18196　平面向量數(shù)量積的坐標表示

1、§6平面向量數(shù)量積的坐標表示學習目標：1.掌握數(shù)量積的坐標表達式(重點)2.能用坐標表示兩個向量的夾角，判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系(重點)3了解直線的方向向量的概念(難點)自 主 預 習·探 新 知1平面向量數(shù)量積的坐標表示設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)a·bx1x2y1y2；(2)a2xy，即|a|；(3)設向量a與b的夾角為，則cos ；(4)abx1x2y1y20.思考1：垂直的條件和向量夾角能用坐標表示嗎？提示：能aba·bx1x2y1y20.2直線的方向向量給定斜率為k的直線l，則向量m(1，k)與直線l共線，我們把與直線l共線

2、的非零向量m稱為直線l的方向向量思考2：直線的方向向量唯一嗎？提示：不唯一因為與直線l共線的非零向量有無數(shù)個，所以直線l的方向向量也有無數(shù)個基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)若兩非零向量的夾角滿足cos 0，則兩向量的夾角一定是鈍角(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.()(3)兩向量a與b的夾角公式cos 的使用范圍是a0且b0.()答案(1)×(2)(3)2已知a(1,3)，b(2,4)，則a·b的值是_解析a·b(1)×23×410.答案103已知a(2，1)，b(1，x)，且ab，則x_.解析由題

3、意知a·b2×1(1)×x0，得x2.答案24已知向量a(4，1)，b(x,3)，若|a|b|，則x_. 【導學號：64012133】解析由|a|b|得，解得x±2.答案±25已知a(3，1)，b(1，2)，則a與b的夾角為_解析設a與b的夾角為，則cos ，又0，所以.答案合 作 探 究·攻 重 難平面向量數(shù)量積的坐標運算已知向量a和b同向，b(1,2)，a·b10，求：(1)向量a的坐標；(2)若c(2，1)，求(a·c)·b.解(1)設ab(，2)a·b10，·cos 0

4、6;10，解得2.a(2,4)(2)(a·c)·b(2×24×(1)·b0·b0.規(guī)律方法進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關(guān)的運算法則和運算性質(zhì).解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積的坐標運算；二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算.跟蹤訓練1已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)求：(1)a·b；(2)(ab)·(2ab)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)解(1)a·b(1,3)·(2,5)1

5、5;23×517.(2)ab(1,3)(2,5)(3,8)，2ab2(1,3)(2,5)(2,6)(2,5)(0,1)，(ab)·(2ab)(3,8)·(0,1)3×08×18.(3)(a·b)·c17c17(2,1)(34,17)，a·(b·c)a·(2,5)·(2,1)(1,3)·(2×25×1)9(1,3)(9,27)向量的夾角及垂直已知a(1,2)，b(2，4)，|c|.(1)求|a2b|；(2)若(ab)·c，求向量a與c的夾角. 【導

6、學號：64012134】思路探究(1)利用|a|求解(2)利用cos 求解解(1)a2b(1,2)2(2，4)(3，6)，|a2b|3.(2)b(2，4)2(1,2)2a，aba，(ab)·ca·c.設a與c的夾角為，則cos .0，即a與c的夾角為.規(guī)律方法1已知向量的坐標求向量的模(長度)時，可直接運用公式|a|進行計算2求向量的夾角時通常利用數(shù)量積求解，一般步驟為：(1)先利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出兩向量的數(shù)量積；(2)再求出兩向量的模；(3)由公式cos ，計算cos 的值；(4)在0，內(nèi)，由cos 的值確定角.跟蹤訓練2已知a(1,2)，b(1，)，分別確定

7、實數(shù)的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角解a·b(1,2)·(1，)12.(1)因為a與b的夾角為直角，所以cos 0，所以a·b0，即120，所以.(2)因為a與b的夾角為鈍角，所以cos 0，且cos 1，所以a·b0，且a與b不反向由a·b0，得120，故，由a與b共線得2，故a與b不可能反向所以的取值范圍為.(3)因為a與b的夾角為銳角，所以cos 0，且cos 1，所以a·b0且a，b不同向由a·b0，得，由a與b同向得2.所以的取值范圍為(2，)向量的模探

8、究問題1由向量長度的坐標表示，你能否得出平面內(nèi)兩點間的距離公式？提示：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，由向量長度的坐標表示可得|AB|.2求向量的坐標一般采用什么方法？提示：一般采用設坐標、列方程的方法求解設平面向量a(1,1)，b(0,2)求a2b的坐標和模的大小. 【導學號：64012135】思路探究利用向量的坐標運算求得a2b的坐標表示，然后求模解a(1,1)，b(0,2)，a2b(1,1)2(0,2)(1，3)，|a2b|.母題探究1將例3中的條件不變 ，若c3a(a·b)b，試求|c|.解a·bx1x2y1y22，c3(1,1)2(

9、0,2)(3，1)，|c|.2將例3中的b(0,2)改為b(0，2)，其他條件不變，若kab與ab共線，試求k值解a(1,1)，b(0，2)，kabk(1,1)(0，2)(k，k2)ab(1,1)(0，2)(1，1)kab與ab共線，k2(k)0.k1.3例3中的b(0,2)改為b(0，2)，其他條件不變，若kab的模等于，試求k值解kabk(1,1)(0，2)(k，k2)，kab的模等于.，化簡得k22k30，解得k1或k3.即當k1或k3時滿足條件規(guī)律方法求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示F的運算利用|a|2a2，將向量的模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題(2)坐標表示F的運算若a

10、(x，y)，則a·aa2|a|2x2y2，于是有|a|.當 堂 達 標·固 雙 基1若向量a(x,2)，b(1,3)，a·b3，則x()A3B3C DAa·bx63，故x3.2已知a(，1)，b(1，)，那么a，b的夾角()A30° B60°C120° D150°Dcos ，又因為0°，180°，所以150°.3已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab與b垂直，則|a|等于()A1 B.C2 D4C(2ab)·b2a·b|b|22(1n2)(1n2)n230，n±.|a|2.4已知向量b與向量a(1，2)的夾角是180°，且|b|3，則b()A(3,6) B(3，6)C(6，3) D(6,3)A由題意，設ba(，2)(<0)，由于|b|3.|b|3，3，即b(3,6)5已知a(3，2)，b(4