高等代數(shù)(下)考前復(fù)習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上例1 （1）設(shè)是線性變換A的兩個(gè)不同特征值，是分別屬于的特征向量，試證明不是A的特征向量。提示：若是的特征向量，則，矛盾（2）如果線性空間的線性變換A以中每個(gè)非零向量為其特征向量，則線性變換A是數(shù)乘變換提示：若線性變換A有兩個(gè)不同特征值，而是分別屬于的特征向量，由題設(shè)，也是A的特征向量，由此推出，因此線性變換A只有一個(gè)特征值，對(duì)于任意非零向量，A.例2 設(shè)線性變換A在基下的矩陣是,求A的特征值與特征向量.例3 設(shè)矩陣為,(1)問(wèn)能否相似于對(duì)角陣？（2）若能，求一個(gè)可逆矩陣，使得為對(duì)角陣.例4 在空間中，線性變換D在基下的矩陣是的特征多項(xiàng)式是.因此，的特征值只有0.通過(guò)

2、解相應(yīng)的齊次線性方程組知道，屬于特征值0的線性無(wú)關(guān)的特征向量組只能是任一非零常數(shù).這表明微商為零的多項(xiàng)式只能是零或非零的常數(shù).定理 設(shè)為n階矩陣的特征值，則 （1） （2）定理 （1）矩陣A與A的轉(zhuǎn)置有相同的特征值。（2）設(shè)l是矩陣A的特征值，則的特征值（其中m是正整數(shù)）。（3）是的特征值。（4）若矩陣A可逆，l是矩陣A的特征值，則是矩陣的特征值例12 已知1，2，3是3階矩陣A的特征值，計(jì)算行列式及。定理 設(shè)A是維線性空間的線性變換，是的一組基，在這組基下A的矩陣是，則1） A的值域A是由基像組生成的子空間，即A=2） A的秩=的秩.定理 設(shè)A是維線性空間的線性變換，則A的一組基的原像及A的

3、一組基合起來(lái)就是的一組基.由此還有 A的秩+A的零度=例6. 設(shè)是數(shù)域上四維線性空間的一個(gè)基，已知線性變換在此基下的矩陣為 ，求 的值域與核及值域與核的維數(shù)。解：由核的定義，得方程組 解之得 核，核的維數(shù)是2又 的秩為，且線性無(wú)關(guān).值域的維數(shù)也是2.注意1：值域的維數(shù)就是矩陣A的秩r,而核的維數(shù)就是n-r.注意2：雖然子空間A與A的維數(shù)之和為，但是A+A并不一定是整個(gè)空間.（見(jiàn)下面例子）例5 在線性空間中，令D則D 的值域就是，D 的核就是子空間（即數(shù)域）.定義 設(shè)A是數(shù)域上線性空間的線性變換,是的一個(gè)子空間.如果中的向量在A下的像仍在中，換句話說(shuō),對(duì)于中任一向量，有A，就稱(chēng)是A的不變子空間，

4、簡(jiǎn)稱(chēng)A-子空間.例7 A的值域與核都是A-子空間.例8 若線性變換A與B是可交換的，則B的核與值都是A-子空間.例9 在里, 對(duì)于向量定義內(nèi)積寫(xiě)出柯西不等式。例1 設(shè)A=()是一個(gè)n級(jí)正定矩陣，而在中定義內(nèi)積為:（1） 證明在這個(gè)定義之下，成一歐氏空間。（2） 求單位向量 的度量矩陣。（3） 具體寫(xiě)出這個(gè)空間中的柯西布涅柯夫斯基不等式。解：（1）只要按定義逐條驗(yàn)證就行。由于A是正定矩陣，是正定二次型，從而。且僅當(dāng)時(shí)，。由此可見(jiàn)，在這一 定義下成一歐氏空間。（2）設(shè)單位向量的度量矩陣為，那么，此即B=A。（4） 柯西不等式即 略。例10 在維歐氏空間中，由個(gè)向量組成的正交向量組稱(chēng)為正交基；由單位

5、向量組成的正交基稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基.你會(huì)判斷向量是否為標(biāo)準(zhǔn)正交基？你會(huì)判斷矩陣是否為正交矩陣？（第9章習(xí)題6）例11掌握施密特正交化的方法實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角化問(wèn)題）（1）設(shè)矩陣為,求一個(gè)正交矩陣，使得為對(duì)角陣.（2）設(shè)矩陣為,求一個(gè)正交矩陣，使得為對(duì)角陣.提示：計(jì)算特征值時(shí)，第3行加到第2行，再第3列的-1倍加到第2列（3）用正交線性替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。定理 設(shè)為n階矩陣的特征值，則 （1） （2）定理 （1）矩陣A與A的轉(zhuǎn)置有相同的特征值。（2）設(shè)l是矩陣A的特征值，則的特征值（其中m是正整數(shù)）。（3）是的特征值。（4）若矩陣A可逆，l是矩陣A的特征值，則是矩陣的特征值例12 已知1，2，3是3階矩陣A的特征值，計(jì)算行列式及。空間解析幾何部分（1）向量的加、減、數(shù)乘向量、向量的數(shù)量積、向量積、混合積（2）直線方程，平面方程的求法（3）點(diǎn)到平面的距離，直線與平面的關(guān)系，平面與平面的關(guān)系（4）直線與直線的關(guān)系。異面直線的公垂線方程（5）