章平面圖形的對(duì)稱群2.1平面的等距變換定義 1.1設(shè)是一個(gè)平面，映射 f ：，則 f 是一個(gè)雙射。若 f 是保持平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變，則f 是平面 的等距變換。記P，Q， PQf ( P) f (Q) 。例 1.2 ：（1）平面變換：設(shè)是一個(gè)平面，點(diǎn) O是 內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，是一個(gè)以 O為起點(diǎn)的定向量，平移是只平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的映uuuruuur射， t ： P P ，滿足 OPOP，則平移變換是一個(gè)等距變換。（2）反射變換：設(shè)是一個(gè)平面， l 是 內(nèi)的一條直線。平面關(guān)于 l 的反射變換是指平面到 的一個(gè)映射 W： p p 。W把內(nèi)的點(diǎn) P 映射到關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn) p ，則該

2、變換是一個(gè)等距變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：設(shè)是一個(gè)平面， D 是 內(nèi)的一個(gè)固定點(diǎn)，定義到自身的一個(gè)映射P:PP ，P 把 內(nèi)的任意一點(diǎn) P 繞 O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度后映射到 p ，這個(gè)映射稱為以O(shè)為中心轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)。（4）滑動(dòng)反射變換：將 沿直線 l 做一個(gè)平移，再關(guān)于 l 做一個(gè)反射，對(duì) 的這種操作確定了 內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為平面的滑動(dòng)反射變換。（5）恒等變換命題 1.3若 f 是一個(gè)平面等距變換，則中不同的 P，Q，R 共線f(P) ，f(Q) ，f(R) 共線，從而若 l 是一條直線，則 f （l ）也是一條直線。.證明：設(shè)P， Q，R 三點(diǎn)共線，選取記號(hào)使得R 在 P，Q 之間

3、，則PQ PRQR 。假設(shè) f(P) ，f(Q) ，f(R) 不共線，則他們是三角形的頂點(diǎn)，則 f (P) f (Q) f ( P) f ( R) +f (R) f (Q) ，這與 f 是等距變換相矛盾，反之可類似證明。若 f ( L) 不是直線，則他有不共線的三點(diǎn)f(P) ，f(Q) ，f(R) ，其中 P，Q，R共線于 l 上矛盾。從而結(jié)論得證。例： 1、4 證明：在平面等距變換下，三角形的形狀和大小都保持不變。證：設(shè) f 是內(nèi)一個(gè)等距變換，ABC是內(nèi)任意一個(gè)三角形，則 AB f A f B ， BC f B f C ， AC f A f C 又 AB AC BC ，從而 f A f B

4、f A f C f B f C則 f A , f B , f C 為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且ABCf A f B f COPa , b , OQc , d點(diǎn)積： OP OQa, bc,dacbdPQ PQ c a, d b c a, d b c a 2d b 22PQ命題 1、5設(shè) f 是平面的一個(gè)等距變換，則 f 保持點(diǎn)積不變等價(jià)于 f 00, (0為原點(diǎn) ) 。證明：“充分性”，若對(duì) P， Q.都有f O f P f Of QOP OQ則 f O f Of O f O0 00f 00.“必要性”若f 00, (0為原點(diǎn) )則P . OP f O f P2f (Q)2f (P)2 f P f

5、 (Q)f ( P) f (Q)f (P ) f (Q)2f (P) f (Q)2222OP OQPQOPOQOf ( P) Of (Q)OP OQ定義 1、6設(shè) f ： 到平面等距變換，若在內(nèi)，至少存在一個(gè)點(diǎn) o, 使得 f 0 0, 稱 f 為有不動(dòng)點(diǎn)的等距變換。例如：反射變換，旋轉(zhuǎn)變換，恒等變換。記平面 的所有等距變換構(gòu)成集合為 Isom( )記平面固定原點(diǎn)有等距變換構(gòu)成集合為O（2，）。則 AB= f ( A) f (B) , AC f ( A) f (C ) , BC f ( B) f (C) ,又 ABAC BC ，從而 f(A)f(B) f(A)f(C) + f(B)f(C)則

6、f(A) ， f(B) ， f(C) 為三角形的三個(gè)頂點(diǎn) ，且 ABCf(A)f(B)f(C)op (a, b), oq (c, d )點(diǎn)積： opgoq( a, b)( c, d)acbd ，uur uur(ca)2(db)2uur 2pqgpqpq命題 1.5設(shè) f 是平面 Z 上的一個(gè)等距變換，則f 保持點(diǎn)積不變f (0)0(0為原點(diǎn) )uuuuuuuuuuruuuuuuuuuuruur uur證明：若對(duì) p,qZ，都有 f (o) （f p）gf (O ) f (q)opgoq ，則 f(0)=0.若 f (0)0則 pZ ,uuruuuuuuuuuuruuuuuur 22opf (o

7、) f ( p) , of ( p)0gf (q)uuruuuuuuuuuuropf (o) f ( p),uuuuuur2of ( p) 0gf (q)uuuuuuuuuur 2uur 2uur 2uur 2uur uurf ( q) f ( p)pqopoq2 op oquuuuuur uuuuuuuuruur uurof ( p) g0gf (q)opgoq定義 1.6設(shè) f:z-Z平面等距變換若在 Z 中至少有一個(gè)點(diǎn)0 使得 f(0)=0,稱 f 為不動(dòng)點(diǎn)的等距變換，（例如：反射變換、旋轉(zhuǎn)變換）。記平面 Z 的所有等距變換構(gòu)成的等距變換集合為Isom(z) ，記平面固定點(diǎn)的所以等距變換構(gòu)成的集合為D（Z，z）。例 2.4 ：求鄰不等且非矩形的平行四邊形的對(duì)稱群。DCBA解:S()I,其中是系統(tǒng)中心作180 的旋轉(zhuǎn)變換下證不再向其它的對(duì)稱變換：設(shè) f 是 k 的一個(gè)對(duì)稱變換。 f 使得中心點(diǎn) o 保持不變 （而 f ( o) o ）于是 f ( A), f (B) 就能完全確定 f 。f ( )與重合，故 f 把的頂點(diǎn)變成的頂點(diǎn)。A B , 故只能是 f (A) A, 或 f ( A) C又