20122018全國卷圓錐曲線理科

1、2012-2018全國卷圓錐曲線解答題(理科)1(2012年全國高考新課標卷理科第20題）設拋物線的焦點為，準線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點（）若，的面積為，求的值及圓的方程（）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到距離的比值2(2013全國高考新課標卷理科第20題）已知圓，圓，動圓與外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線()求的方程；()是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點，當圓的半徑最長時，求3(2014年全國高考新課標卷理科第20題）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點，直線的斜率為，為坐標原點()求的方程；（）設過點的直線與相交于兩點，當?shù)拿娣e最大

2、時，求的方程4(2015年全國高考新課標卷理科第20題）在直角坐標系中，曲線與直線交于兩點() 當時，分別求在點和處的切線方程；() 軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由5(2016年全國高考新課標卷理科第20題) (本小題滿分12分)設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，過作的平行線交于點(I)證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；(II)設點的軌跡為曲線，直線交于兩點，過且與垂直的直線與圓交于兩點，求四邊形面積的取值范圍6. (2017年全國高考卷理科第20題) (本小題滿分12分)已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4

3、（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.7(2018年全國高考卷理科第19題) (本小題滿分12分)設橢圓的右焦點為，過的直線與交于，兩點，點的坐標為當與軸垂直時，求直線的方程；設為坐標原點，證明：2012-2018全國卷圓錐曲線解答題(參考答案)1(2012年全國高考新課標卷理科第20題）設拋物線的焦點為，準線為，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點（）若，的面積為，求的值及圓的方程（）若三點在同一直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到距離的比值 【解析】()由對稱性知

4、是等腰直角三角形，斜邊， 點到準線的距離， 由得 圓的方程為 （）由對稱性設，則 由點關于點對稱得，從而，所以 因此，直線，即 又，求導得，即，從而切點 又直線，即 故坐標原點到直線距離的比值為 【考點分析】本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，涉及到簡單的面積和點到直線的距離等基本計算問題，考查推理論證能力、運算求解能力2(2013全國高考新課標卷理科第20題）已知圓，圓，動圓與外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線()求的方程；()是與圓,圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點，當圓的半徑最長時，求 【解析】由已知得圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑 設動圓的圓心為，半徑為()因為圓與圓外切且

5、與圓內切，所以，且由橢圓的定義可知，曲線是以為左，右焦點，長半軸長為，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為 ()對于曲線上任意一點，由于，所以 當且僅當圓的圓心為時， 當圓的半徑最長時，其方程為 當?shù)膬A斜角為時，與軸重合，可得 當?shù)膬A斜角不為時，由知不平行軸設與軸的交點為， 則，可求得， 設，由與圓相切得，解得 當時，將代入 整理得 (*) 設，則是(*)方程的兩根所以， 當時，由對稱性知 綜上，或 【考點分析】本小題主要考查直線、圓、橢圓等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力和方程思想3(2014年全國高考新課標卷理科第20題）已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點，直線的斜率為，為

6、坐標原點()求的方程；（）設過點的直線與相交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，求的方程 【解析】()設，由條件知，得 又，所以，故的方程（）由題意知直線的斜率存在，設直線的斜率為，方程為， 聯(lián)立直線與橢圓方程：，化簡得： ， 設，則， ， 且坐標原點到直線的距離為 因此， 令，則 ，當且僅當，即時，等號成立， 故當，即，時的面積最大 此時，直線的方程為 【考點分析】本小題主要考查直線、橢圓、函數(shù)和不等式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識和方程思想4(2015年全國高考新課標卷理科第20題）在直角坐標系中，曲線與直線交于兩點() 當時，分別求在點和處的切線方程；() 軸上是否存在點，使得

7、當變動時，總有？說明理由 【解析】（）由題設可得或 又，故在處的導數(shù)值為 在點處的切線方程為，即 處的導數(shù)值為 在點處的切線方程為，即 故所求切線方程為和 ()存在符合題意的點證明如下： 設為符合題意的點，直線的斜率分別為 將代入的方程，消去整理得， 則是該方程的兩根 故 從而 當時，有，則直線的傾斜角與直線的傾斜角互補， 故 所以點符合題意 【考點分析】本小題主要考查直線、拋物線和導數(shù)的幾何意義等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力和方程思想5(2016年全國高考新課標卷理科第20題) (本小題滿分12分)設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，過作的平行線交于點(I)證明為定值

8、，并寫出點E的軌跡方程；(II)設點的軌跡為曲線，直線交于兩點，過且與垂直的直線與圓交于兩點，求四邊形面積的取值范圍【解析】(I)因為，故所以，故又圓標準方程為，從而，所以由題設得，由橢圓的定義可得點的軌跡方程為，()；(II)（法一）當與x軸不垂直時，設，由得則，所以過點且與垂直的直線，到的距離為， 所以 故四邊形的面積為 當與x軸不垂直時，四邊形的面積的取值范圍為 當與x軸垂直時，其方程為，四邊形的面積12 綜上，四邊形的面積的取值范圍為 （法二）；設， 因為，設，聯(lián)立 得； 則； 圓心到距離， 所以， 【考點分析】主要考查直線與圓的位置關系、橢圓的定義、韋達定理、弦長公式等解析幾何常用知

9、識，考查推理論證能力、運算求解能力和方程思想已知橢圓C：（a>b>0），四點P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三點在橢圓C上.（1）求C的方程；（2）設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點.【考點】：圓錐曲線。【思路】：（1）根據(jù)橢圓的對稱性可以排除P1（1,1）。（2）聯(lián)立方程即可，此時有兩種方法聯(lián)立，第一種，假設直線AB的方程，第二種假設直線P2A和P2B?！窘馕觥浚海?）根據(jù)橢圓對稱性可得，P1（1,1）P4（1，）不可能同時在橢圓上，P3（1，），P4（1，）一定同時在橢圓上，因此可得橢圓經過P2（0,1），P3（1，），P4（1，），代入橢圓方程可得：，故而可得橢圓的標準方程為：。（2）由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在，不妨設直線P2A為：,P2B為：.聯(lián)立，假設，此時可得：，此時可求得直線的