2006年高考理科數(shù)學(xué)(全國(guó)二卷)真題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷）2006年06月07日 15：0017：00黑龍江、吉林、內(nèi)蒙古等本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。第卷、第卷?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一選擇題（1）已知集合，則（ ）（A）（B） （C） （D）（2）函數(shù)的最小正周期是（ ）（A）（B）（C）（D）（3）（ ）（A）（B）（C）（D）（4）過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為（ ）（A）（B）（C）（D）（5）已知的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上

2、，則的周長(zhǎng)是（ ）（A）（B）6（C）（D）12（6）函數(shù)的反函數(shù)為（ ）（A） （B）（C） （D）（7）如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、則（ ）（A）（B）（C）（D）（8）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的表達(dá)式為（ ）（A） （B）（C） （D）（9）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）（A） （B） （C）（D）（10）若則（ ）（A）（B） （C） （D）（11）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若則（ ）（A）（B）（C）（D）（12）函數(shù)的最小值為（ ）（A）190（B）171（C）90（D）45 第II卷（非選擇

3、題，共90分）二填空題：本大題共小題，每小題分，共分，把答案填在橫線上。（13）在的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是。（用數(shù)字作答）（14）已知的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且則邊BC上的中線AD的長(zhǎng)為。（15）過(guò)點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率（16）一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫(huà)了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（元）月收入段應(yīng)抽出人。0.00010.00020.00030.00040.00051000 1500 2000

4、 2500 3000 3500 4000月收入(元)頻率/組距三解答題：本大題共小題，共分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿分分）已知向量（I）若求（II）求的最大值。（18）（本小題滿分分）某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購(gòu)進(jìn)該批產(chǎn)品前先取出3箱，再?gòu)拿肯渲腥我獬鋈?件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。（I）用表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望；（II）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購(gòu)買(mǎi)這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率。（19）（本小題滿分分）如圖，在直三棱柱中，、分

5、別為、的中點(diǎn)。（I）證明：ED為異面直線與的公垂線；（II）設(shè)求二面角的大小。（20） （本小題分）設(shè)函數(shù)若對(duì)所有的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。（21）（本小題滿分為分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A、B是熱線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M。（I）證明為定值；（II）設(shè)的面積為S，寫(xiě)出的表達(dá)式，并求S的最小值。（22）（本小題滿分分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且方程有一根為（I）求（II）求的通項(xiàng)公式2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷II）參考答案一選擇題（1）(D)解析:,用數(shù)軸表示可得答案D考察知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,集合的交集 本題比較容易.（2）(D

6、)解析: 所以最小正周期為,故選D考察知識(shí)點(diǎn)有二倍角公式,最小正周期公式 本題比較容易.（3）(A)解析: 故選A本題考察的知識(shí)點(diǎn)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,(乘法和除法),比較簡(jiǎn)單（4）(A)解析:設(shè)球的半徑為R, 過(guò)球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面,由勾股定理可得一個(gè)半徑為的圓,所以,故選A本題主要考察截面的形狀和球的表面積公式,難度中等（5）( C)解析(數(shù)形結(jié)合)由橢圓的定義橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,可得的周長(zhǎng)為4a=,所以選C本題主要考察數(shù)形結(jié)合的思想和橢圓的基本性質(zhì),難度中等（6）(B) 解析:所以反函數(shù)為故選B（7）(A)解析:連接,設(shè)AB=a,可得AB與平面所成的角為

7、,在,同理可得AB與平面所成的角為,所以,因此在,所以,故選A本題主要考察直線與平面所成的角以及線面的垂直關(guān)系,要用到勾股定理及直角三角形中的邊角關(guān)系.有一定的難度（8）(D)解析(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為(-x,-y),所以 故選D本題主要考察對(duì)稱的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的相關(guān)性質(zhì),比較簡(jiǎn)單,但是容易把與搞混,其實(shí)（9）(A)解析:雙曲線焦點(diǎn)在x軸,由漸近線方程可得,故選A 本題主要考察雙曲線的漸近線方程和離心率公式,涉及a,b,c間的關(guān)系,比較簡(jiǎn)單（10）(C)解析:所以,因此故選C本題主要考察函數(shù)解析式的變換和三角函數(shù)的二倍角公式,記憶的成分較重,難度一般（11）(A) 解析:由等差數(shù)列的求和公式

8、可得且所以,故選A本題主要考察等比數(shù)列的求和公式,難度一般（12）(C) 解析:表示數(shù)軸上一點(diǎn)到1,2,319的距離之和,可知x在119最中間時(shí)f(x)取最小值.即x=10時(shí)f(x)有最小值90,故選C二填空題：本大題共小題，每小題分，共分，把答案填在橫線上。（13） 45 解析: 要求常數(shù)項(xiàng),即40-5r=0,可得r=8代入通項(xiàng)公式可得本題利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式(讓次數(shù)為0,求出r)就可求出答案,比較簡(jiǎn)單（14） 解析: 由的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列可得A+C=2B而A+B+C=可得AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得（15）解析(數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點(diǎn)A在圓的內(nèi)部, 圓心

9、為O(2,0)要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,只能是直線,所以（16） 25 人。解析:由直方圖可得（元）月收入段共有人按分層抽樣應(yīng)抽出人本題主要考察直方圖和分層抽樣,難度一般三解答題：本大題共小題，共分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿分分）解(1). 當(dāng)=1時(shí)有最大值,此時(shí)最大值為（18）（本小題滿分分）解(1.) 所以的分布列為0123P的數(shù)學(xué)期望E()= (2)P()=（19）（本小題滿分分）提示:1證明與兩條異面直線都垂直相交 利用等腰三角形2 連,由可得為等腰直角三角形,因此在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)所以,所以二面角為(或)本題主要考察以下知識(shí)點(diǎn):1.異面直線的公垂線

10、段的定義(與兩條異面直線均垂直切相交)2.直棱柱的性質(zhì)(側(cè)棱垂至于底面) 3.三角形的邊的關(guān)系4.二面角的求法(可用射影面積或者直接作出二面角) 難度對(duì)于民族地區(qū)考生較大（20）（本小題分）解析:令 對(duì)g(x)求導(dǎo)得令當(dāng)時(shí),對(duì)所有的x>0都有,所以上為單調(diào)增函數(shù)又g(0)=0,所以對(duì) 即當(dāng)所以成立當(dāng)a>1時(shí),對(duì)于 所以g(x)在 所以對(duì)于即f(x)<ax, 所以當(dāng)a>1時(shí)不一定成立綜上所述可知a的取值范圍是（21）（本小題滿分為分）提示 F點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為 B點(diǎn)的坐標(biāo)為由可得因此過(guò)A點(diǎn)的切線方程為 (1)過(guò)B點(diǎn)的切線方程為 (2)解(1)( 2)構(gòu)成的

11、方程組可得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而得到=0 即為定值2. =0可得三角形面積 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)（22）（本小題滿分分）提示:1 為方程的根,代入方程可得將n=1和n=2代入上式可得 2. 求出等,可猜想并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明本題主要考察:1.一般數(shù)列的通項(xiàng)公式 求和公式間的關(guān)系2.方程的根的意義(根代入方程成立)3.數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式(也可以把分開(kāi)為,可得難道較大,不過(guò)計(jì)算較易,數(shù)列的前面一些項(xiàng)的關(guān)系也比較容易發(fā)現(xiàn)2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（全國(guó)卷II）參考答案一、選擇題D D A A C B A D A C A C二、填空題45 25三、解答題17解：（）若ab，則

12、sincos0，2分由此得 tan1()，所以 ；4分（）由a(sin，1)，b(1，cos)得ab，10分當(dāng)sin()1時(shí)，|ab|取得最大值，即當(dāng)時(shí)，|ab|最大值為112分18解：（）可能的取值為0，1，2，3P(0)·P(1)··P(2)··P(3)· 8分的分布列為0123P數(shù)學(xué)期望為E1.2()所求的概率為pP(2)P(2)P(3) 12分19解法一：ABCDEA1B1C1OF（）設(shè)O為AC中點(diǎn)，連接EO，BO，則EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD為平行四邊形，EDOB 2分ABBC，BOAC，又平面ABC

13、平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線6分（）連接A1E，由AA1ACAB可知，A1ACC1為正方形，A1EAC1，又由ED平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1作EFAD，垂足為F，連接A1F，則A1FAD，A1FE為二面角A1ADC1的平面角不妨設(shè)AA12，則AC2，ABEDOB1，EF，tanA1FE，A1FE60°所以二面角A1ADC1為60° 12分解法二：（）如圖，建立直角坐標(biāo)系Ox

14、yz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)設(shè)A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)則C(a，0，0)，C1(a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c) 3分ABCDEA1B1C1Ozxy（0，b，0），(0，0，2c)·0，EDBB1又(2a，0，2c)，·0，EDAC1， 6分所以ED是異面直線BB1與AC1的公垂線（）不妨設(shè)A(1，0，0)，則B(0，1，0)，C(1，0，0)，A1(1，0，2)，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，0，2)，·0，·0，即BCAB，BCAA1，又ABAA1A，BC平面A1AD又E(0，0，1)，D(0

15、，1，1)，C(1，0，1)，(1，0，1)，(1，0，1)，(0，1，0)，·0，·0，即ECAE，ECED，又AEEDE，EC面C1AD10分cos，即得和的夾角為60°所以二面角A1ADC1為60° 12分20解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 5分(i)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對(duì)x0，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于所有x0，都有f(x)ax 9分(ii)當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于0xea11，g(x)0，所

16、以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對(duì)0xea11，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時(shí)，不是對(duì)所有的x0，都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是（，1 12分解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立3分對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 6分當(dāng)x ea11時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)1xea11，g(x)0，g(x)為減函數(shù)， 9分所以要對(duì)所有x0都有g(shù)(x)g(0)充要條件為ea110由此得a1，即a的取值范圍是（，1 12分21解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)

17、A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)(，1) 4分所以·(，2)·(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以·為定值，其值為07分()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當(dāng)1時(shí)，S取得最小值422解：()當(dāng)n1時(shí)，x2a1xa10有一根為S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1當(dāng)n2時(shí)，x2a2xa20有一根為S21a2