機械制圖電子教案 第三章點、直線、平面的投影

1、 版權(quán)所有-中職教學資源網(wǎng)第三章 點、直線、平面的投影第1講課題點的投影課型理 論教學目的學習點的投影基本規(guī)律重點難點點在三投影面體系中的投影教學媒體多媒體 實物 圖畫 投影幻燈電視電影 其它媒體教學方法講授法 討論法 談話法 指導(dǎo)法演示法 參觀法 實習法 練習法教 學 過 程一、點在兩投影面體系中的投影1兩投影面體系的建立設(shè)立互相垂直的兩個投影面，正立投影面（簡稱正面）V和水平投影面（簡稱水平面）H，構(gòu)成兩投影面體系。兩投影面體系將空間劃分為四個分角。本書只講述物體在第一分角的投影。V面和H面的交線稱為投影軸OX。2點的兩面投影由空間點A作垂直于V面、H面的投射線Aa、Aa，分別與V面、H面

2、相交，交點即為A的正面投影（V面投影）a和水平投影（H面投影）a，即點A的兩面投影。空間點用大寫字母如A、B、C、表示，其水平投影用相應(yīng)的小寫字母如a、b、c、表示，正面投影用相應(yīng)的小寫字母加一撇如a、b、c、表示。為使點的兩面投影畫在同一平面上，需將投影面展開。展開時V面保持不動，將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，與V面展成一個平面，便得到點A的兩面投影圖。投影圖上的細實線aa稱為投影連線。3點的兩面投影規(guī)律空間三點A、a、a構(gòu)成一個平面，由于平面Aaa分別與V面，H面垂直，所以這三個相互垂直的平面必定交于一點ax，且axaOX、aaxOX。當H面與V面展平后， a、ax、a三點必共線

3、，即aaOX。又因Aaaxa是矩形，所以axa=Aa，axa=Aa。亦即：點A的V面投影a與投影軸OX的距離，等于點A與H面的距離；點A的H面投影a與投影軸OX的距離，等于點A與V面的距離。 點在兩投影面體系中的投影由此可得出點的兩面投影規(guī)律：點的兩面投影連線垂直于投影軸，即aaOX。點的投影到投影軸的距離，等于該點與相鄰?fù)队懊娴木嚯x，即：axa=Aa； axa=Aa （a） （b） （c） （a） （b） （c）圖2.12 點在三投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影1三投影面體系的建立兩面投影能確定點的空間位置，卻不能充分表達立體的形狀，所以需采用三面投影圖。再設(shè)立一個與V、H面都

4、垂直的側(cè)立投影面（簡稱側(cè)面）W，形成三投影面體系。它的三條投影軸OX、OY、OZ必定互相垂直。2 點的三面投影由空間點A分別作垂直于H、V、W面的投射線，其交點a、a、a即為點A的三面投影?？臻g點的W面投影用相應(yīng)的小寫字母加兩撇表示，如a、b、等, 投影面展開時，W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°和V面展成一個平面，得到三面投影圖。OY軸在H、W面上分別表示為OYH、OYW。同樣，不必畫出投影面的邊框。3 點的三面投影規(guī)律在三投影面體系中，Aaaxaaz aayO構(gòu)成一長方體，由于點在兩投影面體系中的投影規(guī)律在三投影面體系中仍然適用，由此可得出如下關(guān)系：aaOX、aaOZ、aaYHOYH、a

5、aYWOYW、aaX= aaZ。若把三投影面體系看作直角坐標系，則投影軸、投影面、點O分別是坐標軸、坐標面和原點。則可得出點A（x，y，z）的投影與其坐標的關(guān)系：x=aZa=aaYH=點A到W面的距離A a；y=aaX=aZ a=點A到V面的距離A a；z= aXa= aaYW=點A到H面的距離Aa。由此可得出點的三面投影規(guī)律：（1）點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸，即aaOX、aaOZ。（2）點的投影到投影軸的距離，等于該點的某一坐標值，也就是該點到相應(yīng)投影面的距離。三、兩點的相對位置1兩點的相對位置空間兩點的投影不僅反映了各點對投影面的位置，也反映了兩點之間左右、前后、上下的相對位置。由圖可

6、以看出，xB>xA，故點B在點A之左，同理，點B在點A之后（yA>yB）、之下（zBzA）。因此，也可用兩點的坐標差來確定點的位置。兩點的相對位置2重影點 重影點如圖所示，點A位于點B的正上方，即xA=xB，yA=yB，zA>zB，A、B兩點在同一條H面的投射線上，故它們的水平投影重合于一點a（b），則稱點A、B為對H面的重影點。同理，位于同一條V面投射線上的兩點稱為對V面的重影點；位于同一條W面投射線上的兩點稱為對W面的重影點。兩點重影，必有一點被“遮蓋”，故有可見與不可見之分。因為點A在點B之上（zA>zB），它們在H面上重影時，點A投影a為可見，點B投影b為不可見

7、，并用括號將b括起來，以示區(qū)別。同理，如兩點在V面上重影，則y坐標值大的點其投影為可見點；在W面上重影，則x坐標值大的點其投影為可見點。課后練習復(fù)習思考題；習題：3-1題第2講課題線的投影課型理 論教學目的掌握各種位置直線在三投影面體系中的投影重點難點掌握一般位置直線和各種特殊位置直線的投影掌握各種位置直線的投影特性教學媒體多媒體 實物 圖畫 投影幻燈電視電影 其它媒體教學方法講授法 討論法 談話法 指導(dǎo)法演示法 參觀法 實習法 練習法教 學 過 程一、直線的投影圖空間一直線的投影可由直線上的兩點（通常取線段兩個端點）的同面投影來確定。如圖所示的直線AB，求作它的三面投影圖時，可分別作出A、B

8、兩端點的投影（a、a、a）、（b、b、b），然后將其同面投影連接起來即得直線AB的三面投影圖（a b、a b 、ab）。直線的投影二、直線對于一個投影面的投影特性空間直線相對于一個投影面的位置有平行、垂直、傾斜三種，三種位置有不同的投影特性。1真實性 當直線與投影面平行時，則直線的投影為實長，這種投影性質(zhì)稱為真實性，如圖（a）所示。2積聚性 當直線與投影面垂直時，則直線的投影積聚為一點，這種投影性質(zhì)稱為積聚性，如（b）所示。3收縮性 當直線與投影面傾斜時，則直線的投影小于直線的實長，這種投影性質(zhì)稱為做收縮性，如圖（c）所示。（a） （b） （c）三、各種位置直線的投影特性 根據(jù)直線在三投影面體

9、系中的位置可分為投影面傾斜線、投影面平行線、投影面垂直線三類。前一類直線稱為一般位置直線，后兩類直線稱為特殊位置直線。它們具有不同的投影特性，下面分述如下：（一）投影面平行線平行于一個投影面且同時傾斜于另外兩個投影面的直線稱為投影面平行線。平行于V面的稱為正平線；平行于H面的稱為水平線；平行于W面的稱為側(cè)平線。直線與投影面所夾的角稱為直線對投影面的傾角。、分別表示直線對H面、V面、W面的傾角。投影面平行線的立體圖、投影圖及投影特征名稱正平線（/V）水平線（/H）側(cè)平線（/W）實例立體圖投影圖投影特性（1） 正面投影ab反映實長。（2） 正面投影ab與OX軸和OZ軸的夾角、分別為AB對H面和W面

10、的傾角。（3）水平投影軸abOX軸，側(cè)面投影abOZ軸，且都小于實長。（1） 水平投影ef反映實長。（2） 水平投影ef 與OX軸和OYH的夾角、分別為EF對V面和W面的傾角。（3） 面投影efOX軸，側(cè)面投影efOYW，且都小于實長。（1） 側(cè)面投影i/j/反映實長。（2）側(cè)面投影ij與OZ軸和OYW軸的夾角和分別為EF對V面和H面的傾角。（3）正面投影ijOZ軸，水平投影ijOYH，且都小于實長。（二）投影面垂直線垂直于一個投影面且同時平行于另外兩個投影面的直線稱為投影面垂直線。垂直于V面的稱為正垂線；垂直于H面的稱為鉛垂線；垂直于W面的稱為側(cè)垂線；投影面平行線的立體圖、投影圖及投影特征。

11、名稱正垂線（V）鉛垂線（H）側(cè)垂線（W）實例立體圖投影圖投影特性（1）正面投影b(c)積聚成一點。（2）水平投影bc，側(cè)面投影bc 都反映實長，且bcOX， bcOZ。（1）水平投影b(g)積聚成一點。（2）正面投影bg，側(cè)面投影bg 都反映實長，且bgOX， bgOYW。（1）側(cè)面投影e(k)積聚成一點。（2） 正面投影e k，水平投影ek都反映實長，且e kOZ， ekOYH。（三）一般位置直線與三個投影面都處于傾斜位置的直線稱為一般位置直線。如圖所示，直線AB與H、V、W面都處于傾斜位置，傾角分別為、。其投影如圖所示。 一般位置直線的投影特征可歸納為：1直線的三個投影和投影軸都傾斜，各投

12、影和投影軸所夾的角度不等于空間線段對相應(yīng)投影面的傾角；2任何投影都小于空間線段的實長，也不能積聚為一點。對于一般位置直線的辨認：直線的投影如果與三個投影軸都傾斜，則可判定該直線為一般位置直線。三、一般位置直線的實長和對投影面的傾角表示用直角三角形法求一般位置線段的實長及其對投影面的傾角的原理。AB為一般位置直線，過端點A作直線平行其水平投影ab并交Bb于C，得直角三角形ABC。在直角三角形ABC中，斜邊AB就是線段本身，底邊AC等于線段AB的水平投影ab，對邊BC等于線段AB的兩端點到H面的距離差（Z坐標差），也即等于a b 兩端點到投影軸OX的距離差，而AB與底邊AC的夾角即為線段AB對H面

13、的傾角。根據(jù)上述分析，只要用一般位置直線在某一投影面上的投影作為直角三角形的底邊，用直線的兩端點到該投影面的距離差為另一直角邊，作出一直角三角形。此直角三角形的斜邊就是空間線段的真實長度，而斜邊與底邊的夾角就是空間線段對該投影面的傾角。這就是直角三角形法。 直角三角形法 用直角三角形法求線段實長及其與投影面的傾角的原理作圖方法與步驟如圖所示，用線段的任一投影為底邊均可用直角三角形法求出空間線段在直角三角形法中，直角三角形包含四個因素：投影長、坐標差、實長、傾角。只要知道兩個因素，就可以將其余兩個求出來。四、直線上點的投影（一）直線上點的投影點在直線上，則點的各個投影必定在該直線的同面投影上，反

14、之，若一個點的各個投影都在直線的同面投影上，則該點必定在直線上，如圖所示直線AB上有一點C，則C點的三面投影c、c、c 必定分別在該直線AB的同面投影ab、a b、ab 上。（二）直線投影的定比性直線上的點分割線段之比等于其投影之比，這稱為直線投影的定比性。五、兩直線的相對位置兩直線的相對位置有平行、相交、交叉三種情況。（一）兩直線平行若空間兩直線平行，則它們的各同面投影必定互相平行。由于ABCD，則必定abcd、 a bc d、abcd 。反之，若兩直線的各同面投影互相平行，則此兩直線在空間也必定互相平行。 在投影圖上判定兩直線是否平行；若兩直線處于一般位置時，則只需觀察兩直線中的任何兩組同

15、面投影是否互相平行即可判定；但當兩平行直線平行于某一投影面時，則需觀察兩直線在所平行的那個投影面上的投影是否互相平行才能確定。如圖所示，兩直線AB、CD均為側(cè)平線，雖然abcd、 abcd，但不能斷言兩直線平行，還必需求作兩直線的側(cè)面投影進行判定，由于圖中所示兩直線的側(cè)面投影ab 與cd相交，所以可判定直線AB、CD不平行。（二）兩直線相交若空間兩直線相交，則它們的各同面投影必定相交，且交點符合點的投影規(guī)律。如圖所示，兩直線AB、CD相交于K點，因為K點是兩直線的共有點，則此兩直線的各組同面投影的交點 k、 k、k 必定是空間交點K的投影。反之，若兩直線的各同面投影相交，且各組同面投影的交點符

16、合點的投影規(guī)律，則此兩直線在空間也必定相交。 在投影圖上判定兩直線是否相交：若兩直線均為一般位置線時，則只需觀察兩直線中的任何兩組同面投影是否相交且交點是否符合點的投影規(guī)律即可判定；但當兩直線中有一條直線為投影面平行線時，則需觀察兩直線在該投影面上的投影是否相交且交點是否符合點的投影規(guī)律才能確定；或者根據(jù)直線投影的定比性進行判斷。兩直線AB、CD兩組同面投影ab與cd、a b 與c d 雖然相交，但經(jīng)過分析判斷，可判定兩直線在空間不相交（三）兩直線交叉兩直線既不平行又不相交，稱為交叉兩直線。若空間兩直線交叉，則它們的各組同面投影必不同時平行，或者它們的各同面投影雖然相交，但其交點不符合點的投影

17、規(guī)律。反之亦然。如圖（a）所示?？臻g交叉兩直線的投影的交點，實際上是空間兩點的投影重合點。利用重影點和可見性，可以很方便地判別兩直線在空間的位置。在圖（b）中，判斷AB和CD的正面重影點 k（l）的可見性時，由于K、L兩點的水平投影k比l的y坐標值大，所以當從前往后看時，點K可見，點L不可見，由此可判定AB在CD的前方。同理，從上往下看時，點M可見，點N不可見，可判定CD在AB的上方。 （a） （b）課后練習復(fù)習思考題；3-2題、3-3題第3講課題面的投影課型理 論教學目的掌握各種位置平面的投影規(guī)律掌握平面上點和直線的作圖規(guī)律重點難點能根據(jù)平面的兩投影求第三投影，會在平面上作線教學媒體多媒體

18、實物 圖畫 投影幻燈電視電影 其它媒體教學方法講授法 討論法 談話法 指導(dǎo)法演示法 參觀法 實習法 練習法教 學 過 程一、平面的表示法在投影圖上表示平面有兩種方法。（一）一組幾何元素的投影表示平面1不在同一直線上的三點2一直線和直線外一點3相交兩直線4平行兩直線5任意平面圖形，如三角形、四邊形、圓形等（二）跡線表示法有時也用平面與投影面的交線即平面的跡線來表示平面，平面P與H面的交線稱為水平跡線，用PH表示；平面P與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示；平面P與W面的交線稱為側(cè)面跡線，用PW表示。PH 、PV 、PW兩兩相交的交點Px 、PY 、PZ稱為跡線集合點，它們分別位于OX、OY、OZ

19、軸上。由于跡線既是平面內(nèi)的直線，又是投影面內(nèi)的直線，所以跡線的一個投影與其本身重合，另兩個投影與相應(yīng)的投影軸重合。在用跡線表示平面時，為了簡明起見，只畫出并標注與跡線本身重合的投影，而省略與投影軸重合的跡線投影。三、各種位置平面的投影特性 根據(jù)平面在三投影面體系中的位置可分為投影面傾斜面、投影面平行面、投影面垂直面三類。前一類平面稱為一般位置平面，后兩類平面稱為特殊位置平面。它們具有不同的投影特性，下面分述如下：（一）投影面垂直面垂直于一個投影面且同時傾斜于另外兩個投影面的平面稱為投影面垂直面。垂直于V面的稱為正垂面；垂直于H面的稱為鉛垂面；垂直于W面的稱為側(cè)垂面。平面與投影面所夾的角度稱為平

20、面對投影面的傾角。、分別表示平面對H面、V面、W面的傾角。投影面平行線的投影特征：1直線平行于哪個投影面，它在該投影面上的投影就反映空間線段的實長，并且這個投影和投影軸所夾的角度，就等于空間線段對相應(yīng)投影面的傾角；2其他兩個投影都小于空間線段的實長，而且與相應(yīng)的投影軸平行。對于投影面平行線的辨認：當直線的投影有兩個平行于投影軸，第三投影與投影軸傾斜時，則該直線一定是投影面平行線，且一定平行于其投影為傾斜線的那個投影面。（二）投影面平行面平行于一個投影面且同時垂直于另外兩個投影面的平面稱為投影面平行面。平行于V面的稱為正平面；平行于H面的稱為水平面；平行于W面的稱為側(cè)平面；投影面平行面的投影特征

21、：1平面平行于哪個投影面，它在該投影面上的投影反映空間平面的實形。2其他兩個投影都積聚為直線，而且與相應(yīng)的投影軸平行。對于投影面平行面的辨認：當平面的投影有兩個分別積聚為平行于不同投影軸的直線，而另一個投影為平面形，則此平面平行于該投影所在的那個平面。（三）一般位置平面與三個投影面都處于傾斜位置的平面稱為一般位置平面。例如平面ABC與H、V、W面都處于傾斜位置，傾角分別為、。其投影如圖所示。一般位置平面的投影特征可歸納為：一般位置平面的三面投影，既不反映實形，也無積聚性，而都為類似形。 一般位置平面對于一般位置平面的辨認：如果平面的三面投影都是類似的幾何圖形的投影，則可判定該平面一定是一般位置平面。四、平面上的直線和