數(shù)列知識點(diǎn)大全及經(jīng)典測試題1

1、數(shù)列知識點(diǎn)回顧第一部分：數(shù)列的基本概念1.理解數(shù)列定義的四個(gè)要點(diǎn)數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序：而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律:因此，如果組 成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列.在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn).項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念.數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式一個(gè)數(shù)列 an的第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果用一個(gè)公式 an=f（n）來表示，就把這 個(gè)公式叫做數(shù)列 a。的通項(xiàng)公式。若給出數(shù)列 a。的通項(xiàng)公式，則這個(gè)數(shù)列是已知的。若數(shù)列 an

2、 'S .n =1 的刖n項(xiàng)和記為Sn ,貝U Sn與an的關(guān)系是：Hn =，。Sn -SnU. n>2第二部分：等差數(shù)列1 .等差數(shù)列定義的幾個(gè)特點(diǎn)：公差是從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前一項(xiàng)的差 （同一常數(shù)），即d = an an _i （nW）或d = an +1 an （nW N +）.要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，必須對任意nW N +, an an二d （n或）或d = an+an都成立.一 般采用的形式為：當(dāng)nW時(shí)，有an an 口 = d （d為常數(shù)）.當(dāng)n= N叫，有an 41 -an = d （d為常數(shù)）.當(dāng)nW時(shí)，有an由一an = an an _1成立.若判斷數(shù)列

3、an不是等差數(shù)列，只需有a3 a2為2 ai即可.2 .等差中項(xiàng)若a、A、b成等差數(shù)列，即A=a2,則A是a與b的等差中項(xiàng)；若A=亙2 ,則a、A、b成等22差數(shù)列，故A=a）是a、A、b成等差數(shù)列，的充要條件。由于 an = an+an，所以，等差數(shù)列的 22每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。3 .等差數(shù)列的基本性質(zhì)公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d.公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù) k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為 kd.若 an、 bn為等差數(shù)列，則 a n ibn與ka n + b（k、b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列.對任何m、nw N十，在等差數(shù)列

4、an中有：an= am+ （n m）d,特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，使得等差 數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性.、一般地，如果l, k, p,，m, n, r,皆為自然數(shù)，且l + k + p +=m + n + r +（兩 邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等）,那么當(dāng)an為等差數(shù)列時(shí)，有：ai + ak + ap+=am+ an + ap+.公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差 為kd（ k為取出項(xiàng)數(shù)之差）.如果 a。是等差數(shù)列，公差為d,那么，a。，a。，a2、ai也是等差數(shù)列，其公差為一d； 在等差數(shù)列 an中，am +i ai = am 4

5、k -ak = md .（其中 m、k、l e N +）在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列末項(xiàng)除外）都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng).當(dāng)公差d>0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng) d<0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減??；d = 0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個(gè)常數(shù).l 一 m設(shè)ai, am, an為等差數(shù)列中的二項(xiàng)，且ai與am , am與an的項(xiàng)距差之比二九（九w1）,m - n則amal an4等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式幻丁與2+嗎%的比較前n項(xiàng)和公式公式適用范圍相同點(diǎn)cn(ai +an)Sn=2用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)都是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn = nai + n(

6、nd 2用于已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的基本性質(zhì)數(shù)列 a。為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列 a。的前n項(xiàng)和Sn可以寫成Sn= an2 + bn的形式（其 中a、b為常數(shù)）.在等差數(shù)列 an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n （n*）時(shí)，S偶一$奇=nd,'= -a-；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為（2n1）S 偶 an+iS奇n（n= N+）時(shí)，S偶一$奇=an, =.S 偶 n - 1若數(shù)列 an為等差數(shù)列，則Sn, S2n-Sn, S3nS2n,仍然成等差數(shù)列，公差為n2d .an 15, r若兩個(gè)等差數(shù)列 an、 bn的前n項(xiàng)和分別是Sn、Tn（n為奇數(shù)），則包=".Tn bnj2在等差

7、數(shù)列 an中，Sn = a, Sm= b （n>m）,則 Sm十二n一m（a-b）. n 一 m等差數(shù)列an中，且是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n,且）均在直線y =-x +d）上.nn22記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn .若ai>0,公差d<0,則當(dāng)an司且an書或時(shí)，Sn最大;若ai<0 ,公差d>0,則當(dāng)an 0且an+冷時(shí)，Sn最小.第三部分：等比數(shù)列1 .正確理解等比數(shù)列的含義aa»q是指從弟2項(xiàng)起每一項(xiàng)與刖一項(xiàng)的比，順序不要錯(cuò)，即 q = （nW N+）或q = （n況）.anan _i由定義可知，等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為 0,因而公比q也不為0.要

8、證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，必須對任意 nwN十，電土 = q；或-an- = q （nW）都成立. anan _12 .等比中項(xiàng)與等差中項(xiàng)的主要區(qū)別如果G是a與b的等比中項(xiàng)，那么 G =-,即G2= ab, G =±ab .所以，只要兩個(gè)同號 的數(shù)才 a G有等比中項(xiàng)，而且等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)；如果 A是a與b的等差中項(xiàng)，那么等差中項(xiàng) A唯一地表示為A=ab,其中，a與b沒有同號的限制.在這里，等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)既有數(shù)量上的2, ,差異，又有限制條件的不同.3 .等比數(shù)列的基本性質(zhì)公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為qm（ m為

9、等距離的項(xiàng)數(shù)之差）.對任何m、nw N +,在等比數(shù)列 a。中有：a二am pn5,特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，使得等比數(shù) 列的通項(xiàng)公式，此式較等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有普遍性.一般地，如果t , k, p,，m, n, r,皆為自然數(shù)，且t + k, p,，m +=m + n + r + （兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng)a n為等比數(shù)列時(shí)，有：at . ak . ap .=am . an . ap.若 an是公比為q的等比數(shù)列，則| an|、a：、kan、工也是等比數(shù)列,其公比分別為 anI q |、q2、q、1. q如果 an是等比數(shù)列，公比為q,那么，ai , a3, a5,，a：n_i ,是

10、以q2為公比的等比數(shù) 列.如果 an是等比數(shù)列，那么對任意在 nW N十，都有an an 42 = a2 q2 >0.兩個(gè)等比數(shù)列各對應(yīng)項(xiàng)的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個(gè)數(shù)列的公比的積.當(dāng)q> 1且ai >0或0< q< 1且a1 <0時(shí)，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)a1 >0且0<q<1或a1 <0且q>1時(shí)，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當(dāng)q = 1時(shí)，等比數(shù)列為常數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)，等比數(shù)列為擺動數(shù)列.4 .等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn的基本性質(zhì)na1 ,當(dāng) q =1 時(shí)，如果數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，那么，它的前n項(xiàng)和公

11、式是Sn =a1（i_qn）-,* q = 1 呵.1 q也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是 在q = 1處.因此，使用等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1, 如果q可能等于1,則需分q = 1和q力進(jìn)行討論.當(dāng)已知a1，q, n時(shí)，用公式Sn = a1q）;當(dāng)已知a1，q, an時(shí)，用公式Sn=aanq .1 - q1 - q若Sn是以q為公比的等比數(shù)列，則有 Sn4m= Sm+qSn .若數(shù)列 an為等比數(shù)列，則Sn, S2n-Sn, S.S2n,仍然成等比數(shù)列.若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列（qw1）前n項(xiàng)和與前n

12、項(xiàng)積分別為S1與T一次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別 為S2與丁2,最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S3與T3,則S1，S2, S3成等比數(shù)列，T2 , T3亦成等 比數(shù)列.二、難點(diǎn)突破1 .并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在形式上也不一定唯一.已知一個(gè)數(shù) 列的前幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的.2 .等差（比）數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第2項(xiàng)起；二是“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差（比）等于 同一個(gè)常數(shù)”.這里的“從第2項(xiàng)起”是為了使每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)都確實(shí)存在，而“同一個(gè)常數(shù)”則是保證 至少含有3項(xiàng).所以，一個(gè)數(shù)列是等差（比）數(shù)列的必要非充分條件是這個(gè)數(shù)列至少含有 3項(xiàng).3 .數(shù)列的表示方法

13、應(yīng)注意的兩個(gè)問題：（1） an與an是不同的，前者表示數(shù)列a1,a2,，an,， 而后者僅表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)；數(shù)列a1,a2,，an,，與集合 a1，a2,，an,，不同，差別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而集合是一個(gè)有確定范圍的整體；數(shù)列的項(xiàng)有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性.4 .注意設(shè)元的技巧時(shí)，等比數(shù)列的奇數(shù)個(gè)項(xiàng)與偶數(shù)個(gè)項(xiàng)有區(qū)別，即：對連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的等比數(shù)列，若已知其積為 S,則通常設(shè)，aql aq,，a, aq, aq2,;對連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)同號.的等比數(shù)列，若已知其積為 S,則通常設(shè)，aqaq，aq, aq3,.5 . 一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項(xiàng)均不為0,因此，

14、在研究等比數(shù)列時(shí)，要注意an現(xiàn) 因?yàn)楫?dāng)an = 0時(shí)，雖有a2 = an- an中成立，但a n不是等比數(shù)列，即"b2 = a c”是a、b、 c 成等比數(shù)列的必要非充分條件；對比等差數(shù)列 an, 2b = a + c ' b、 c成等差數(shù)列的充要條件， 這一點(diǎn)同學(xué)們要分清.6 .由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為 0,因此，判斷一數(shù)列是否成等比數(shù)列，首先要注意 特殊情況07等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式蘊(yùn)含著分類討論思想，需分分 q = 1和q為進(jìn)行分類討論，在 具體運(yùn)用公式時(shí)，常常因考慮不周而出錯(cuò).數(shù)列基礎(chǔ)知識定時(shí)練習(xí)題(滿分為100分+附加題20分，共120分；定時(shí)練習(xí)時(shí)間1

15、20分鐘)一、選擇題(本大題共15小題，每小題3分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1 .下列四個(gè)數(shù)中，哪一個(gè)是數(shù)列n(n+1)中的一項(xiàng)()(A) 380(B) 39(C) 35(D) 232 .在等差數(shù)列an中，公差d =1, a4+a7 =8 ,貝U a?+a4+a6+0+a20的值為()(A) 40(B) 45(C) 50(D) 553. 一套共7冊的書1f劃每2年出一冊，若各冊書的出版年份數(shù)之和為13979,則出齊這套書的年份是()(A) 1997(B) 1999(C) 2001(D) 20034. 一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列，它的偶數(shù)項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)和的2倍

16、，又它的首項(xiàng)為 1,且中間兩項(xiàng)的和為 24,則此等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()(A) 12(B) 10(C) 8(D) 65,已知1是a2與b2的等比中項(xiàng)，又是 二與1的等差中項(xiàng)，則-012的值是()a ba2 b2(A) 1 或1(B) 1 或1(C) 1 或1(D) 1 或322336 .首項(xiàng)為24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為正，則公差 d的取值范圍是()888(A) d >-(B)d<3(C)qWd<3(D) - <d < 33337 .如果-1 , a,b,c ,-9成等比數(shù)列，那么()(A) b=3, ac=9(B) b=-3, ac=9(C)b=3, ac=-9

17、 (D)b=-3, ac=-98 .在等差數(shù)列 an中，已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5 + a6等于()A.40B.42C.43D.459 .已知某等差數(shù)列共有 10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為 15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為()A.5B.4C. 3D. 210 .若互不相等的實(shí)數(shù) a,b,c成等差數(shù)列，c,a,b成等比數(shù)列，且a+ 3b+ c =10 ,則a =A. 4 B .2 C .2 D .411 .在等比數(shù)列 an中，a=1, a0=3,則 a2 a3 a4 a5 % a7 為加=()A. 81B. 275 27C. , 3D. 24312 .在等比數(shù)列a中，ai =2，前n

18、項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列an+0也是等比數(shù)列，則Sn等于()(A) 2n .在數(shù)列an中, -2(B) 3n(C) 2n(D) 3n -1【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的定義和求和公式，著重考查了運(yùn)算能力。13 .設(shè)為是公差為正數(shù)的等差數(shù)列， 若a1+a2+a3 = 15,a1a2a3=80,貝Ua + a12+a13=()A. 120 B . 105 C . 90 D . 7514 .設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S7 =35 ,則a4 =()A. 8 B . 7 C . 6 D . 5S3 1S615 .設(shè)Sn是等差數(shù)列 a。的前n項(xiàng)和，若言=1,則三6 =()S6 3S12'3r 1_

19、 1f 1(A)而(B) 3(C)8(D)-二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分.把答案填在題中橫線上)且Sn =9 ,則n三2 .等比數(shù)列斗的前三項(xiàng)為x,2x+2,3x+3,貝Ua4=3 .若數(shù)列配 如足：a1=1,an +=2an.n=1, 2, 31.則a1+a?+an=4 .設(shè)Sn為等差數(shù)列 圾的前n項(xiàng)和，S4=14, S10- S7 =30,則S9=.5 .在數(shù)列an中，若闞=1 , an+ =an+2(n之1),則該數(shù)列的通項(xiàng) an =三、解答題(本大題共4小題，每小題10分，共40分)一，：,20 r ,1 .已知Qn)為等比數(shù)列，a3 =2,a2+a4=，求4的通項(xiàng)

20、式。32 .設(shè)等比數(shù)列aj的前n項(xiàng)和為Sn, S4 =1£ =17，求通項(xiàng)公式an=?3 .已知正項(xiàng)數(shù)列an,其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)an .4 .數(shù)列4的前n項(xiàng)和記為Sn,a1 =1,%由=2&+1(n之1 )(I)求an)的通項(xiàng)公式；(n)等差數(shù)列4的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為Tn ,且T3 =15,又ai+b,a2+b2,a3 + b3成等比數(shù)列，求Tn本小題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及推理能力與運(yùn)算能力。滿分12分。四、附加題(20分)某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定

21、時(shí)開放健身房和娛樂室。據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問，隨著時(shí)間的推移，去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定？101. A 2.B3.D4.C5.D6.D7.B解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac= (1) X (9) =9, bxb=9且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號相同，故 b= 3,選B 8.B解：在等差數(shù)列 an中，已知 闞=2,a2+a3 =13,，d=3, a5=l4, a4+a5 + a6 =3a5=42,選 B.9.C么|5ai+20d =15解：11= d =3,故選 C. 10. D5ai +25d =30解：由互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列可

22、設(shè) a=b d, c=b+d,由a+3b+c = 10可彳導(dǎo)b= 2,所以a = 2-d, c = 2+d,又c,a,b成等比數(shù)列可得 d = 6,所以a = 4,選D 11.A解：因?yàn)閿?shù)列 an是等比數(shù)列，且 a1 = 1, a0=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9 =(a2a9) (a3a8)( a4a7) (a5a6)= ( a1a10)4= 34= 81,故選 A12c2n 124 .1 = 412 . 11 2= 4,1 2 = 21.1【解析】因數(shù)列 Qn為等比，則an =2qn,，因數(shù)列an +1也是等比數(shù)列，則 (an 1 1)2 =(an 1)(an 2a二 an(1

23、q2 2q) =0= q =1即an =2 ,所以Sn =2n ,故選擇答案C。13. B【解析】an)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1+a2+a3=15, a1a2a3 =80 ,則a2 = 5, a,a3 = (5 - d)(5+d) = 16,d=3, a12 = a2 + 10d = 35, a+a12+a13 =105,選 b. 14. d【解析】Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S7=7a4 =35,a4 = 5 ,選D.15.A解析：由等差數(shù)列的求和公式可得S3 = 3al +3d =工可得a =2d且d #0S6 6a1 15d327d3拓入二一，故選A90d10所以且 =_6a_

24、15dS1212a1 66d二、填空題2799"23 .解：數(shù)列 A 滿足：a1 =1,an力=2an, n =1 , 2 , 3，該數(shù)列為公比為2的等比數(shù)歹U ,2n -1 na1a2 - - an = =2n -1.2 -14 .解：設(shè)等差數(shù)列 &的首項(xiàng)為ai,公差為d,由題意得4ai +4(4-1)d =14, 210a +10(10-1)d _7ai +7(7-1)d =30,聯(lián)立解得 ai=2,d=1, 所以釬93空21=54 2225 .解：由4+=4 +2(n之1)可得數(shù)列an為公差為2的等差數(shù)列，又a1 =1 ,所以an = 2n 1 三、解答題3321 .解

25、：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,貝U qw002=1 = 一 , a4=a3q=2q q q ''所以 2 + 2q=20 ,解得 q1=3 , q2= 3, q 33.111 18Q n當(dāng) q1=3, a1=18.所以 an=18N3) =3- = 2 3 .當(dāng) q=3 時(shí)，a1二 1 ,所以 an=| >3n 1=2 ><3n 3. 99心a1 (q4 -1),2 .解：設(shè)an的公比為q,由S4=1,S8=17q1 ,所以得 ''=1q -1辿 "=17由、式得整理得丫1 =17解得q4 =16q -1q T 所以q=2或q=21 2n將q = 2代入式得a1 =,所以a =1515-1(_1)n 2nt將q=- 2代入式得a1 =,所以an =(55223.解析：解：.1