11集合及其表示

1、1.1集合及其表示（一）集合的有關(guān)概念：由一些數(shù)、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說(shuō)，每一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合，或者說(shuō)，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱(chēng)集.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.定義：一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合1、集合的概念（1）集合：某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合（簡(jiǎn)稱(chēng)集）（2）元素：集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素（3）元素對(duì)于集合的隸屬關(guān)系（4）集合中元素的特性確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里，或者不在，不能模棱兩可在時(shí)稱(chēng)屬于，即a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于A，記作aA集合通常用大寫(xiě)的拉丁

2、字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q“”的開(kāi)口方向，不能把a(bǔ)A顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě)不在時(shí)稱(chēng)，不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于A，記作互異性：集合中的元素沒(méi)有重復(fù)無(wú)序性：集合中的元素沒(méi)有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?2、集合的表示方法：（1）列舉法：在大括號(hào)內(nèi)將集合中的元素一個(gè)個(gè)列舉出來(lái)，元素之間用逗號(hào)隔開(kāi)，具體又分以下三種情況：元素個(gè)數(shù)少且有限時(shí)，全部列舉；如1，2，3元素個(gè)數(shù)多且有限時(shí)，可以列舉部分，中間用省略號(hào)表示，列舉幾個(gè)元素，取決于能否普遍看出其規(guī)律，稱(chēng)中間省略列舉。如“所有從1到10000的自然數(shù)全體”可以表示為1，2，3，1000

3、0；三是當(dāng)元素個(gè)數(shù)無(wú)限但有規(guī)律時(shí)，也可以用類(lèi)似的省略號(hào)列舉，如：自然數(shù)構(gòu)成的集合，可以表示為0，1，2，3，4，稱(chēng)端省略列舉。描述法它又可細(xì)分為文字描述及屬性描述法兩類(lèi)：前者是在大括號(hào)內(nèi)用文字寫(xiě)出集合的屬性，由于括號(hào)本身含有了“所有”、“全部”的意義，故類(lèi)似的量詞要去掉，如：全體自然數(shù)構(gòu)成的集合寫(xiě)成自然數(shù)而不寫(xiě)成全體自然數(shù)：特征描述法是集合中最廣泛、最抽象的一種表示方法，其格式一般為元素的一般形式|元素的特征，如：(x,y)|y=x2,xR=拋物線(xiàn)y=x2上的點(diǎn)，而y|y=x2,xR表示函y=x2的y的取值范圍；方程x2-1=0的解集為x|x2-1=0=-1,1,不是x2-1=0（它僅僅是用列

4、舉法表示的一個(gè)集合，這個(gè)集合中只有一個(gè)元素，就是方程x2-1=0,不是它解的集合。（3）圖示法一是一維數(shù)軸表示，如初中階段所學(xué)的不等式解集表示方法，其原理是數(shù)軸的定義與數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)；二是直角坐標(biāo)表示，如（x,y）|y=x2 ;三是Venn圖，即畫(huà)個(gè)圓圈表示集合（有的書(shū)上稱(chēng)文氏兔、文斯圖）；（4）符號(hào)表示法分為簡(jiǎn)記符號(hào)法及區(qū)間表示法：常用數(shù)集及記法非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負(fù)整數(shù)的集合記作N，正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+ 整數(shù)集：全體整數(shù)的集合記作Z , 有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合記作Q , 實(shí)數(shù)集：全體實(shí)數(shù)的集合記作R不含任何元素的集合稱(chēng)空集，符號(hào)為注：（1）

5、自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說(shuō)，自然數(shù)集包括數(shù)0 （2）非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集記作N*或N+ Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*3，集合的分類(lèi)： 按元素的個(gè)數(shù)分作4集合的有關(guān)概念：確定性，互異性，無(wú)序性5集合的表示其實(shí)，在符號(hào)表示法中還有一種方法區(qū)間表示法集合區(qū)間 讀法 x|a<x<b (a,b)開(kāi)區(qū)間a到b x|a<xb  半開(kāi)半閉區(qū)間a到b x|axb a,b閉區(qū)間a到b x|x<a (-，a) 開(kāi)區(qū)間負(fù)無(wú)窮到a x|ax<b  半開(kāi)半閉區(qū)間a到bx|xb  半閉半開(kāi)區(qū)間b

6、到正無(wú)窮 2，同一集合不同的表示方法是相同的，具體解題時(shí)，這些表示方法中，將難于看出元素是什么的轉(zhuǎn)化為能夠看出的，這樣有：數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵也是這“四化”【當(dāng)堂訓(xùn)練】1、下列各組對(duì)象能確定一個(gè)集合嗎？（1）所有很大的實(shí)數(shù)（2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5 2、設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，那么可能取的值組成集合的元素是 3、由實(shí)數(shù)x,x,x,所組成的集合，最多含（ ） （A）2個(gè)元素 （B）3個(gè)元素 （C）4個(gè)元素 （D）5個(gè)元素4、設(shè)集合G中的元素是所有形如ab（aZ, bZ）的數(shù)，求證： (1) 當(dāng)xN時(shí), xG; (2) 若xG，yG，則xyG，而不一定屬于集合G5、已知集合A=a-2,2a

7、2+5a,10,且-3A,求a6、已知集合1,a,b=a,a2,ab,求實(shí)數(shù)a,b7、m,m+d,m+2d=m,mq,mq2,求q 8、已知集合A=x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0,xR中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值9、已知S是滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合：1S;若aS，則S. 請(qǐng)回答下列問(wèn)題若2S,求證S必有另外兩個(gè)數(shù)；求證，若aS，則1-S； S中元素能否只有一個(gè)？說(shuō)明理由；求證：S中至少有三個(gè)不同的元素【家庭作業(yè)】1、用列舉法表示下列集合:(1)小于5的正奇數(shù)組成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合;(3)方程x2-9=0的解組成的集合;(4)15以?xún)?nèi)的

8、質(zhì)數(shù);(5)x|Z,xZ.2. 用列舉法表示下列集合:(1)x2-4的一次因式組成的集合;(2)y|y=-x2-2x+3,xR,yN;(3)方程x2+6x+9=0的解集;(4)20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù);(5)(x,y)|x2+y2=1,xZ,yZ;(6)大于0小于3的整數(shù);(7)xR|x2+5x-14=0;(8)(x,y)|xN且1x<4,y-2x=0;(9)(x,y)|x+y=6,xN,yN.3. (1)集合中的元素是點(diǎn),它是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),集合元素代表符號(hào)用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)來(lái)表示,其特征是滿(mǎn)足y=x2;(2)集合中元素是點(diǎn),而數(shù)軸上的點(diǎn)可以用其坐標(biāo)表示,其坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù),集合元素代表符號(hào)用

9、x來(lái)表示,其特征是對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)絕對(duì)值大于6;(3)集合中的元素是實(shí)數(shù),集合元素代表符號(hào)用x來(lái)表示,把不等式化為x<a的形式,則這些實(shí)數(shù)的特征是滿(mǎn)足x<a.4. 用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非負(fù)整數(shù)的集合;(3)方程ax+by=0(ab0)的解;(4)數(shù)軸上離開(kāi)原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)的集合;(5)平面直角坐標(biāo)系中第、象限點(diǎn)的集合;(6)方程組的解的集合;(7)1,3,5,7,;(8)x軸上所有點(diǎn)的集合;(9)非負(fù)偶數(shù);(10)能被3整除的整數(shù).5. 下列集合表示法正確的是（）A.，B.全體實(shí)數(shù)C.有理數(shù)D.不等式的解集為6.用列舉法表示下列集合

10、是的約數(shù)_;_;_;數(shù)字和為的兩位數(shù)_; _;7.用列舉法和描述法分別表示方程5的解集8.集合用列舉法表示.9.用“”或者“”填空 10.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)大于0且不超過(guò)6的全體奇數(shù)組成的集合；(2)被3除余1的自然數(shù)全體組成的結(jié)合；(3)方程組的解集；(4)直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合.11.元素與集合的關(guān)系用符號(hào)表示：屬于集合_；不屬于集合_.12.常用數(shù)集記法：字母表示_；用_表示正整數(shù)集；表示_；用_表示有理數(shù)集；表示_.13.空集是不含任何_的集合，記作_.14.集合常用的表示方法有 和 .【好題精選】1.列舉法表示下列集合：(1)10以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合.(2)

11、2.已知為所有大于且小于的實(shí)數(shù)組成的集合，則下列關(guān)系式正確的是（ ）A. B. C. D. 3.下列寫(xiě)法正確的是（ ）A.; B.; C.; D. .4.在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出集合內(nèi)的點(diǎn)所在的區(qū)域.5.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)關(guān)于的方程的解集;(2)兩直線(xiàn)和的交點(diǎn)組成的集合.6.方程的解集含有_個(gè)元素.7.已知方程的解集是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.8.已知集合，且，求實(shí)數(shù)的值.9.已知集合含有三個(gè)元素，且，求實(shí)數(shù)的值.10.(1)已知方程的解集是，且，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知方程的解集是，求實(shí)數(shù)的值.1.1集合及其表示參考答案【當(dāng)堂訓(xùn)練】1（1）（不確定） （2）（不確定） （3）（有

12、重復(fù)）2. -2,0,23. A4. 證明(1)：在ab（aZ, bZ）中，令a=xN,b=0,則x= x0*= abG,即xG 證明(2)：xG，yG，x= ab（aZ, bZ）,y= cd（cZ, dZ）x+y=( ab)+( cd)=(a+c)+(b+d)aZ, bZ,cZ, dZ(a+c) Z, (b+d) Zx+y =(a+c)+(b+d) G， 又且不一定都是整數(shù)，不一定屬于集合G5. 解：a-2=-3或2a2+5a=-3 故a=-1或a=-3/2當(dāng)a=-1時(shí)，2a2+5a=a-2=-3與集合的互異性矛盾，舍去當(dāng)a=-3/2時(shí)，滿(mǎn)足條件 總之，a=-3/2說(shuō)明由于解題過(guò)程中用到了不

13、等價(jià)變形，所以要進(jìn)行檢驗(yàn)6. 方法一 因a1故a=-1,b=0方法二由已知或 a1 a=-1,b=07. （答案：q=-1/2）8. 解：本題分兩類(lèi)進(jìn)行當(dāng)a2-1=0時(shí),a=1或a=-1;當(dāng)a=1時(shí)，A=x|2x+1=0=-1/2,滿(mǎn)足條件；當(dāng)a=-1時(shí),A=，舍去。當(dāng)a2-10時(shí),a1且a-1，=0，a=5/3總之，a=5/3或19. 解2S=-1S=1/2S=2S,S中必有另外兩個(gè)數(shù)-1，1/2證明：aS S=1-S假設(shè)S中元素只有一個(gè)，則=a,a2-a+1=0有實(shí)數(shù)解，與a2-a+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解矛盾，故S中的元不能只有一個(gè)由S中，至少有a, ,1-三個(gè)不同的元，只要證明三者兩兩不等。假

14、設(shè)1-=，有a2-a+1=0但它沒(méi)有實(shí)數(shù)解，矛盾。同理，三者兩兩不等，從而S中至少有三個(gè)不同的元素【家庭作業(yè)】1.2.3. 解：(1)二次函數(shù)y=x2上的點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足y=x2,則二次函數(shù)y=x2圖象上的點(diǎn)組成的集合表示為(x,y)|y=x2;(2)數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于6的點(diǎn)組成的集合等于絕對(duì)值大于6的實(shí)數(shù)組成的集合,則數(shù)軸上離原點(diǎn)的距離大于6的點(diǎn)組成的集合表示為xR|x|>6;(3)不等式x-7<3的解是x<10,則不等式x-7<3的解集表示為x|x<10.4. 答案：(1)、(x,y)|2x+y=5;(2)、x|0x<10,xZ;(3)、(x,y)|ax+by=0(ab0);(4)、x|x|>3;(5)、