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1、概率論計算與證明題153第三章隨機變量與分布函數(shù)1、直線上有一質(zhì)點,每經(jīng)一個單位時間,它分別以概率p或1 p向右或向左移動一格,若該質(zhì)點在時刻0從原點出發(fā),而且每次移動是相互獨立的,試用隨機變量來描述這質(zhì)點的運動(以Sn表示時間n時質(zhì)點的位置)。2、設 為貝努里試驗中第一個游程(連續(xù)的成功或失敗)的長,試求的概率分布。3、c應取何值才能使下列函數(shù)成為概率分布:(1) f(k) ,k 1,2,N,N; (2) f(k)kc一, k 1,2, k!0。4、證明函數(shù)f(x)2eM(x)是一個密度函數(shù)。5、若的分布函數(shù)為(104),求落在下列范圍的概率:(1) (69); (2) (712); (3)
2、 (13, 15)。6、若的分布函數(shù)為(5,4),求 a使:(1) P a 0.90; (2) P|5|a 0.01。7、設 F(x) P x,試證F(x)具有下列性質(zhì):(1)非降;(2)右連續(xù);(3)F()0, F()8、試證:若Px2,PXi1,則 P XiX2 1)。9、設隨機變量 取值于01,若Pxy只與長度y x有關(對一切x y 1 ),試證從0, 1均勻分布。10、若存在上的實值函數(shù)Q()及口()以及T(x)及S(x),使f (x) exoQ( )T(x)D( ) S(x),則稱f ,是一個單參數(shù)的指數(shù)族。證明(1)2、正態(tài)分布N(m0,),已知m0,關于參數(shù)(3)普阿松分布p(
3、k,)關于 都是一個單參數(shù)的指數(shù)族。但0,上的均勻分布,關于不是一個單參數(shù)的指數(shù)族。22x七211、試證f (x, y) ke (ax 2bxycy)為密度函數(shù)的充要條件為a 0, c 0, b(2)正態(tài)分布N(m0, 0 ),已知°,關于參數(shù)m;ac 0, k 上空 12、若f(x), f2(y)為分布密度,求為使 f(x,y) f(x)f2(y) h(x, y)成為密度函數(shù),h(x,y)必須而且只需滿足什么條件。13、若(,)的密度函數(shù)為Ae(2xy), x 0,y 0X,y0,其它試求:(1)常數(shù)A; (2) P 2,1;的邊際分布;(4) P 2;(5) f(x|y); (6
4、) P 2|1。14、證明多項分布的邊際分布仍是多項分布。15、設二維隨機變量(,)的聯(lián)合密度為p(x, y)x)k2 1e y1k1 1.x (y(K) (k2)k10, k2 0, 0 x y,試求與 的 邊際分布。16、若 *x), f2(x), f3(x)是對應于分布函數(shù)F1(x), F2(x), F3(x)的密度函數(shù),證明對于一切(11),下列函數(shù)是密度函數(shù),且具有相同的邊際密度函數(shù)f(x), f2(x), f3(x):f1(x), f2(x), f3(x)f1(x/f2(x2),f3%)12F1(x1)12F2(x2)12F3(x3)1。17、設 與 是相互獨立的隨機變量,均服從幾
5、何分布g(k, p) qk 1 p, k 1,2,令 max(,),試求(1)(,)的聯(lián)合分布;(2) 的分布;(3)關于的條件分布。18、(1)若(,)的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y)4xy, 0 x y, 00,其它y 1,問與 是否相互獨立?19、設()的聯(lián)合密度函數(shù)為f(x, y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x, y, z)8xy, 00,y, 0其它y 1,問與是否相互獨立?-1sin xsin y sin z),0,0 x當0 y0 z其它試證:,兩兩獨立,但不相互獨立。,|x|其它1 | y | 1,2,2, y ,試證與不獨立,但 與是相互獨立的。1 2及,試直接證明21、若1與2是獨
6、立隨變量,均服從普要松分布,參數(shù)為(1)12具有普承松分布,參數(shù)為 12; P 1 k| 12 n1 一22、若,相互獨立,且皆以概率 一取值+1及1,令 ,試證,兩兩獨立但不相互獨立。 223、若 服從普阿松分布,參數(shù)為 ,試求(1) a b; (2)2的分布。124、設 的密度函數(shù)為p(x),求下列隨機變量的分布函數(shù):(1),這里P 0 。;(2)tg ;(3)| |。25、對圓的直徑作近似度量,設其值均勻分布于(a b)內(nèi),試求圓面積的分布密度。26、若,為相互獨立的分別服從0, 1均勻分布的隨機變量,試求的分布密度函數(shù)。27、設,相互獨立,分別服從 N(0,1),試求 一的密度函數(shù)。2
7、8、若,是獨立隨機變量,均服從 N(0,1),試求U , V的聯(lián)合密度函數(shù)。29、若1, 2, , n相互獨立,且皆服從指數(shù)分布,參數(shù)分別為1, 2, , n,試求 m 1, 2, , n) 的分布。30、在(0,a)線段上隨機投擲兩點,試求兩點間距離的分布函數(shù)。2 一31、若氣體分子的速度是隨機向量V (x, y,z),各分量相互獨立,且均服從N (0,),試證s &一y2z2斑點服從馬克斯威爾分布。32、設,是兩個獨立隨機變量,2 .服從N(0,1), 服從自由度為n的x 分布(3.14),令t試證t的密度函數(shù)為這分布稱為具有自由度Pn(x)1-(n 1),n - n21,22(n
8、1 n1)分布在數(shù)理統(tǒng)計中十分重要。r6(1x yz)4,當 x 0, y0, z 0時33、設,有聯(lián)合密度函數(shù)f (x, y, z) 、 y)y,試求0,其它U的密度函數(shù)。22 . 一34、若,獨立,且均服從 N(0,1),試證U與V一是獨立的。與一也獨立。35、求證,如果與 獨立,且分別服從分布G( ,1)和6( ,r2),則36、設獨立隨機變量,均服從p(x)_ xe0,< r 問是否獨立?37、若(,)服從二元正態(tài)分布(2.22),試找出相互獨立的充要條件。38、對二元正態(tài)密度函數(shù),、11C 2p(x, y)exp-2x222xy 22 x 14y 65 ,(1)把它化為標準形式
9、(2.22 ); (2)指出 a,b, 1,2;(3)求 pi(x) ;(4)求 p(x| y)。7 3 2、一 一 _ 139、設a 0, B 3 4 1 ,試寫出分布密度(2.12),并求出(1, 2)的邊際密度函數(shù)。2 1 240、設,是相互獨立相同分布的隨機變量,其密度函數(shù)不等于0,且有二階導數(shù),試證若與相互獨立,則隨機變量,均服從正態(tài)分布。11141、若f是 上單值實函數(shù),對 B R1,記f IB) : f( ) B。試證逆映射f 1具有如下性質(zhì):(1) f 1Bf 1(B );(2) f 1Bf 1(B );(3) f 1(B) f 1(B). 2 cx 0x142、設隨機變量 的
10、密度函數(shù)是f(x)(1)求常數(shù)C; (2)求 使得p( a)= p( a).0 其它43、一個袋中有k張卡寫有k,k 1,2,L ,n,現(xiàn)從袋中任取一張求所得號碼數(shù)的期望。(y x)2212 244、設r,v, N(m, 2), 在 x的條件密度分布是P(y|x) -= ,求y的條件下2的密度p(x|y)?45、設與獨立同服從(0, a)上的均勻分布,求 X的分布函數(shù)與密度函數(shù)。Ae (x y) x 0,y 046、設(,)的聯(lián)合分布密度為 f(x,y),(1).求吊數(shù)A; (2)求給7E時的條0 其它件密度函數(shù)。47、在(0,4)中任取兩數(shù),求其積不超過4的概率。48、若(,)的分布列是(見
11、下表)(1)求出常數(shù)A; (2)求出 =2時 的條件分布列。-10111/61/81/821/121/4A31/241/241/2449、設(,)獨立的服從N (0,1)分布,令U,求(U ,V)的聯(lián)合密度函數(shù)及邊際密度函數(shù)。4X350、設隨機變量的密度函數(shù)為 P(X) 00 X 1 ,(1).求常數(shù)匕a,使 P >a = P <a;(2).求常數(shù) b,使 P >b = 0.05 。51、地下鐵道列車運行的間隔時間為2分鐘,旅客在任意時刻進入月臺,求候車時間的數(shù)學期望及均方差。52、設二維隨機變量(,)的聯(lián)合密度函數(shù)為:p(x, y)6xy(2y),x 1,0其它=2 +3的
12、密度函數(shù);1 .(2)求 p | (y|x); (3) p -| 2253、若二維隨機變量(,)的密度函數(shù)為:P(x, y)2e (2xy)54、2)求 P(2);(3)P 1|20,0,y其它1)求的密度函2若 r,v N(a, 2),求的密度函數(shù)。55、將兩封信隨機地往編號為1,2,3,4的四個郵筒內(nèi)投,k表示第k個郵筒內(nèi)信的數(shù)目,求:(1, 2)的聯(lián)合分布列;2) 2 1的條件下,1的條件分布。56、若 r,v N(0,1),求2 .的密度函數(shù)。57、某射手在射擊中,每次擊中目標的概率為 P(0 P 1),射擊進行到第二次擊中目標為止,用k表不第K次擊中目標時射擊的次數(shù) (K 1,2),
13、求1和2的聯(lián)合分布和條件分布。58、進行獨立重復試驗, 設每次試驗成功的概率為p。將試驗進行到出現(xiàn)r次成功為止,以X表示所需試驗的次數(shù)。求X的分布列。59、已知某種類型的電子管的壽命X (以小時計)服從指數(shù)分布,其概率密度為1 e 1000f (x)10000,其它一臺儀器中裝有 5只此類型電子管,任一只損壞時儀器便不能正常工作。求儀器正常工作 的概率。1000小時以上60、設連續(xù)隨機變量X的概率密度為f(x)Ax2e kx0,x 0 .,其中k為已知常數(shù)。求:(1)常數(shù)A; (2)其它1P 0 X 。k61、設離散隨機變量X的分布列為:求:(1) X的分布函數(shù)F(x);3_(2)PX 3,P
14、1 X 4 , P 1 X262、從一批含有13只正品、2只次品的產(chǎn)品中,不放回地抽取3次,每次抽取1只,求抽得次品數(shù) X的分布列及分布函數(shù)。63、(1)設連續(xù)隨機變量 X的概率概率為fX(x),求Y X3的概率密度。(2)設X服從指數(shù)分布E()。求Y X3的概率密度。64、對圓片直徑進行測量,測量值 X服從均勻分布U (5,6)。求圓面積Y的概率密度。65、設電壓V Asin ,其中A是一個正常數(shù),相角是一個隨機變量,服從均勻分布U -,2 2求電壓V的概率密度。66、箱子里裝有12件產(chǎn)品,其中2件是次品。每次從箱子里任取一件產(chǎn)品,共取2次。定義隨機變量 X,Y如下X 0,若第1次取出正品,
15、丫1,若第1次取出次品0,若第2次取出正品1,若第2次取出次品分別就下面兩種情況求出二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布列和關于 X,Y的邊緣分布列:(1)放回抽樣;(2)不放回抽樣。67、一個大袋子中,裝有3個桔子,2個蘋果,3個梨。今從袋中隨機抽出4個水果。若X為為桔子數(shù),Y 為蘋果數(shù),求(X,Y)的聯(lián)合分布列。68、把一枚硬幣連擲 3次,以X表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù), 面的次數(shù)的絕對值,求(X,Y)的聯(lián)合分布列。Y表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反69、設二維隨機向量的概率密度為:f (x, y)k(6 x y),0,0 x 2,2 y 4甘。求(1) k; (2)其它PX 1,Y 3;
16、(3) PX 1.5; (4) PX Y 4。70、設隨機向量(X,Y)的概率密度為:f(x, y)A(R "x2 y2, x2 y2 R2,求:(i)常數(shù) a;0,其它(X,Y)落地圓域G:x2 y2 r2 (r R)中的概率。71、設二維連續(xù)隨機向量(X,Y)的概率密度為:f (x,y)622 ""2""(4 x )(9 y )求:(1) (X,Y)的分布函數(shù);(2)關于X及關于Y的邊緣分布函數(shù)。72、設二維連續(xù)隨機向量(X ,Y)的概率密度為:f (x, y)概率密度。e y, 0 x0, 其它y ,求關于X及關于Y的邊緣273、設X與Y
17、相互獨立,且 X服從均勻分布U a,a, Y服從正態(tài)分布N(b,)。求Z X Y的概 率密度。74、若(,)的密度為(p(x, y, z)但不相互獨立。1 ,-3(1 sin xsin y sin z) 8x, y,z 2,則,其它兩兩獨立,75、若,相互獨立,且同服從指數(shù)分布,密度函數(shù)為:e x 0p(x),證明:0x0+與一相互獨立。76、證明:p(x)x 0為一概率密度函數(shù)。x o2的普阿松分布,且相互獨立,求證:服從參數(shù)為1277、設R,V ,分別服從參數(shù)為1的普阿松分布。1|y|78、證明函數(shù)f (x) e ( x)是一個密度函數(shù)。279、設 F(x) Px,試證F(x)具有下列性質(zhì)
18、:(1)非降;(2)右連續(xù);(3) F()0, F( )1。80、試證:若 Px2 1PXi 1,貝U PXix21 (81、設隨機變量取值于0, 1,若Px從0, 1均勻分布。y只與長度y x有關(對一切0x y 1),試證服82、定義二元函數(shù)F(x,y)1, x y 0。驗證此函數(shù)對每個變元非降,左連續(xù),且滿足(2.6)及(2.7),0, x y 0但無法使(2.5)保持非負。(2 2b 2)2ac b283、試證f(x, y) ke為留度函數(shù)的充要條件為a 0, c 0, b ac 0, k 。84、若fi(x), f2(x), f3(x)是對應于分布函數(shù)Fi(x), F2(x), F3
19、(x)的密度函數(shù),證明對于一切(11),下列函數(shù)是密度函數(shù),且具有相同的邊際密度函數(shù)fl(x), f2(x), f3(x):fl(x), f2(x), f3(x) f1(x1),f2(x2),f3(x3)12Fi(Xi)12Fz(X2)12F3(x3)1。0x21 .c 、兒、人,".上/、o (1 sin xsin ysin z), 當0 y 2 時85、設(,)的聯(lián)合留度函數(shù)為p(x, y, z) 8 3丫y0 z 20,其它試證,兩兩獨立,但不相互獨立。86、若1與2是獨立隨變量,均服從普要松分布,參數(shù)為1 2及,試直接證明(1) 12具有普承松分布,參數(shù)為 12;kn kn
20、12(2) P 1 k| 12 n 1。k 12121 -87、若相互獨立,且皆以概率 一取值+1及1,令 ,試證,兩兩獨立但不相互獨立。,288、若氣體分子的速度是隨機向量V (x, y,z),各分量相互獨立,且均服從_2.N (0,),試證S &一7z2斑點服從馬克斯威爾分布。89、求證,如果 與 獨立,且分別服從分布G()和6(心),則與一也獨立。90、證明:是一個隨機變量,當且僅當對任何x Ri成立 ()C F。第三章解答1、解:令n表在n次移動中向右移動的次數(shù),則n服從二項分布,2、3、4、5、PkCk k / np (1n kp) , k01,以Sn表時刻時質(zhì)點的位置,則n
21、的分布列為Sn的分布列為解:P所以解:解:Sn(nn)2 n1P2(1(1p)nnp)nC:p(1n1C:p(1P失成P成失n 1 p)2p)npqp失失成 p成成失的概率分布為p kp(1)(2)f(x)CnC2qp ,ppq2q p,f(k)1£ N,1。1 ck 1 k!c(e 1)0,且f (x)dx1x|dxf (x)是個密度函數(shù)。(1) P(69) P12(610)1 2(10)P(712) P112(7 10)2(11 1(2 2(3) P(132 p2(1n p2(1qqp1,2,(e1)10)10)10) 11115) P -(13 10) -(10)22111P
22、1(10) 22 22p)n4p)n|x|e dx2(91 (1221 (1522122q p,10)(2)10)10)0.2857880.7745380.060597i一 、J,6、解:(i)(i.3) 0.90,而 PaP -(2i5)2(a 5)2(a5)i令-(a 5) i.3解得a 7.6。(2)由 P|5| a 0.0i 得 P 5i a 0.005,從而 P -( 25)1a =0.995,而2(2.6)i 八-0.995 所以一a 2.6, a25.2。7、證:(1)設X2Xi, Fd)F(Xi)PXiX20,所以 F(X2)F(Xi)F(x)非降。(2)XnXnXiX0XiX
23、由概率的可加性得由此得(Xii 0Xi)PxXoF(Xi) F( i)F(Xo)F(x)。F(Xo)F(x)lim F(x0) nF(x),F(xiàn) (x) limF(Xn)F(x 0),F(x)右連續(xù)。i PPnnn iF(n i)F(n)limnF(n)lim F(m)。 m由單調(diào)性得limXF (x)與lim F (x)均存在且有窮,由F(x)i及上式得F(0, F( ) io8、證:PxiX2PX2PXiPX2 (iPX2),不等式成立。9、證法一:定義F(x)2x 0,i有 P0PX2PXii (i)(i).0, P0 i,X,0(0,i 則F(x)是 的分布函數(shù)。(i,)由題設得,對任意
24、xPx2x,即有 P 02x 2P0x。由此得F(2x) 2F(x)o逐一類推可得,若inx 0,i,則 F(nx) nF (x),或者一F (x) nF(-)o從而對n有理數(shù)m,若mx與x都屬于0,i,則有F mx n nnmF(x)o再由F(x)的左連續(xù)性可得,對任意無 n理數(shù)a ,若ax與x都屬于0,i,則F (ax)aF (x)。因為區(qū)間0,i)與0,i的長度相等,由題設得F(1)P01P01 1.xF(1) x,即 F(x)為由此及上段證明得,對任意x 0,1有F(x)0, x 0F (x) x, 0 x 11,x1服從0,1上均勻分布。證法二:如同證法一中定義的分布函數(shù)F(x),由
25、F(x)單調(diào)知它對0,1上的L測試幾乎處處可微。設xx2(0,1),當x1x 0,1(i 1,2)時,由題設得F(x1x) F(x1) Px1x1xPx2x2x F (x2 x F (x2)等式兩端都除以x,再令x 0可得,由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在,而且F'(x2)F'(x1)。從而對任意x (0,1)有F'(x) c。當x0,1時顯然有F'(x) 0。一點的長度為0,由題設得P 0 P 1 0。由上所述可知是連續(xù)型隨機變量,F(xiàn)'(x)是其密度函數(shù),從而定出c 1。至此得證服從0,1均勻分布。10、證:(1)f(x) ?
26、21exp(x m)22 2若令Q(expx 2.1m°)ln _2(x m)2exp 2 ln ln . 22 21_,、),T(x)(22)2(x m°) , D(ln,S(x) ln 2這就證明了正態(tài)分布M (m0,(x) exp Q(2)是單參數(shù))T(x) D( ) S(x)0)的指數(shù)族。 fm(x) 一2 exp0(xm)22 02120exp22x 2mx mexpmx2 02m2 022x2 02lnm右令 Q(m) 2 , T(x)0x, D(m)1 m220,S(x)一22x2 01 ln.2fm(x) expQ(m)T(x) D(m) S(x)2、所以正
27、態(tài)分布 N(m, 0 )是單參數(shù)m( m)的指數(shù)族。k(3) p(k; ) 一e exp k In Ink!。k!若令 Q( ) In ,T(k) k, D(),S(k) In k!,則p(k; ) expQ( )T(k) D( ) S(k),所以 p(k;)是單參數(shù) (0)的指數(shù)族。(4)關于0,上的均勻分布,其密度函數(shù)為f (x)1/0,f (x)是定義在的函數(shù),由于它是x的分段表示的函數(shù),所以無法寫成形式f (x) exoQ( )T(x) D()S(x)f (x)關于不是一個單參數(shù)的指數(shù)族。11、證:必要性:2f(x,y)dxdyb 2 ac b2a(x y) yke a e a dxd
28、y人b一b令 ux - y, v y,得 y v, x u -v, J 1。設aaf(x,y)dxdy2ke au duac b2 2 va dv要積分收斂,必須a 0, (ac b2)/a 0 ,由此得應有ac b2 0以及c 0。利用 e u du 廠可得ac b2 2,au2-v1 一 a -ke du e a dv k _ .1, a ac b2,2 ac b k 從而題中所列條件全部滿足。以上諸步可逆推,充分性顯然。G(x)f2(y)。又12、解:設 f(x,y)f1(x) f2(y) h(x, y)是密度函數(shù),則由 f (x, y) 0 得 h(x,y)1 f (x, y)dxdy
29、 f1(x)dx f2(y)dy h(x,y)dxdy 1 h(x, y)dxdy,反之,若h(x, y)所以應有 h(x, y)dxdy 0。f1(x) f2(y) , h(x, y) 可積且 h(x, y)dxdy 0 ,顯然有 f (x, y) 0且13、14、f(x, y)dxdy 1,即 f(x,y)是密度函數(shù)。所以為使f(x, y)是密度函數(shù)h(x, y) dxdy解:(2)(3)(4)(5)(6)利用利用h(x, y)必須而且只需滿足h(x, y)f1(x)f 2(y) 且0。(1) 10P 2,Ae2xdx0 e ydy2xy |0的邊際分布,P2e 2xdxe ydye y
30、|0(1 e4)(11)。f (x)0 2e22 x2e Xdx 0 e ydy2_2x(2 x)2x2e (1 e dx 0(2e0時有2xeydy2e2x2e(2 x)dx(1 e 4) (2e 4 2e 2)1 e0, y 0 時110dy(2)的結果可得設多項分布為(2)可以把(1)2e 2(12)2.f(x| y) 0;當 x 0, yf(x| y)f(x, y)(y)2,0時有2e (2x y)e y2e 2x2e (2x改寫成PP 1 k1,y)dxydy2e (2x y)dx2,1(1 e4)(11 e 1e 1)ki0,n!k1! kr 1! (n k1由邊際分布的定義并把(
31、3)代入得kr 1krkikr1)!k1Pin!k1!kr!k1PikrPi ,(1)n,rPii 1(2 )krPi (1 Pi nPr 1)k1kr 1(3)P 1k1, r 2kr2P 1k1,kr1由二項式定理得P 1k1,kr 1k1kr 1 n,k1 0ki!(1n! p;1 kr 2!(npkr22k1kr 2)!n kikrkr 2p1Prn 2pr 1)kikr2 kr 2)n!ki! kr 2!(n k1kr 2)!k1p1kr 2pr 2(1P1把(4)與(3)比較知,邊際分布仍服從多項分布。多次類推可得P 1k1n!k1!(n kJ!從而知任意邊際分布均服從多項分布(包
32、括二項分布)15、解:(1)的密度函數(shù)為,當 x0時 p (x) 0;當(2)(x)p(x, y)dyk1 1x tk2(ki (2) 0的密度函數(shù)為,當 y(y)(k1) (k2)x txe dt 0時 p (y)P(x,y)dxk10,當xp (y)(K)他)k1 1 k2y y21tk10其中用到16、證:我們有(n kikr 1!(n k1k1n k1p1 (15)k1 x(k1)n k1pr 2)x 0時,注意積分取勝有選取,1k2 1 y ,(y x) dy0;當y0時,(k1) (k2)k1x 11k2 1(y x)(令y xydx1,1(1所以t)1 ydtk.y(K)B(k1
33、,k2) 他)函數(shù)的關系式。0 Fi(xi)k1y 1k2 1(K)化)(K)化)(k1k2)(k1k2)1,1 2fi(xi) 1 2 11,1 2E(x1) 12F2(x2) 12F3(x3) 11,kr 2)!nkr1pr 1kr 1)!k21)k1 k2 1 yy 2 e(4)代入f (x1, x2, x3)的表達式得(x1, X2, X3 )又有2匕(為)1fi(x)dxj2Fi(X)IdFi(x)_ 2一F1 (X) Fi(xi)(xi,x2,x3)dxdx2 dx3f1 (x1)dx1f2 (x2)dx2£3(x3 )dx3 1(2)(2)知f (x1,x2,x3)是密
34、度函數(shù)。用與上面類似的方法計算可得邊際密度函數(shù)為17、解:(x1出區(qū)心2dx3i便),(x1,x2,x3)dx1dx2f3 (x3)(%?2,乂3心心3 fzM) .(1)為求,)的聯(lián)合概率分布,分別考慮下列三種情況:(i,k 1)其中利用到獨立性。(a)Pk,k) Pk,j)kPj 1k,j1 qk1 qk 1pq(1(b) iPk,i) Pi,k(c) ik,i,Pk,i(2)因為max(,),所以k)1 i,k)k,j)(3) PPk 1k) Pi 1i,k)Pk,j)k2p qj 1p k)(2、k)pq(k1,2,)i,P kk)k 1k、pq (1 q )k 1k 1 kpq (2
35、 q q )21 k 2p qk 1k 1 kpq (2 q q )12 q pqk,(i,k 1)18、解:(1)邊際分布的密度函數(shù)為,當x 0.1時f(x) 0;當0 x 1時,同理,當y 0.1時f立。(2)邊際密度函數(shù)為,當當 y 0.1時 f (y)f (y)g (x, y) dx在區(qū)域0y 1中均有f (x)(y) 0;當0x 0.1時f (x)0;當010 8xydxg(x, y) f1f (x, y)dy o 4xydy 2xy 1時 f(y) 2y。f(x,y) f(x)f(y),所以 與1f (x, y)dy Q8xydy 4x(14y2(x)f(y),所以與不獨立。x2)
36、19、證:當0的聯(lián)合分布密度為p (x,y)-3 ,8 (1 sin xsin ysin z)dzz-3 sin xsin y( cosz)8其余p(x, y)x 2時,22 1(x)0 dy 0 8-13(1 sin xsin ysin z)dz ;其余p(x)0。由于三者在密度函數(shù)的表達式中所處地位相同,故得當時,pz 2 時,p (x, z) 1/4 2;當 0 y 2 , 0 z 2 時,p (y, z) 1/41/2 ;當0 z 2時,p (z) 1/2 ;在其余區(qū)域內(nèi),諸邊際密度函數(shù)均取0值。由于p (x,y) p(x)p(y),p (x, z) p(x)p (z), p (y,z
37、)p (y)p (z),故,兩兩獨立;但當02 ,0 z2 時有 p(x, y,z) p(x)p (y)p (z),故,不相互獨立。20、證:當 |x| 1 時,p (x)p(x,y)dy其余p (x) 0。同理當Iy I 1 時,p(y) 1/2其余 p (x)0 當 0 |x| 1,0 y 1時有p(x,y) p (x)p (y),所以 與 不獨立?,F(xiàn)試能動分布函數(shù)來證2與2獨立。2的分布函數(shù)記為F1(x),則當0 x 1時,Fi(x)2P 2 xP ,XBx-dx 2同理可求得 2的分布函數(shù)F2(y),得0,Fi(x)X, 0F2(y)1,1,0,.y,1,y1,(2, 2)聯(lián)合分布函數(shù)
38、記為F3(x,y),則當01, y 1 時同理得當0F3(x, y)F3(x,y)P2x,y P 2xy 1, x 1 時 F3(x, y)、);當 0x 1,p22x,y Pyx_ds'x.xy合起來寫得0, x,F2(x, y) y,xy,1,1,y1, y 1,x 1,01不難3證F3(x,y)F(x)F2(y)對所有x, y都成立,所以2 .獨立。21、證:(1)由褶積公式及獨立性得P 1kk P 1i 0i,iP 1iP2 k i這就證明了 P 1 k|k i 1一 ei 0 i !e(k i)!k2)k!i 0i !(k1)!(12)kk!e ( 1 2) e0,1,2,2
39、具有普阿松分布,且參數(shù)為、P 1 k, 122 nP 12 nnP 1 k, 2 n kP 12 nP1PkP 2k12 n22、證:由題設得P123、P1PP同理可證所以所以解:P1,1,P11P(P1,P(Pk1-e k!P(P(11,11,(n k)!1,11,1,11,1,111PP1相互獨立。用同樣的方法可片P 1,1,1P(P只兩兩獨立而不相互獨立。kk-e k!k 0,1,2由此得(1)Pakkb e k!(2)Pk2k一e k!1,P1P1,1P1P111Pn2) J 12)e n!證畢。1)1)1,1,111111111111)P 1 P1)1P1P1,1 , P也相互獨立。
40、1 1Pk 0,1,20,1,21,11,1P1P1.124、解:(1)由P 00知, 以概率1取有限值。當y 0時,1,1),f (y)P 0當y 0時,f (y)當y 0時,(2) F (y) Ptgy(3)當 y 0時,F(xiàn)(y)0;f (y)k萬0時,f (y) p25、解:設直徑為隨機變量d,圓面積1 d2。當144Pd(x)1 2 b時, 4Fa(y)PSyp(x)dx。p(x) dx 1 p(x)dx;01 p(x)dx;yarctg y)p(x)dx。k arctg yk p(x)dx22a 時 Fa(y) 0 ;當?shù)脠A面積的分布密度為,當 y(b0,a)其它1 d24b2時 F
41、a(y)a2 14Pd , 4y4y-dx ; b a1。由此對Fa(y)求導(利用對參數(shù)積分求導法則)b2 時 pa(y)y pa(y)F'a(y)-:(b a) y26、解:與的密度函數(shù)為(x) p(x)1,0,(1)由卷積公式及獨立性得的分布密度函數(shù)為p (y)p (x)p (yx) dx(2)其它0 x y,當 11。所以當A00 y 1時(2)中積分為當1 y 2時,(2)中積分為yp (y)01 1dx y1p (y) 丫 J 1dx 2 y;把(2)與(1)比較知,在(2)中應有0x1,0 y x 1,滿足此不等式組的解 (x, y)構成 D圖中平面區(qū)域平形四邊形 ABC
42、D當0 y 1時 1 B對其余的y有p (y)0 o27、解:p (x) p(x)1 _x2(x, y)由求商的密度函數(shù)的公式得p (y)|x| p(xy,x)dx|x|1-(e 1 22x2)dxxe1x2(1 y2)2 dx111 y21x2(1 2y2)1(1 y2)28、解:作變換,令s x y, t一服從柯西分布。的聯(lián)合密度應是它們單個密度的乘積,由此得1-x211 y2puv (s-t)2=e 22=e 2|J| 2U,12 eV的聯(lián)合密度函數(shù)為st 2s t 2 214(s2 t2)1一 ee4.22所以u,v兩隨機變量也相互獨立,且均服從12N (0-e 22)。pu (s)pv (t)29、解:當y 0時由獨立性得1 f (y) P yP1 y,y,ynP 1i 1yn(1i 1(
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