6空間解析幾何

1、第六章 空間解析幾何與向量代數(shù)本章的主要內(nèi)容是向量和空間圖形的方程表示要求熟練掌握向量的各種運算并理解其幾何意義；熟練掌握常用的曲面方程這些內(nèi)容都是學習多元微積分的前提在學習的過程中，讀者應多做一些畫圖練習，以培養(yǎng)自己的空間想象力一、向量代數(shù)1具有大小和方向的量稱為向量，只有大小的量稱為數(shù)量（實數(shù)）向量可以用有向線段來表示2向量的長度稱為向量的模，記為；模為1的向量稱為單位向量；長度為零的向量稱為零向量，記為兩個向量的夾角，規(guī)定3與x、y、z三個坐標軸同方向的單位向量分別記為 、，稱為基本單位向量4非零向量分別與x、y、z三個坐標軸正向的夾角稱為的方向角； 稱為的方向余弦5若分別在x、y、z三

2、個坐標軸上的投影為，則，記為，稱為向量的坐標；對于給定的點、，則6向量的線性運算給定向量、及數(shù)量，可定義向量的加法及數(shù)量乘法 ，統(tǒng)稱為向量的線性運算，滿足運算律：1）加法交換律 ；2）加法結合律 ；3）數(shù)量乘法結合律 ，其中與是數(shù)量；4）數(shù)量乘法對于數(shù)量加法的分配律 ；5）數(shù)量乘法對于向量加法的分配律 7向量的數(shù)量積給定向量與，它們的數(shù)量積定義為 ，其中 是與的夾角數(shù)量積滿足下列運算律：1）交換律 ；2）結合律 ，其中是數(shù)量；3）分配律 ；8向量的向量積給定兩個向量和，它們的向量積定義為一個向量，記為，滿足：i），其中是與的夾角；ii）的方向垂直于與所在的平面，并且與、 符合右手法則向量積滿足

3、下列運算律：1）反交換律 ；2）結合律 ，其中是數(shù)量 ；3） 左分配律 ，右分配律 9向量及其坐標的有關公式給定向量及數(shù)量，則1），；2），其中是兩個向量的夾角于是可推知 3）4）與平行的充要條件是它們對應的坐標成比例 5）與 垂直的充分必要條件是，即 6）若，則稱為單位化向量，它表示與同方向的單位向量并有此時 ，其中 是的方向余弦二空間中的曲面與曲線1給定曲面S及三元方程如果曲面S上的點的坐標都滿足方程；反之，方程的解所對應的點都在S上，則稱S為方程所表示的曲面兩個方程 和表示同一個曲面的充分必要條件是它們?yōu)橥夥匠?空間中的曲線C可以看作兩個曲面的交線，它的一般方程為 空間曲線C也可表示為

4、參數(shù)方程 ，3旋轉面方程一條平面曲線C繞它所在平面的一條直線L旋轉一周所生成的曲面稱為旋轉曲面（旋轉面）曲線C稱為旋轉曲面的母線，直線L稱為旋轉曲面的旋轉軸yoz平面上的曲線C： 繞z軸的旋轉面方程為；繞y軸的旋轉面方程為類似可得其它坐標面上的曲線繞坐標軸的旋轉面方程4柱面方程平行于定直線L并沿定曲線移動的直線 所生成的曲面稱為柱面，動直線在移動中的每一個位置稱為柱面的母線，曲線稱為柱面的準線以xoy平面上的曲線C ：為準線，母線平行于z軸的柱面方程為同理方程和分別表示母線平行于x軸和y軸的柱面5曲線在坐標面上的投影在空間曲線的方程 中，經(jīng)過同解變形分別消去變量，則可得到在yoz、xoz、xo

5、y平面上的投影曲線，分別為：； ； 三、空間中的平面與直線方程1平面方程 1）點法式：給定空間中的點及非零向量，則經(jīng)過點與垂直的平面方程為 ，稱為平面的法向量2）一般式： ，其中不全為零3）截距式：4）兩個平面之間的關系設兩個平面1與2的法向量依次為和1與2的夾角規(guī)定為它們法向量的夾角（取銳角）這時 兩個平面平行的充要條件是： ；兩個平面垂直的充要條件是： 2直線方程1）一般式： 將直線表示為兩個平面的交線 2）若直線經(jīng)過點且與方向向量平行，則的方程為i) 對稱式： ii) 參數(shù)式： ， 3）兩條直線之間的關系設兩條直線 L1 和 L2方向向量分別為 ，L1 與 L2 的夾角規(guī)定為它們方向向量的夾角（取銳角）于是 L1 與 L2 平行的充要條件是 L1 與 L2 垂直的充要條件是 3直線與平面的關系設直線L 的方向向量為，平面 的法向量為L與的夾角規(guī)定為L與它在上投影直線的夾角（銳角）這時 L 與 垂直的充要條件是 L 與 平行的充要條件是 四、二次曲面xzyO圖1 由三元二次方程所表示的曲面統(tǒng)稱為二次曲面通常使用截痕法來判斷二次曲面的形狀一些常用的二次曲面的標準形式如下 1球面： 球心在點半徑為的球面方程為 （圖1）例如，球心在原點半徑為的球面方程為xy z圖2O2橢球面： ，其中 （圖2）例如，xOy圖3z3橢圓拋物面： ， 其