高等代數(下)期終考精彩試題及問題詳解(C卷)

1、實用標準高等代數(下)期末考試試卷(C卷)一.選擇題(每空2分，共12分)1 .( D )下列集合哪一個是 R n的子空間(A) ( ai,0,.，0, an)| aan R, a 二 an (B)( ai , a2，,an ) | a- Z, i = 1,n n(C)( ai , a2，,an ) ai =1 a R i J n(D)( ai , a?，an ) ai =0, a R i -12. ( B )令之二(X1, X2, X3)是R3的任意向量.下列哪一個映射。是R3的線性變換(A)仃(口 )=之+口 ,其中a ¥0是R3的固定向量(B)二()=(2 X1 - X2 +

2、X3, X2X3 , - X3)(C):()=(X1 , x2, X3 )(D) 1 )=(X1 1 ,X2,0)3. (C)如果M , V2是線性空間V的兩個子空間，且dim(V1)= 3, dim (V2) = 2 ,dim(V1?V2)1，那么 dimM + VQ 為(A) 2(B) 3(C) 4(D) 524. (C )若4階方陣A的初等因子為(l + 3) ,+3,2.則A的不變因子是2(A) 1, (+3), (+2), (l +3);2(B) 1,1,( +3) (+ 2) , (l+ 2)(l+ 3);2(C) 1, 1, (+3), (l + 2)(l + 3);2(D) 1

3、,1,( +2), (l + 2)(l + 3);5. ( B )設矩陣A的全部不同特征值為 ,%,.,九s,則下列哪一說法與 A可對角化不等價(A) A有n個線性無關的特征向量；(B) R(E-A)=ni(i =1,2,.s)(其中 n為"的重數)；(C) 九的特征子空間V?的維數dim (V» =%的重數(i=1,2,.,s)；(D) A的最小多項式均是數域P上互素的一次因式的乘積；6. (D)在實數域R中，由全體4階反對稱矩陣所構成的線性空間W的維數為（A） 10；（B） 4;（C） 9;（D） 6;.填空題（每空2分，共 18分）1、已知a是數域P上的一個固定的數，

4、而 W=（a,x2,|,xn） xi w P, i = 2,|,n 是pn書的一個子空間，則 a =, dim （ W） =.2 .設?！笔荘2的兩個線性變換，定義如下二（x,y）=（2x y, 0）,.（x,y）=（y, x y） （"x, y P）則tct（x ,y ）=.100'3 .已知九EA的標準形為0 九 0 ，則A的特征多項式、0 0 九（九2），, 2 _一一 一一 .EE 一 A =九（九-2）, A的最小多項式為 的特征向量.y=13 '1、4 .設A =，則向量 是A的屬于特征值<22,200 )20 0、5 .若A= 001 與B=0y0

5、相似，則x©1xj<00-b6 .設三階實對稱矩陣 A的特征值 = % = 1, %=3,則R（3E - A） =。3 .判斷題（對的打“,錯的打" X"，每小題2分，共10分）1 .對于矩陣的加法和數乘，V0 = B B'=B, BWRn殉是Rn圻的子空間（）2 .任一實對稱矩陣 A都與對角陣A既相似又合同（）3 .設仃是數域P上線性空間V的線性變換，W是一維仃-子空間，那么W中任何 一個非零向量都是 。屬于特征值 人的特征向量.（）4 .在歐幾里得空間 V中，保持任兩個非零向量的夾角不變的線性變換仃 必為正交變換.（）5 . A（九）與B（九）等

6、價當且僅當它們有相同的行列式因子.（）4 .計算題（共3小題，33分）22 .1 .設3, e2和h1, h2是線性空間R的兩組基，仃是R的線性變換，已知s(ei,e2)= (ei- 2e2, 2ei + e2), (hi, h2)= (e + e2, 2e1 + 3金)(1)求o在基e, e2下的矩陣A; (2)求基e , e2到基h1, h2的過渡矩陣X ；(3)求。在hi, h2下的矩陣。.(7分)2.設%,0(2,%是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為1-1 2 '-1 2-112 一1 6,(1)令 y =% +«2，求 ? ；(2)若P =«1

7、+儀2 +k%與個正交，求k的值.(10分)2223.設一次型 f (x1, x2,x3 ) = 2x1 +2x2 +2x3 -2x1x2 -2x1x3 -2x2x3,(1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性.(16分)五.證明題(每題9分，共27分)1 .設V1與V2分別是齊次方程組 x1 + x2 +. + xn = 0,*=x2 = . = xn/=xn的解空間，證明：Pn=V1$V2.2 .證明：若A是實對稱矩陣，則Rn中分別屬于A的不同特征值九,N的特征向量«,?必正交3 .設V是一個n維歐氏空間，。

8、是V的一個對稱變換，證明：值域仃(V)是核。(0)的 正交補.答案幻燈片1高等代數(下)期末考試C卷解答二、選擇題(2X 6=12分)1、 ( D )下列集合哪一個是 Rn的子空間(A) ( ai,0,.，0, an)| ai,an - R,ai 二 an(B) ( ai ,a2 ，,an ) | ai 三 Z, i = 1,，nn(C) ( ai , a?，an ) | ' ai = 1 a - Ri An(D) ( ai ,a2,，an)|< ai =0, ai - Ri i文檔大全幻燈片2一、選擇題(2X 6=12分)2、( B )令C=(Xi,X2,X3樨R3的任意向量，

9、 3 下列哪一個映射是 R的線性變換。(A)仃代)=+ot ,其中a#0是R3的固定向量 (B)二(. ) = (2 Xi -X2 + X3, X2X3,X3)(C)二(. ) =( Xi , X2, X3 )(D)二(')=(Xi 1 ,X2, 0)3、 ( C )如果 V,V2是線性空間V的兩個子空間，且 dim(M)= 3,dim M)= 2,dim N ? V2) 1, 則 dim(V + V2)為(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5幻燈片3一、選擇題(2X 6=12分)2 .4、 ( C )若4階方陣A的初等因子為(1 + 3),1 + 3,1 + 2則A的不變因子是2(

10、A) 1,1 +2,1 +3,(1 + 3)2(B) 1,1,(1 + 2)(1 + 3),(1 + 2)(1 + 3)2(C) 1,1,(1 + 3),(1 + 2)(1 + 3)2(D) 1,1,(1 + 2),(1 + 2)(1 + 3)幻燈片4一、選擇題(2X 6=12分)5、 ( B )設矩陣A的全部不同特征值為 九，£2,，黑 則下列哪一說法與A可對角化不等價：(A) A有n個線性無關的特征向量；(B )R(九EA)=n ,(i =1,2,.s),(其中 n 為九的重數)(C ,的特征子空間V)的維數dim(V-=九的重數(i =1,2,., s)(D) A的最小多項式均

11、是數域 P上互素的一次因式的乘積6、 ( D )在實數域 R中，由全體4階反對稱矩陣所構成 的線性空間W的維數為(A) 10;(B) 4;(C) 9;(D) 6;3 2 1幻燈片5二、填空題(每空2分，共18分)1、已知a是數域P上的一個固定的數，而W =(a,x,H|,Xn)|xi wp,i =1|,n是pn+的一個子空間，則 a= 0 , dimW= n2(a,Xi"|,Xn) =(2a,2%|H，2Xn) W=2a = a =, a =0i；i = 0,0,川1,0,l|0i =2,3，,n 1是W的一個基?；脽羝?二、填空題(每空2分，共18分)22、設仃，7是P2的兩個線性

12、變換，定義如下：二(x, y) =(-2x y,0), (x, y) =(-3y, x y)-x,y P則.；二(x, y) = (0, -2x y)二(x,y) = .(2x y,0) =(0, -2x y)0 10-2 0或 c (x, y) =(x,y) 102f-2Mx,y). (x, y). 110 1(x,y) =(x, y)一3 1-2 001= (x, y) I' ,104 1= (x, y)-21=0, -2x y幻燈片二、填空題（每空2分，共18分）1003、已知正-A的標準形為0九00 0 九（九一2）,則A的特征多項式是九2（九一2）A的最小多項式是九（九一 2

13、）|：EA=Dn =di d2 dn -n階復數方陣A的最小多項式 mA （九）正是A的 第n個不變因子dn （九）（P351）幻燈片8二、填空題（每空2分，共18分）1 3、八4、設A =,則向量 是A的屬于特征值42J4的特征向量0 0y 0相似，則0 -1 ,25、若 A = 0x = 00 *21 與 B= 0x.)L0N= 1|a| = 2 =|b =2y= y =1tr A =2 x =tr B =1 y- x =0幻燈片9二、填空題(每空2分，共18分)6、設三階實對稱矩陣 A的特征值 九二池=1,九3 =3則 R(3EA)= 2實對稱矩陣必可對角化，所以V也即(E _A)X =

14、0解空間的維數為2 ,故 R(E_A)=1乂也即(3E -A X =0解空間的維數為1 ,故 R(3E - A) =2幻燈片10三、判別題（對的打”，”,錯的打" X”，2X5=10分）1、對于矩陣的加法和數乘，Vo= B| B' = B, BWRn>n是RnM的子空間（V ）2、任一實對稱矩陣A都與一對角陣既相似又合同（ V）3、設仃是數域P上線性空間V的線性變換， W是一維 O子空間，那么 W中任何一個非零向量都是 。的 屬于特征值九的特征向量（v）W =L ："二： W= : :- -二 k、"W,"0:-；k -k. kk : k

15、k: -幻燈片114、在歐幾里得空間V中，保持任兩個非零向量的夾角不變的線性變換必為正交變換（X ）保持任意兩個非零向量的夾角不變的線性變換未必是正交變換。如：令 A ：. 二2二、 二工三V口八 口，、, 一 A ：，A 2: ,2 ： 二,一：顯然 線性變換, 且 iT_jjp =_; no=11 ni' A . |Ab：2 I|2b 二 b但 AA 呂： 2-,2二）=4 二二所以A不是正交變換。但有一一 實數域R上歐氏空間V的線性變換A是正交變換o（=V,有 |Aa| = |c（|幻燈片12三、判別題（對的打”,錯的打" X”，2X5=10分）5、A（?J與B（冷等價

16、當且僅當它們有相同的行列式因子（V）四、計算題（7+10+16=33分）1、設副，逐和1尸2是線性空間線性變換，已知：s（e,e2）=（0- 2e2, 2e + e2）,R2的兩組基，。是R2的(1)(2)(3)求0在基齒，&下的矩陣(%,兒)=佃+ %,20 + 3e2)A ；求由基,后2到基ni尸2的過渡矩陣X ； 求仃在基%, %下的矩陣Bo解:(1)s(ei,e2)= (e- 2e2, 2ei+ e2)=%)本；2?仃在基S1電下的矩陣A = 121-2 1幻燈片131、設荷，逐和“1,1是線性空間 R2的兩組基，。是R2的 線性變換，已知：s(e©)= (0- 2弓

17、，2e + %), (%,、)=佃+ %,20 + 電)(1)求仃在基齒,私下的矩陣A ；(2)求由基務，彩到基？產2的過渡矩陣X ;(3)求仃在基？，下的矩陣Bo解：(2)(hi,h2)= (e + e2, 2ei+ 3e2)= (。©)?1 2?期 2?1 3由基S1,電到基“1，2的過渡矩陣X = 9 3?(3)求仃在基)尸2下的矩陣31 ；-1426-9幻燈片14四、計算題（7+10+16=33分）2、設5,0（2,。3是3維歐氏空間V的一組基，這組基的122 2度量矩陣為:I2 /6）（1）令 / =5 +a2，求 |（2）若P =£1 +口2 +皿3與.?正交，

18、求k的值。1-1 2 ¥l :解：（1）（7尸）=（1 1 0）1 2-1 1，1 ;,=1-1 6大叮（1）之解法二：（N 為=（5 + 5，。1+ a2）二（二1, ）（二1, "） .（二2,二1）1：工2,12 二1-1-1 2=1=J （r飛=1幻燈片15四、計算題(7+10+16=33分) 2、設5,0(2,口3是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為:(1)令 Y =5 +0.2 ,求丁正交,求k的值。(2)若 P =£1 +«2 +kot3 與解：(2).”13= 1 1 k 1 22-12-16110幻燈片16四、計算題(7+10+

19、16=33分) 2223、設二次型 f(x,x2,x3)=2x +2x2 +2%2xix22X1X32x2X3 (1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性。2/_1、&1、解：(1)二次型 f 儼,x2 ,x3 )=(x,x2 ,x3) -1 2 -1 x2U -12 大x3,2-1 -1 ;所以二次型的矩陣是：A=2-1I一1 2幻燈片17四、計算題(7+10+16=33分) 2223、設二次型 f(x,x2,x3)=2x +2x2 +2%2xix22X1X32x2X3 (1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交

20、線性替換將二次型化為標準形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性。Z-211解：(2)p,E -A= 1九21 =，1a3)211九2A的特征值為：兒=0,% =% =3.對九=o,解方程組(0EA)x =。得一基礎解系：?1 = 1,1,1幻燈片18四、計算題(7+10+16=33分)2223、設二次型 f(x,x2,x3)=2x +2x2 +2%2xix22X1X32x2X3(1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性。解：(2)對兒=71s =3,解方程組(3E A )X =0得一基礎解系：.2 = -1,1,

21、0，、工 3 = -1,0,1把0(1單位化，把06,0(3正交規(guī)范化，得；一1,1,。，, - -1,-1,2 幻燈片19四、計算題(7+10+16=33分) 2223、設一次型 f(x,4,x3)=2x +2x2 +2x3 -2x1x2 -2x1x3 -2x2Xj (1)寫出二次型所確定的矩陣；(2)用正交線性替換將二次型化為標準形；(3)求二次型的秩；(4)判斷二次型的正定性。解：(2)令 T - -1 , 1-2 , 1-'3作正交變換：X=TY 22則二次型化為標準形：f xi,x2,x3 =3y2 ,3y3(3)由(2)知二次型的秩為2 ;(4)由(2)知二次型是半正定的?；脽羝?0五、證明題(每題9分，共27分)1、設V1與V2分別是齊次方程組Xi +X2 + Xn = 0,和X1 x2 =. = xn工=xn的解空間，證明P V1