平面向量知識點總結及基礎練習

1、知識點梳理：一.向量的基本概念與基本運算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量.向量一般用a,b,c 來表示，或用有向線段 的起點與終點的大寫字母表示，如：iB.幾何表示法 AB , a;產(chǎn)標表示法a = xi +yj =（x,y） .向量的大小即向量的模（長度），記作| AB |即向量的大 小，記作| a 1 .向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.零向量：長度為0的向量，為0,其方向是任意的，0與任意向量平行.零 向量a=0u I a | =0.由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量， 故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條 件.（注意與0的區(qū)別）單

2、徑向量：模為1個單停長度的向量 向量a0為單位向量u 1aoi =1.平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量 任意一組平行呵量都可 以移到同一直線上,方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a b.由于向 量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故 平行向量也稱為共線向量.數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意 選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義， 要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的.相等向量：長度相等且方向相同的向量.相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記、，-J X1 = X2為

3、a=b大小相等，方向相同（X1,y1）=（X2, y2）二，* = y22向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法、一- 4 ,一 FT 設 AB = a, BC = b ,貝U a + b = AB + BC = AC（1）0+a=a+0=a； （2）向量加法滿足交換律與結合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知 向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指 向被減向量（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個 向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從

4、減向量的終點指向被 減向量的終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時， 用三角形法則.向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：AB bC cD ui PQ qR=aR，但這時必須“首尾相連”.3向量的減法相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.記作-a,零向量的相反向量仍是零向量,關于相反向量有：a）一（_a）=a； （ii）a+（一a）=（ 一a）+a=o；（iii） 若a、b 是互為相反向量，a = -b , b =-a, a+b =0，向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a-b=a+（w）求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作

5、圖法：a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量（a、b有共同起 點）4實數(shù)與向量的積：實數(shù)人與向量a的積是一個向量，記作 入a ,它的長度與方向規(guī)定如下：（D 網(wǎng)=|川 |a;（H）當九A。時，入a的方向與a的方向相同；當o。時，入a的方向與 一的方向相反；當九=。時，九a=0,方向是任意的，數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律5兩個向量共線定理:向量b與非零向量a共線之 有且只有一個實數(shù)九，使得b=7a6平面向量的基本定理：如果ei，&是一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量 a ,有且只有一對實數(shù)%,九2使：2 =九1己+入2金，其中不共線的向量ei,e2叫做 表示這一平

6、面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意：(1)向量的加法與減法是互逆運算(2)相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件(3)向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合)，而向量平 行則包括共線(重合)的情況(4)向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與 其相對位置有關例1給出下列命題：IIJ ,4若| a| =| b | ,則 a = b ；_ _Te一 ，一若A, B, C, D是不共線的四點，則AB = DC是四邊形ABCM平行四邊形的 充要條件；a=b , b = c ,貝 Ua = c, III1 J 1a=b的充要條件是| a|二| b|且a

7、/ b；右 a b, b/ c ,貝U a c ,其中正確的序號是例2設A、B、C、D。是平面上的任意五點，試化簡： AB BC CD, DB AC BD OAOC OB-CO例3設非零向量a、b不共線，c=ka + b , d =a+kb ( kwR),若C / d ,試 求k.平面向量的坐標表小 1平面向量川標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個 單位向量tj作為基底.由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a = xi -4+ yj,由于a與數(shù)對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量a的 坐標，記作a =(x,y),其中x叫作3在x軸上的坐標，y叫

8、做在y軸上的坐標(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量.(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只 與其相對位置有關2平面向量的坐標運算：(1)右a =(。必),b =(x2, V2 ),ab =(x 士x2, y1 士y2)(2)若 A 僅1,y1 )B(x2,y2 ),則 AB =色-x1, y? - y )(3)若 a =(x,y),期九3=(x x, y y) it. (4)若a =(。必),b =也，y2 卜則 a/p=為丫2-乂2%=0(5)若a =(K,y1),b =(&, y2 ),則 a b = x x2 +y1 %右a -Lb ,貝U

9、 x1 -x2 + y1 y2 = 0一一，一. 彳 .寸例1已知向重a =(1,2), b =(x,1),u =a+2b , v = 2a b ,且uv ,求頭數(shù)x的值 例2已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),試用向量方法求直線 AC和OB (O為坐標原點) 交點P的坐標.三.平面向量的數(shù)量積1兩個向量的數(shù)量積：八一人 4 , -I , , 4 ,已知兩個非零向重a與b ,匕們的夾角為e,則a - b = I a I - I b I cos6叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),規(guī)定0 a=0.2向量的投影：| b |cos8=ageR,稱為向量b在a方向上的投影.投影的絕 |a|對值稱

10、為射影一口十 sr, 一、一 一 、- ,，一 一3數(shù)量積的幾何意義：a b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積：4.向量的模與平方的關系：a a=a23a |2，5乘法公式成立：(a + b ).(ab 戶A2b2 =|a2b ；J F 2 山 4 2，寸2 42 1廠”(a 土b ) =a 2a b +b = a 2a b + b6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：a b u b a.424對實數(shù)的結合律成立： a b = a b )=a b - R分配律成立：a二b c=ac二bc=c.a二b特別注意：(1)結合律不成立：a (b c a b ) c ;(2)消去律不成立a，b=a

11、c不能得到b = c ,(3) a b =0不能得到4=0或1=0, 7兩個向量的數(shù)量積的坐標運算：y2y1十刈X1 一一OA=a, OB=b,WJ/AOB=已知兩個向量a =(x1,y1),b =(x2, y2),則a8向量的夾角：已知兩個非零向a與b ,作 (0 e 180)叫做向量a與b的夾角.cos = cos ： a,b -a *b =X1X2 +yiy2al*|b J2 +y：白22 +y22當且僅當兩、零向量a與b同方向時，8=0,當且僅當a與b反方向時9 =180,同時0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題.一 * . . 0” *一. . .9垂直：如果a與b的夾角為90則

12、稱a與b垂直，記作a，b .10兩個非零向煲垂直的充要條件：a，bu a - b=g X1X2+y2 =0平面向量數(shù)量積的性質 例1判斷下列各命題正確與否:（i）0 a=o； （2）0a=o；（3）若 a=0,a b = a c,則 b = c ；若a b=a c,則b盧c當且僅當a=。時成立;（5）（a b） c=a （b c）對任意a,b,c向量都成立;（6）對任意向量a,有a2 =ia2.例2已知兩單位向量a與b的夾角為1200,若c=2ib,d=3，-a,試求c與d 的夾角例3已知a=（4,3）, b=（1,2）, m=a痂，n=2a+b,按下列條件求實數(shù)人 的值（1） m _L n

13、; （2） m/n ; （3）信|=府課堂練習：一、選擇題1 .下列命題中正確的是（BA = 0T T TA. OA-OB=AB BC. 0 AB = 0 d . aB + bC+cd = aD2.設點A(2,0) , B(4, 2),若點P在直線AB上，且AB卜2 AP,則點P的坐標為(A. (3,1) B . (1,-1)C. (3,1)或(1,1)D .無數(shù)多個3.若平面向量b與向量a =(1,-2)的夾角是180,且|b|=3/5,則b =()A. (3,6) B . (3,-6) C . (6,4) D . (6,3)-J T一一4.向重 a =(2,3) , b=(1,2),右 m

14、a+b與a-2b平仃，則 m等于A. -2 B . 2 C . - D .-225 .若It是非零向量且滿足(32，(b-2a)_Lb ,則2與b的夾角是n-八 2 r5二A. B. C .D . 6336、一一 311 一耳 一 、，.6 .設 a =( ,sin a) , b =(cos,-),且 a b ,則銳角 a 為()23A. 300 B . 600 C . 750 D . 450二、填空題-，一、，1 .右|a |=1,|b| = 2,c = a+b ,且c _L a ,則向重a與b的夾角為2 .已知向量 a =(1,2), b =(2,3) , c = (4,1),若用 a 和

15、 b 表示 c ,則 c =3 .若 I1=1, b=2, a 與 b 的夾角為 600,若(3：+5b) _L (m： -b),則 m 的值4 .若菱形ABCD的邊長為2,則AB-CB CD.5 .若a =(2,3), b=(T,7),則a在b上的投影為一三、解答題r 一一 口 44- a ，、入，、一口 T m r 一1 .求與向量a = (12), b =(2,1)夾角相等的單位向量c的坐標._ 一一. -，-、”444,、，J 2 .已知向量 at b的夾角為60 |b| = 4,(a+2b).(a3b) = 72,求向量a的模。3 .設非零向量 a,b,C,d ,滿足 d =G|_C）b -（a_b）C ,求證：a .L d4 .已知 a = (cosa,sina) , b =(cosP,sin P),其中 0 a P 冗.(i)求證：a+b與a_b互相垂直；若流K與a-kt的長度相等，求P-a的值（k為非零的常數(shù)）.課后作業(yè)：1、化簡：(1) ( AB -CD) -( AC -BD)=.T T T T TCB ED DC FE AF = 2、已知正方形的邊長為1, AB=, BC= E,