高等代數(shù)(下)考前復習題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上例1 （1）設是線性變換A的兩個不同特征值，是分別屬于的特征向量，試證明不是A的特征向量。提示：若是的特征向量，則，矛盾（2）如果線性空間的線性變換A以中每個非零向量為其特征向量，則線性變換A是數(shù)乘變換提示：若線性變換A有兩個不同特征值，而是分別屬于的特征向量，由題設，也是A的特征向量，由此推出，因此線性變換A只有一個特征值，對于任意非零向量，A.例2 設線性變換A在基下的矩陣是,求A的特征值與特征向量.例3 設矩陣為,(1)問能否相似于對角陣？（2）若能，求一個可逆矩陣，使得為對角陣.例4 在空間中，線性變換D在基下的矩陣是的特征多項式是.因此，的特征值只有0.通過

2、解相應的齊次線性方程組知道，屬于特征值0的線性無關的特征向量組只能是任一非零常數(shù).這表明微商為零的多項式只能是零或非零的常數(shù).定理 設為n階矩陣的特征值，則 （1） （2）定理 （1）矩陣A與A的轉置有相同的特征值。（2）設l是矩陣A的特征值，則的特征值（其中m是正整數(shù)）。（3）是的特征值。（4）若矩陣A可逆，l是矩陣A的特征值，則是矩陣的特征值例12 已知1，2，3是3階矩陣A的特征值，計算行列式及。定理 設A是維線性空間的線性變換，是的一組基，在這組基下A的矩陣是，則1） A的值域A是由基像組生成的子空間，即A=2） A的秩=的秩.定理 設A是維線性空間的線性變換，則A的一組基的原像及A的

3、一組基合起來就是的一組基.由此還有 A的秩+A的零度=例6. 設是數(shù)域上四維線性空間的一個基，已知線性變換在此基下的矩陣為 ，求 的值域與核及值域與核的維數(shù)。解：由核的定義，得方程組 解之得 核，核的維數(shù)是2又 的秩為，且線性無關.值域的維數(shù)也是2.注意1：值域的維數(shù)就是矩陣A的秩r,而核的維數(shù)就是n-r.注意2：雖然子空間A與A的維數(shù)之和為，但是A+A并不一定是整個空間.（見下面例子）例5 在線性空間中，令D則D 的值域就是，D 的核就是子空間（即數(shù)域）.定義 設A是數(shù)域上線性空間的線性變換,是的一個子空間.如果中的向量在A下的像仍在中，換句話說,對于中任一向量，有A，就稱是A的不變子空間，

4、簡稱A-子空間.例7 A的值域與核都是A-子空間.例8 若線性變換A與B是可交換的，則B的核與值都是A-子空間.例9 在里, 對于向量定義內積寫出柯西不等式。例1 設A=()是一個n級正定矩陣，而在中定義內積為:（1） 證明在這個定義之下，成一歐氏空間。（2） 求單位向量 的度量矩陣。（3） 具體寫出這個空間中的柯西布涅柯夫斯基不等式。解：（1）只要按定義逐條驗證就行。由于A是正定矩陣，是正定二次型，從而。且僅當時，。由此可見，在這一 定義下成一歐氏空間。（2）設單位向量的度量矩陣為，那么，此即B=A。（4） 柯西不等式即 略。例10 在維歐氏空間中，由個向量組成的正交向量組稱為正交基；由單位

5、向量組成的正交基稱為標準正交基.你會判斷向量是否為標準正交基？你會判斷矩陣是否為正交矩陣？（第9章習題6）例11掌握施密特正交化的方法實對稱矩陣的標準形（對角化問題）（1）設矩陣為,求一個正交矩陣，使得為對角陣.（2）設矩陣為,求一個正交矩陣，使得為對角陣.提示：計算特征值時，第3行加到第2行，再第3列的-1倍加到第2列（3）用正交線性替換化二次型為標準形。定理 設為n階矩陣的特征值，則 （1） （2）定理 （1）矩陣A與A的轉置有相同的特征值。（2）設l是矩陣A的特征值，則的特征值（其中m是正整數(shù)）。（3）是的特征值。（4）若矩陣A可逆，l是矩陣A的特征值，則是矩陣的特征值例12 已知1，2，3是3階矩陣A的特征值，計算行列式及。空間解析幾何部分（1）向量的加、減、數(shù)乘向量、向量的數(shù)量積、向量積、混合積（2）直線方程，平面方程的求法（3）點到平面的距離，直線與平面的關系，平面與平面的關系（4）直線與直線的關系。異面直線的公垂線方程（5）