8 數(shù)列中恒成立問題的研究續(xù)

1、專題：數(shù)列中恒成立問題的研究一、問題提出問題1：已知等差數(shù)列的首項為，公差為，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_. ，所以，所以對恒成立， 問題2：二、思考探究探究1：設首項不為零的等差數(shù)列的前項和為，若不等式對任意正整數(shù)都成立，則實數(shù)的最大值為_. 解析：a10時，不等式恒成立，當a10時，將ana1(n1)d，Snna1代入上式，并化簡得：2，max.探究2：已知常數(shù)0，設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足：a1 = 1，（）（1）若 = 0，求數(shù)列an的通項公式；（2）若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1） = 0時， 2分， ， 4分（2）， 5分則，（n2）相加，得則（n

2、2） 上式對n = 1也成立，（） 7分（） - ，得即 9分0，> 0，> 0對一切恒成立，對一切恒成立即對一切恒成立 12分記，則當n = 1時，；當n2時，； 是一切中的最大項 15分綜上所述，的取值范圍是 16分探究3：數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當時，是否存在互不相同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，給出滿足的條件；若不存在，說明理由；（3）設為數(shù)列的前n項和若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍【解】（1）當時，由 得 - 得，所以（）因為，所以（）（2）當時，若存在成等比數(shù)列，則由奇偶性知所以，即，這與矛盾故不存在互不相同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列（3）三、

3、真題鏈接四、反思提升五、反饋檢測1. 設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足a4Sn4n1，nN*，且a2，a5，a14構成等比數(shù)列數(shù)列滿足對于任意正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）當時，求數(shù)列的前2m項的和；（3）是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出滿足條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由解 （1）當n2時，4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an>0，an1an2，當n2時，an是公差為2的等差數(shù)列又a2，a5，a14成等比數(shù)列aa2·a14，即(a26)2a2·(a224)

4、，解得a23由(1)知a11又a2a1312，數(shù)列an是首項a11，公差d2的等差數(shù)列an2n1（2）由（1）得，對于正整數(shù)n，由，得根據(jù)的定義可知當時，；當時， （3）不存在，理由如下：證法1：假設存在實數(shù)滿足條件，由不等式及得,根據(jù)的定義可知，對于任意的正整數(shù)m 都有，即對任意的正整數(shù)m都成立當（或）時，得（或），這與上述結論矛盾當，即時，得，解得且 不存在正實數(shù)，使得證法2：用“分離變量求最值”來做的，假設存在實數(shù)滿足條件，由不等式及得,根據(jù)的定義可知，對于任意的正整數(shù)m 都有由得對任意正整數(shù)都成立，所以，所以，矛盾，故不存在2. 設數(shù)列an的前n項和為Sn若，則稱an是“緊密數(shù)列”（1

5、）若數(shù)列an的前n項和，證明：an是“緊密數(shù)列”；（2）設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列若數(shù)列an與Sn都是“緊密數(shù)列”， 求q的取值范圍【解】（1）由數(shù)列an的前n項和， 得ann+ ()2分 所以，1+， 4分 因為對任意nN*，0 ，即11+， 所以，11+， 所以，2，即an是“緊密數(shù)列” 6分 （2）解法一：由數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，得q， 因為an是“緊密數(shù)列”，所以q2 8分 當q1時，Sn=na1，=1+， 所以，1<=1+2， 故q1時，數(shù)列Sn為“緊密數(shù)列”，故q1滿足題意 10分 當q1時，Sn，則= 因為數(shù)列Sn為“緊密數(shù)列”， 所以，=2對于任意恒成立 （i

6、）當q1時，(1qn)1qn+12(1qn)即對于任 意恒成立 因為0qnq1，02q11，q21， 所以 qn(2q1)q1， qn(q2)q(q2)×()1， 所以，當q1時，對于任意恒成立13分 （ii）當1q2時，(qn1)qn+112(qn1)，即對于 任意恒成立 因為qnq1，2q11，1q20 所以，解得q=1，又1q2，此時q不存在 綜上所述， q的取值范圍是 16分 解法二：因為an是“緊密數(shù)列”，所以q28分 當q1時，Sn=na1，=1+， 所以，1<=1+2， 故q1時，數(shù)列Sn為“緊密數(shù)列”，故q1滿足題意 10分 當q1時，Sn，則= 因為數(shù)列Sn為“緊密數(shù)