《初等數(shù)學(xué)研究習(xí)題解答》

1、初等數(shù)學(xué)爭(zhēng)辯習(xí)題解答第一章 數(shù)系1.1 集合論初步·自然數(shù)的基數(shù)理論習(xí)題1.11證明集合與實(shí)數(shù)集對(duì)等。證明：取對(duì)應(yīng)關(guān)系為，這個(gè)函數(shù)構(gòu)成與的一一對(duì)應(yīng)，所以集合與實(shí)數(shù)集對(duì)等。2證明證明：或，或（且），那么有或同時(shí)還有或，即同時(shí)還有，所以反過來：且，對(duì)于前者有或者；對(duì)于后者有或者，綜合起來考慮，與前后都有，所以應(yīng)是“且”即“”，再結(jié)合的地位“或者”以及前后關(guān)系有“或”即，所以所以。3已知集合有10個(gè)元素，都是的子集，有5個(gè)元素，有4個(gè)元素，有2個(gè)元素，那么有幾個(gè)元素？解：集合如圖1所示：由于，所以，從而，即有8個(gè)元素4寫出集合的全部非空真子集。5證明，按基數(shù)理論定義的乘法對(duì)加法的安排律成立

2、。證明：設(shè)是三個(gè)有限集合，并且，記首先：由于，所以，所以其次：對(duì)于，由于，那么若，于是；若，于是，所以總有即反過來：，那么或者于是有或者，即，所以即所以6在基數(shù)理論定義的乘法下，證明。證明：設(shè)，則，是任意有限集，并且。作集合：，明顯作對(duì)應(yīng)，而這個(gè)對(duì)應(yīng)是從到的一一對(duì)應(yīng)，所以與對(duì)等，從而有：，即。1.2 自然數(shù)的序數(shù)理論習(xí)題1.21用定義計(jì)算。解：；。2用定義計(jì)算解：3在序數(shù)理論下，證明自然數(shù)的離散性，即不存在自然數(shù)，使介于與之間。證明：假如不然，由于，則必定是，由于，所以存在使，由于，所以，即，沖突（此前有）4用第一歸納法證明是9的倍數(shù)。證明：對(duì)于，有，結(jié)論成立；設(shè)成立，那么所以結(jié)論在也成立。5

3、用其次歸納法證明數(shù)列的每一項(xiàng)都是自然數(shù)。證明：由于，即是自然數(shù)；設(shè)都是自然數(shù)，那么從而也是自然數(shù)，故“的每一項(xiàng)都是自然數(shù)”成立。1.3 復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式 習(xí)題1.31利用復(fù)數(shù)推導(dǎo)三倍角公式解：設(shè)，那么，另一方面，將開放：比較實(shí)部和虛部，即得：2設(shè)M是單位圓周上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N與定點(diǎn)A(2, 0)和點(diǎn)M構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形斜邊的端點(diǎn)，并且成逆時(shí)針方向，當(dāng)M點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡。解：如圖1-1，設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)記為由于成逆時(shí)針方向，將向量繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后必與向量重合，所以有即 亦即：所以，但所以：整理即得：3設(shè)圓的方程為，點(diǎn)，在給定的圓周上，以為底邊作等腰直角，并且成逆時(shí)針方向。當(dāng)移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)

4、的軌跡。解：設(shè)、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為：、不失一般性，不妨設(shè)成逆時(shí)針方向。于是有 這時(shí)：所以有：亦即 故 ， 從中解出得： 所以有：，即4設(shè)是復(fù)平面上三個(gè)點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，證明三角形ABC是等邊三角形的充分必要條件是證明：不失一般性，不妨設(shè)成逆時(shí)針方向，如圖1-2，于是依據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有，即但不共線。所以于是開放整理即得即。5試寫出的四個(gè)四次方根。解：的幅角為，模為1，而的四分之一為，所以的四個(gè)四次方根的幅角依次為、，模都為，從而這四個(gè)虛根依次為、6用復(fù)數(shù)的乘法證明：（1）（2）證明：（1）設(shè)四個(gè)復(fù)數(shù)那么： 所以，即而即 （2）設(shè)三個(gè)復(fù)數(shù)那么： 所以，即而 所以 1.4 近似數(shù)的概念與計(jì)

5、算習(xí)題1.41已知近似數(shù)2315.4的相對(duì)誤差界是0.02%，試確定它的確定誤差界,并指出它的有效數(shù)字的個(gè)數(shù).解：所以，確定誤差界=0.46，有效數(shù)字的個(gè)數(shù)為5。2把數(shù)1460000.2471精確到十位、百位、千位、萬位時(shí)，結(jié)果分別表示為什么?解：分別是：1.46000×106、1.4600×106、1.460×106、1.46×106。3把數(shù)5.2435、6.5275000、3.5465、7.278500精確到千分位時(shí)的結(jié)果分別是多少?解：分別是5.244、6.528、3.546、7.2784測(cè)量一個(gè)螺栓的外徑和一個(gè)螺帽的內(nèi)徑分別應(yīng)當(dāng)用哪種近似數(shù)的截取

6、方式？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由。解：螺栓外徑用進(jìn)一法，螺帽內(nèi)徑用截尾法。由于螺栓外徑的測(cè)量值必需不小于真值，而螺帽內(nèi)徑的測(cè)量值必需不大于真值，否則螺帽將套不住與之配套的螺栓。5近似計(jì)算：（1）1.2×1041.53×1035003.6（2）43.260.3824（3）32.264×2.13（4）(2.63×103)÷2.43564解：（1）1.9×104；（2）42.88；（3）68.7；（4）1.08×1036一塊圓柱形金屬部件的底面半徑長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)尺寸為75mm，高為20mm。加工時(shí)一般會(huì)有誤差。但要求成品的體積的確定誤差不超過5mm

7、3，問測(cè)量時(shí)底面半徑和高各自應(yīng)達(dá)到怎樣的精確度？解：部件的體積由于誤差不能超過5mm3，它是10mm3的半個(gè)單位，所以體積的精確度應(yīng)當(dāng)是十位（單位mm3），即V應(yīng)當(dāng)有5個(gè)有效數(shù)字，從而測(cè)量時(shí)，底面半徑、高都要有6個(gè)有效數(shù)字而底面半徑、高本身的整數(shù)部分是兩位整數(shù)，所以要達(dá)到6個(gè)有效數(shù)字，測(cè)量精確度必需達(dá)到（的半個(gè)單位），常數(shù)應(yīng)取近似值為3.14159。7一個(gè)圓錐形部件底面半徑的標(biāo)準(zhǔn)尺寸為10cm，高為20cm。要使加工好的成品體積的相對(duì)誤差不超過1%，底面半徑和高應(yīng)當(dāng)用怎樣的精確度的量具來量？解：部件的體積，確定誤差為，它不足的半個(gè)單位，這樣V的百位和千位數(shù)字是牢靠數(shù)字，即V有兩個(gè)牢靠數(shù)字，所以

8、，底面半徑和高都必需有3個(gè)有效數(shù)字，從而測(cè)量精確度應(yīng)當(dāng)達(dá)到0.1cm的半個(gè)單位，即要用測(cè)量精度達(dá)到0.05cm的量具來量。常數(shù)應(yīng)取近似值3.14。其次章 解析式2.1 解析式的概念與運(yùn)算 習(xí)題2.11將下列分式開放成部分分式（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：（1）用綜合除法將展成的多項(xiàng)式所以從而（2）設(shè)那么所以 解之得：，所以（3）由于，所以可設(shè)：這時(shí) 即 解之得：，所以 （4）設(shè)則：所以（5）而，所以（6）由于設(shè)所以2已知，求證：證明：由于并且 所以從而原等式成立。3已知，求證：證明：記將每個(gè)分母的1用代替，同時(shí)每個(gè)分式約分得：將的第一個(gè)、其次個(gè)、第三個(gè)、第四個(gè)分式的分子和分母分

9、別同乘以、，并利用，得：即：再將的第一個(gè)、其次個(gè)、第三個(gè)、第四個(gè)分式的分子和分母分別同乘以、，并利用，又得：即+得：所以 2.2 根式的化簡(jiǎn) 習(xí)題2.21化簡(jiǎn)下列各式：（1） （2）（3）解：（1）由于是完全平方數(shù)，所以原式可以化簡(jiǎn)。（2）（3）2化簡(jiǎn)下列各式：（1）（2）（3）（4）解（1）；（2）；所以：（3）（4）令則所以3設(shè)，化簡(jiǎn)：解：4設(shè)，求的值解：所以，于是5求下列各式的平方根（1） （2）解：（1）設(shè)兩邊平方：于是：即所以。從而（2）設(shè)兩邊平方：于是：即所以。從而6求下列各式的立方根：（1）； （2）（3）； （4）解（1）設(shè)，那么所以，而，故從而，即解方程組：，得，所以（2）設(shè)

10、，那么所以， 解這個(gè)方程組，得，所以（3），對(duì)于，設(shè)，那么所以，而，故從而，即解方程組：，得，所以從而的立方根是。（4）設(shè)那么所以；而，故從而，即而所以解方程組：，得，所以第三章 高次方程與不等式3.1 一元高次方程 習(xí)題3.1解下列方程：12345678910.解： 1. 用除方程兩邊得：配方得：所以 或或所以或2.用除方程兩邊得：配方得：分解因式：所以 或或所以或3.由于是原方程的根，所以原方程可以分解為對(duì)于用除方程兩邊得：配方得：分解因式：所以 或或所以原方程的根為，4. 用除方程兩邊得：配方得：所以 或或所以或5. 用除方程兩邊得：配方得：所以 或或所以或6. 由于是原方程的根，所以原

11、方程可以分解為對(duì)于用除方程兩邊得：令，則，于是得：分解因式得：所以有即所以原方程的根為， 7. 用除方程兩邊得：令，則，于是得：，明顯是一個(gè)根，所以可以分解為即所以原方程的根為：8由于是原方程的根，所以原方程可以分解為對(duì)于用除方程兩邊得：配方得：所以 ，即，所以原方程的根為：，9用除方程兩邊得：配方得：所以，或，即，或，所以原方程的根為和10. 用除方程兩邊得：配方得：所以，即由于所以方程可以分解為：所以原方程的根為：。3.2 不等式及其證明習(xí)題3.21設(shè)，試比較與的大小。解：所以 2求證證明：用數(shù)學(xué)歸納法：由于，即不等式在時(shí)成立，設(shè)在時(shí)，不等式成立，即：各部分同時(shí)加上，并記，那么，有：這時(shí)所

12、以 成立。故原不等式成立。3設(shè)求證證明：用數(shù)學(xué)歸納法：記由于，即不等式在時(shí)成立。設(shè)在時(shí)，不等式成立，即：那么 由于 所以即成立。故原不等式成立。4求證證明：記，再令，則那么，于是由于函數(shù)的值域不是空集，而是任意實(shí)數(shù)，所以關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的二次方程的判別式：當(dāng)時(shí)，方程變成，這個(gè)方程有解，即是在的函數(shù)值，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，?證明證明：由于；所以，即令即得：6證明其中n是自然數(shù)。證明： 由二項(xiàng)式定理：此時(shí)，由于所以故，即3.3 幾個(gè)重要不等式及其應(yīng)用 習(xí)題3.31設(shè)都是正數(shù)，并且，求證證明：2設(shè)是實(shí)數(shù)，是正數(shù)，求證：由于是正數(shù)，由柯西不等式有：所以成立。3設(shè)正數(shù)滿足求證： 證明：利

13、用柯西不等式所以4設(shè)是正數(shù)，求證證明：可以變形成進(jìn)一步變形成，這就是本節(jié)的例5.5設(shè)是正數(shù)，求證證明 6設(shè)是n個(gè)互不相同的正整數(shù)。求證：證明：不失一般性，不妨設(shè)，同時(shí)由于是互不相同的正整數(shù)，所以必有：因此 7在中，角、的對(duì)邊為、，證明證明：不失一般性，不妨設(shè)，于是有，由排序不等式有：所以：所以： 第四章 初等函數(shù)的若干問題4.1 函數(shù)的概念及其性態(tài)習(xí)題4.11求證函數(shù)是奇函數(shù)。證明：明顯函數(shù)的定義域是，其次： 所以 即是奇函數(shù)。2求下列函數(shù)的定義域：（1） （2）解：（1）欲使函數(shù)有意義，則有：即函數(shù)的定義域?yàn)?。?）欲使函數(shù)有意義，則有：，即函數(shù)的定義域?yàn)椤?假如函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，并且是

14、偶函數(shù)，證明在區(qū)間是增函數(shù)。證明：，則；由于在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，但是偶函數(shù)，所以有從而在區(qū)間是增函數(shù)。4假如函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，并且是奇函數(shù)，證明在區(qū)間是增函數(shù)。證明：，則；由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，但是奇函數(shù)，所以有即 從而在區(qū)間是增函數(shù)。5爭(zhēng)辯函數(shù)的單調(diào)性。解：函數(shù)的定義域滿足：，解之得或，由于二次函數(shù)在遞減，在遞增，而，所以在遞增，在遞減。4.2 函數(shù)的初等變換習(xí)題4.21已知函數(shù)，求它的反函數(shù)的解析式。解：由于，所以，令，則此時(shí)由，即，所以所以數(shù)的反函數(shù)的解析式為。2設(shè)x是任意實(shí)數(shù)，求證。證明：令，那么，并且。故而，此時(shí)在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)有，那么。3爭(zhēng)辯函數(shù)的性態(tài)。解：，這個(gè)函

15、數(shù)可以通過對(duì)作剛性變換得到：將左移2個(gè)單位，再沿反演得到，最終下移個(gè)單位即得，所以在和都是增函數(shù)，是函數(shù)的垂直漸近線，是函數(shù)的水平漸近線，是函數(shù)的對(duì)稱中心；是函數(shù)的值域。4已知函數(shù)，先將此函數(shù)分別沿x軸向左右兩邊拉伸為原來的兩倍，再分別向左、向上平移3個(gè)單位，求所得函數(shù)的解析式。解：函數(shù)的變化過程如下：4.3 初等周期函數(shù)的周期習(xí)題4.31求下列各組實(shí)數(shù)的最小公倍數(shù)：（1） （2）解：（1），所以的最小公倍數(shù)為。（2），而，所以的最小公倍數(shù)為2爭(zhēng)辯函數(shù)的周期性。解：其中的最小正周期為，的最小正周期為，而，所以是以為最小正周期的周期函數(shù)。3證明函數(shù)不是周期函數(shù)。證明：由于的最小正周期為，的最小正

16、周期為，但不行公度，所以不是周期函數(shù)。4直接證明函數(shù)不是周期函數(shù)。證明：假如不然，存在非零實(shí)數(shù)使，即于是即由于是任意實(shí)數(shù)，所以只能是，那么是整數(shù)），于是。即，這與都是整數(shù)相沖突。所以這樣的實(shí)數(shù)不存在，即函數(shù)不是周期函數(shù)。5求函數(shù)的最小正周期。解：的最小正周期為，的最小正周期為，而，所以函數(shù)的最小正周期為。4.4 取整函數(shù)x及其應(yīng)用習(xí)題4.41求適合的一切實(shí)數(shù)。解： 由于，所以這樣就有 即 2設(shè)，求證或。證明：由于所以而所以 假如是整數(shù)，那么有；假如不是整數(shù)，那么有3求整數(shù)，使整除且不能整除。解：4求的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：由于30以內(nèi)的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,11,13,17,19,23,29.那么

17、所以： 5證明。證明：設(shè)，是正整數(shù)。那么假如，那么于是，此時(shí)成立；假如，那么至少有一個(gè)成立，這時(shí)所以成立。第五章 數(shù)列5.1 循環(huán)數(shù)列 習(xí)題5.11推斷下列遞推公式是否為循環(huán)公式？（1） （2）（3） （4）解（1）由于不是的齊次線性關(guān)系式，所以這個(gè)遞推公式不是循環(huán)公式；（2）不是，理由同（1）；（3）是。由于是的齊次線性關(guān)系式。（4）不是，由于一次式不是齊次式（但可以化成齊次式，得到的遞推公式是3階的）2求下列循環(huán)數(shù)列的通項(xiàng)公式。（1） （2）（3） （4）解：（1）特征方程為，所以特征根為設(shè)那么有：所以（2）特征方程為，所以特征根為設(shè)那么有：所以（3） 特征方程為，所以特征根為設(shè)那么有：所

18、以（4）先將化成循環(huán)公式：于是特征方程為，所以特征根為設(shè)此時(shí)由，得數(shù)列前三項(xiàng)為：那么有：所以3寫出下列循環(huán)數(shù)列的循環(huán)公式。（1） （2）（3） （4）解（1）明顯數(shù)列的特征根為，即特征方程為所以循環(huán)公式為（2）明顯數(shù)列的特征根為，即特征方程為所以循環(huán)公式為（3）明顯數(shù)列的特征根為，即特征方程為所以循環(huán)公式為（4）明顯數(shù)列的特征根為，即特征方程為即 所以循環(huán)公式為5.2 數(shù)列求和與高階等差數(shù)列習(xí)題5.21求下列數(shù)列的部分和：（1） （2）解：（1）設(shè)，記，而，所以的部分和為（2）所以數(shù)列的部分和為：2求下列數(shù)列的部分和：（1） （2）解：（1）由于所以數(shù)列的部分和為（2）記的部分和為所以從而：再

19、記那么所以所以，從而即3求下列數(shù)列的部分和（1） （2）解：（1）由于所以，其特征方程為，所以特征根為故可設(shè)而，所以所以（2）由于所以，其特征方程為，所以特征根為故可設(shè)而，所以所以5.3 兩類特殊的循環(huán)數(shù)列習(xí)題5.31寫出下列數(shù)列的循環(huán)公式（1） （2）（3） （4）解：（1）數(shù)列的特征根為，所以特征方程為即所以循環(huán)公式為（2）數(shù)列的特征根為，所以特征方程為即所以循環(huán)公式為（3）數(shù)列的特征根為，所以特征方程為即所以循環(huán)公式為（4）數(shù)列的特征根為，所以特征方程為即所以循環(huán)公式為2求下列數(shù)列的通項(xiàng)公式（1） （2）（3） （4）解：（1）由于：所以所以即記，則兩式相減：所以所以（2）設(shè)，還原得，所

20、以即所以（3）由于，所以設(shè)還原得，所以即所以（4）由于，所以設(shè)還原得，所以即所以3求下列遞推公式確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。(1) （2） (3) (4) 解：（1）解方程：所以所以，即（2）解方程：所以所以所以：（3）解方程：所以所以，即（4）解方程：所以所以所以：第六章 排列與組合6.1 排列與組合問題的基本結(jié)構(gòu)習(xí)題6.11.求證下列等式（1）；（2）證明（1）所以 將上面等式相加，即得：（2）2用數(shù)字0,1,2,3,4,5能夠組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)？其中有多少個(gè)奇數(shù)？解：首位只能用1，2，3，4，5有5種方法；剩下5個(gè)數(shù)字排后面5個(gè)位置有種方法，所以得到的六位數(shù)個(gè)數(shù)是；排成6位奇數(shù)，個(gè)位

21、只能用1,3,5有3種方法，首位不能用0，有4種方法，中間4位有種方法，所以6位奇數(shù)的個(gè)數(shù)是3. 用數(shù)字0,1,2,3,4,5能夠組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字并且能被25整除的4位數(shù)？解：能被25整除的數(shù)字特征為末兩位（沒有重復(fù)數(shù)字）只能是25、50，因此符合條件的4位數(shù)個(gè)數(shù)是：4.求證下列等式：（1）（2）證明：這時(shí)由于所以即（2）由于所以 5用赤橙黃綠青藍(lán)紫7種顏色中的一種、或兩種、或三種、或四種涂在一個(gè)四周體的四個(gè)面上，規(guī)定同一個(gè)面不能涂?jī)煞N（含兩種）以上的顏色，但每個(gè)面都必需涂色，試問共有多少種涂色方法？解：將這個(gè)四周體的四個(gè)面依次記為，單色圖有7種；雙色圖有種；三色圖有種；四色圖有種，所以

22、總數(shù)有種。6求中，的系數(shù)。解：從六個(gè)括號(hào)中選擇3個(gè)取有種方法，從剩余3個(gè)括號(hào)中選擇2個(gè)取有3種方法，再?gòu)淖罱K一個(gè)括號(hào)中取有一種方法，故的系數(shù)為。7已知，求與。解：設(shè)，由于而，所以 即，解之得6.2 解答排列與組合問題的思路分析習(xí)題6.2110雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋里，從中任意取出4只，試求各有多少種狀況消滅如下結(jié)果：（1）4只鞋中沒有成雙的；（2）4只鞋中有2只成雙2只不成雙的；（3）4只鞋子恰好配成兩雙。解：（1）為了保證取的鞋子不成雙，只能先取四雙，再?gòu)拿侩p中各取一只，故有種；（2）先從中取一雙，再按（1）的方法取2只有種；（3）從10雙中取兩雙即可：有種。2將2n名新戰(zhàn)士分成n個(gè)

23、2人小組學(xué)習(xí)機(jī)槍射擊，試求分別滿足下列各條的分組方式的種數(shù)：（1）一人擔(dān)當(dāng)正射手一人擔(dān)當(dāng)副射手；（2）兩人不分正副。解：（1）由于同組兩人有次序，分組方法為，但組與組無差別，故答案為：（2）由于同組兩人無次序，分組方法為，但組與組無差別，故答案為：3將10個(gè)無區(qū)分的小球放入6個(gè)無區(qū)分空盒，試求有多少種放法使得至少有兩個(gè)盒子不空？解：空盒數(shù)分別為：4、3、2、1、0，由于盒子無區(qū)分，4個(gè)空盒：放球有：共5種；3個(gè)空盒：有共8種；2個(gè)空盒：有共9種；1個(gè)空盒：有，共7種；沒有空盒：有，共5種；所以一共有種。4有個(gè)年輕人和個(gè)老人，將他們排成一排，要求每個(gè)老人左右都各有一個(gè)年輕人攙扶，并且每個(gè)年輕人至

24、多只負(fù)責(zé)攙扶一位老人，有多少種不同的排列方式？解：從個(gè)年輕人種選派個(gè)年輕人去攙扶這些老人的選派方法有，將這個(gè)年輕人平均分成組有種方法，將每組年輕人和他們攙扶的老人分別看成一個(gè)整體，連同沒有攙扶任務(wù)的年輕人排成一排有方法，但每組攙扶者有兩種攙扶方式，所以總的排列方式有：55夫妻在一起結(jié)對(duì)跳交誼舞（一男一女搭配），試分別求下列條件下的方法數(shù)：（1）其中恰好有2對(duì)夫妻結(jié)對(duì)；（2）任何一對(duì)夫妻都不結(jié)對(duì)。解：假如我們把男人看做元素，女人看做位置，那么男女搭配跳舞相當(dāng)于5個(gè)男人排成一排，于是（1）相當(dāng)于恰好有兩個(gè)元素排在與自身編號(hào)相同的位置上。這兩個(gè)元素有種方法確定，剩下3個(gè)元素每個(gè)都不排在自己編號(hào)的位置

25、上有3種方法，所以問題的答案為種方法。；（2）相當(dāng)于5個(gè)元素都不站在自己的編號(hào)上，由教材例12知，這種情形的答案為44.6從6名男選手和5名女選手中選出5人參與競(jìng)賽，要求至少有一名女選手和兩名男選手，有多少種選法？解：依題意，男女選手的構(gòu)成方式有三種類型；依據(jù)加法原理，總的方法數(shù)為：第七章 初等幾何變換7.1 合同變換習(xí)題7.11用反射解決下列問題：（1）設(shè)圓和點(diǎn)在直線的同側(cè)，在直線上求作一點(diǎn)，使射線和從向圓引的切線與直線的交角相等。（2）設(shè)點(diǎn)都在直線的同側(cè)，在直線上求作一點(diǎn)，使射線與的夾角是與夾角的兩倍。 1（1）題圖 1（2）題圖（3）在射線構(gòu)成的角形區(qū)域內(nèi)有兩點(diǎn)，一質(zhì)點(diǎn)從動(dòng)身，到達(dá)射線上

26、某點(diǎn)后折向射線上某點(diǎn)，最終到達(dá)點(diǎn)，問分別各在什么位置時(shí)，折線的總長(zhǎng)最短？1（3）題圖 1（4）題圖（4）如圖，在矩形球臺(tái)上有兩球，問應(yīng)怎樣擊球，能使球依次撞擊后恰好擊中球？解：（1）由于與和直線交成等角，因此設(shè)是關(guān)于直線的反射點(diǎn)，然后過引圓的切線，該切線與的交點(diǎn)即為所求（此題有兩解，由于這樣的切線有兩條）。（2）如圖所示，將沿反射到，以為圓心，為半徑，畫弧交直線于點(diǎn)，作的中點(diǎn)，連接交于，則點(diǎn)即為所求。（3）設(shè)是關(guān)于直線的反射點(diǎn)、是關(guān)于直線的反射點(diǎn)，連接交于，交于，那么折線段即為所求。（4）將點(diǎn)沿反射到，將點(diǎn)沿反射到，再將沿反射到，連接交于，交于，連接交于，那么將球擊向點(diǎn)，那么球必沿折線運(yùn)行。2

27、用平移解決下列問題：2（1）題圖 2（2）題圖（1）如圖所示，若需在角形的河流上修建兩座橋(橋身垂直于河岸)，建橋地點(diǎn)應(yīng)當(dāng)如何選取才能使兩地間的通行路程最短？（2）如圖所示，若需在平行的兩條河流上修建兩座橋(橋身垂直于河岸)，建橋地點(diǎn)應(yīng)當(dāng)如何選取才能使兩地間的通行路程最短？解：（1）將向垂直于河岸方向，距離為河寬平移到；將向垂直于河岸方向，距離為河寬平移到；直線與角形河內(nèi)岸的邊緣分別交于兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)各架兩座垂直于河岸的橋，那么折線就是最短路線。（2）將向垂直于河岸方向，距離為河寬平移到；將向垂直于河岸方向，距離為河寬平移到；直線與平行帶形河內(nèi)岸的邊緣分別交于兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)各架兩座垂直于河岸的橋，

28、那么折線就是最短路線。3利用旋轉(zhuǎn)解決下列問題： 3（1）題圖 3（2）題圖（1）以的邊、為邊向外作正方形及正方形，連結(jié)、 求證：；（2）、分別是邊長(zhǎng)為1的正方形的、上的點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是,求的大小。（3）分別以的邊、為邊向外作等邊三角形及等邊三角形。連結(jié)、。設(shè)、分別是、的中點(diǎn)。求證：是等邊三角形。（4）正三角形內(nèi)接于，是劣弧上任意一點(diǎn)，求四邊形的面積 3（3）題圖 3（4）題圖證明：（1）由已知可知，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為點(diǎn)，從而知線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為線段，故有（2）解：將繞點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則邊與邊重合，設(shè)旋轉(zhuǎn)后，由

29、條件的周長(zhǎng)為2，即又，且明顯有，故，從而必有，又，是公共邊，故，又從作圖知，故。（3）證明：由條件可知，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°為。即線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得，而、分別是、的中點(diǎn)，即點(diǎn)是點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的像，所以是等邊三角形。（4）由于是正三角形，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)的旋轉(zhuǎn)像為。而四點(diǎn)共圓，所以，即三點(diǎn)共線，所以是正三角形。從而7.2 相像變換習(xí)題7.2利用位似變換或相像變換解決下列問題：1已知和分別各是兩組相交直線，但由于區(qū)域的限制，已經(jīng)不行能將其交點(diǎn)繪制出來?，F(xiàn)設(shè)，試過點(diǎn)作與直線平行的直線，請(qǐng)寫出具體作法。1題圖解：如圖所示：在線段和上靠近交點(diǎn)的一側(cè)依次取點(diǎn)，取小于1的數(shù)

30、（例如?。詾橹行?，為位似比作位似變換，設(shè)的位似像為，依次過作，的平行線，其中是，的交點(diǎn)，是，的交點(diǎn)，那么分別是的位似像，于是過作線段的平行線就是符合要求的直線。2是內(nèi)的一點(diǎn)，試過點(diǎn)作始終線分別與交于兩點(diǎn)，使。其中給定的數(shù)。2題圖解：如圖所示，過作的平行線交于，過作的平行線交于，以為中心，位似比為作位似變換，設(shè)的位似像為，那么直線即為所求。3. 已知和分別各是兩組相交直線，但由于區(qū)域的限制，已經(jīng)不行能將其交點(diǎn)繪制出來?，F(xiàn)設(shè)，是可達(dá)區(qū)域內(nèi)與不共線的一點(diǎn)，試作出在可達(dá)區(qū)域內(nèi)的外接圓的一段圓弧。請(qǐng)寫出具體作法。3題圖解：取小于1的正數(shù)為位似比，點(diǎn)為位似中心，用第1題的方法作出交點(diǎn)的位似像，作出的外

31、心，再以點(diǎn)為位似中心，為位似比，作出的位似像，以為圓心，為半徑，在可達(dá)區(qū)域內(nèi)作圓弧，此圓弧即為所求。4設(shè)是給定的三角形，是最大角所對(duì)的邊，求作一個(gè)正方形，使在邊上，在邊上，在邊上。解：如圖所示，在邊上任取一點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作正方形，設(shè)射線與交于點(diǎn)，過作垂線，垂足為，過作平行線交于，過作垂線，垂足為，則四邊形即為所求。7.3 初等變換的應(yīng)用習(xí)題7.31用反射法求解下列問題：（1）在正方形中，為中點(diǎn)，過引的垂線交的外角平分線于點(diǎn)，求證。（2）中，為等邊三角形。已知，求的大小。（3）一個(gè)以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過的頂點(diǎn)、，又與邊分別交于、，與的外接圓交于、，求證 1（1）題圖 1（2）題圖 1（3）題圖 2（1）題圖（1）證明：將沿反射到，由于是的平分線，是正方形，所以，即共線。又明顯有四點(diǎn)共圓，所以，從而，是等腰三角形，故，但，所以，1（1）題圖 1（2）題圖 1（3）題圖（2）解：以為軸，將點(diǎn)反射到點(diǎn)，在射線上取點(diǎn)使。那么有：，。由于，所以。又，故，進(jìn)而有即也是等邊三角形，即。明顯兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以。設(shè)，則，這時(shí)再由，則，由于，即，所以，即（3）證明：如圖所示。設(shè)過點(diǎn)且垂直于的直線為，故只需證明點(diǎn)在上。以為軸作反射，設(shè)、的反射像分別為、。于是所以，連接、。這時(shí)：，所以、三點(diǎn)共線。由：所以、三點(diǎn)共線，因此、交于點(diǎn)，故點(diǎn)在直線上。2用平移法求解下列各題：（1）在四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，假如