84直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用

1、直線和圓錐曲線經(jīng)?？疾榈囊恍╊}型直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關(guān)系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個公共點(diǎn)及有兩個相異公共點(diǎn)對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)，但并不相切直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點(diǎn)問題，可以轉(zhuǎn)化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數(shù)方法判斷直線與曲線的位置關(guān)系。解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存，（2）聯(lián)立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的

2、判別式（5）韋達(dá)定理，同類坐標(biāo)變換（6）同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換（7）x,y，k(斜率)的取值范圍（8）目標(biāo)：弦長，中點(diǎn)，垂直，角度，向量，面積，范圍等等1：已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。 （）求橢圓方程； （）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。解：（）離心率，即（1）；又橢圓過點(diǎn)，則，（1）式代入上式，解得，橢圓方程為。（）設(shè)，弦MN的中點(diǎn)A由得：，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，即（1）由韋達(dá)定理得：，則，直線AG的斜率為：，由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。題型：動弦過定點(diǎn)的問題例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，

3、橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3；最小值為1；（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，并且橢圓的右頂點(diǎn)和A、B的連線互相垂直，證明直線過定點(diǎn)，就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（II）設(shè)，由得，（注意：這一步是同類坐標(biāo)變換）（注意：這一步叫同點(diǎn)縱、橫坐標(biāo)間的變換）以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)且，解得，且滿足當(dāng)時，直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時，直線過定點(diǎn)綜上可知

4、，直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為練習(xí)2（2009遼寧卷文）已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。 解：（）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為 ，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入方程： ，解得 ， （舍去）所以橢圓方程為 。 （）設(shè)直線AE方程為：，代入得 設(shè),因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得，所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 12分題型：共線向量問題解析幾何中的向量共線，就是將向量問

5、題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達(dá)定理-同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。例題7、設(shè)過點(diǎn)D(0,3)的直線交曲線M：于P、Q兩點(diǎn)，且,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即 方法一：方程組消元法又P、Q是橢圓+=1上的點(diǎn)消去x2，可得即y2=又2y22，22解之得：則實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法二：判別式法、韋達(dá)定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：，由消y整理后，得P、Q是曲線M上的兩點(diǎn)，即 由韋達(dá)定理得：即 由得，代入，整理得，解之得當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即時，易知或。 總之實(shí)數(shù)的取值范圍是。方法總結(jié)：通過比較本題的第二步

6、的兩種解法，可知第一種解法，比較簡單，第二種方法是通性通法，但計算量較大，縱觀高考中的解析幾何題，若放在后兩題，很多情況下能用通性通法解，但計算量較大，計算繁瑣，考生必須有較強(qiáng)的意志力和極強(qiáng)的計算能力；不用通性通法，要求考生必須深入思考，有較強(qiáng)的思維能力，在命題人設(shè)計的框架中，找出破解的蛛絲馬跡，通過自己的思維將問題解決。（07福建理科）如圖，已知點(diǎn)（1，0），直線l：x1，P為平面上的動點(diǎn)，過作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)，且（）求動點(diǎn)的軌跡C的方程；（）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M，已知，求的值。小題主要考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征

7、的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.解法一：（）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，化簡得.（）設(shè)直線的方程為： . 設(shè)，又，聯(lián)立方程組，消去得：，故 由，得：，整理得：，解法二：（）由得：，所以點(diǎn)的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：.（）由已知，得.則：. 過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則有：.由得：，即.題型：面積問題練習(xí)2、（山東06文）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為4。()求橢圓的方程；()直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB面積取得最大值時，求直線l的方程。解：設(shè)橢圓方程為（I）由已知得 所

8、求橢圓方程為（II）解法一：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由 消去y得關(guān)于x的方程：由直線l與橢圓相交A、B兩點(diǎn)，解得，又由韋達(dá)定理得 .原點(diǎn)O到直線l的距離 解法1：對兩邊平方整理得： （*） ， 整理得：又，.從而的最大值為，此時代入方程（*）得 所以，所求直線方程為： .解法2：令，則， .當(dāng)且僅當(dāng)即時，此時.所以，所求直線方程為 .§8.4 直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、選擇題(每小題7分，共35分)1AB為過橢圓1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為它的焦點(diǎn)，則FAB的最大面積為()Ab2 Bab Cac Dbc2過點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共點(diǎn)，這

9、樣的直線有()A1條 B2條 C3條 D4條3過拋物線y22px (p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則的值等于()A5 B4 C3 D24已知橢圓C的方程為1 (m>0)，如果直線yx與橢圓的一個交點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)F，則m的值為()A2 B2 C8 D25已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)為A1、A2，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩個圓的位置關(guān)系為()A相交 B相切C相離 D以上情況都有可能二、填空題(每小題6分，共24分)6直線ykx1與

10、橢圓1恒有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_7設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2ax(a0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為_8如圖所示，過拋物線y22px (p>0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于A，B，C三點(diǎn)，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程是_9如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1、A2、B1、B2為橢圓1(a>b>0)的四個頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_三、解答題(共41分)10(13分)設(shè)AB是過橢圓1的一個焦點(diǎn)的弦，若

11、AB的傾斜角為60°，求弦AB的長11(14分)已知直線ykx1與雙曲線x2y21的左支交于A、B兩點(diǎn)，若另有一條直線l經(jīng)過P(2,0)及線段AB的中點(diǎn)Q.(1)求k的取值范圍；(2)求直線l在y軸上的截距b的取值范圍12(14分)已知橢圓P的中心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)，離心率為.(1)求橢圓P的方程；(2)是否存在過點(diǎn)E（0，-4）的直線l交橢圓P于點(diǎn)R，T，且滿足.若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由答案1. D 2. C 3. C4. B 5. B 6. m1且m5 7. y2±8x 8. y23x 9.25 10解依題意，橢圓的一個

12、焦點(diǎn)F為(1,0)，則直線AB的方程為y(x1)，代入4x25y220，得19x230x50.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.|AB|.弦AB的長為.11. 解(1)將ykx1代入雙曲線方程x2y21，化簡，整理，得(1k2)x22kx20.由題設(shè)條件<k<1.(2)設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x，y)，則x，y，直線l的方程為y(x2)令x0，得b.<k<1，u2k2k2在(，1)上為減函數(shù)，1<u<2.又u0，b<2或b>2.12. 解(1)設(shè)橢圓P的方程為1 (a>b>0)，由題意得b2，e，a2c，b2a2c23c2，c24，c2，a4，橢圓P的方程為1.(2)假設(shè)存在滿足題意的直線l.易知當(dāng)直線l的斜率不存在時，<0不滿足題意故可設(shè)直線l的方程為ykx4，R(x1，y1)，T(x2