多自由度體系的微振動

1、第六章 多自由度體系的微振動教學目的和基本要求：正確理解線性振動的概念和力學體系平衡的分類；能運用拉格朗日方程初步分析兩個自由度保守體系的自由振動問題；理解簡正坐標的概念并了解利用簡正坐標將復雜振動轉化為簡正振動的方法和意義。教學重點：掌握運用拉格朗日方程分析兩個自由度保守體系的自由振動問題的方法和簡正坐標的物理意義。教學難點：簡正坐標的物理意義。§6.1 振動的分類和線形振動的概念 振動不僅在宏觀領域大量存在（如單擺、彈性振子和地震等），在微觀領域也是一種普遍現象（如晶體中晶格的振動、光學中分子的振動等）。振動的種類根據所依據的標準不同可有幾種分類方法，下面將簡單介紹。一：振動的分

2、類1.按能量的轉換來劃分. 自由振動系統(tǒng)的能量E為常數，即能量守恒。 阻尼振動系統(tǒng)的能量E逐漸轉化為熱能Q。 強迫振動系統(tǒng)不斷從外界吸收能量并將其轉化為熱能Q。2.按體系的自由度劃分. 單自由度振動體系的自由度S=1。 有限多自由度振動和無限多自由度振動體系的自由度為大于1的有限值或無限大值。3.按體系的動力學微分方程的種類劃分. 線性振動體系的運動微分方程為線性方程。非線性振動體系的運動微分方程為非線性方程。4.本章研究的主要問題. 以上我們按不同的標準將振動進行了歸類，實際上這幾種標準是相互交叉的，也就是說振動還可以按照以上兩個或三個標準進行進一步的歸類。如線性振動還可以進一步分為單自由度

3、線性振動、 有限多自由度線性振動和無限多自由度線性振動。 表6.1給出了同時按自由度和微分方程的種類對振動進行的分類。我們在本章研究的主要問題是有限多自由度的線性振動，所以有必要對線性和非線性振動做進一步討論。表6.1線性振動非線性振動單自由度有限多自由度無限自由度二：有限多自由度線性振動1.定義：體系的自由度為有限多個且體系的運動微分方程為線性方程。例如：單擺的運動微分方程為，方程為非線性的。但當很小時有，方程變?yōu)榫€性方程。如果同時還存在有阻尼及強迫力，則方程可寫成，仍為線性方程。2.應用：一般情況下當力學體系在其平衡位置做微振動時，只要考慮它的最低級近似即可。這樣的振動無論是自由振動、阻尼

4、振動還是強迫振動，也無論自由度的個數是多少，其振動的運動微分方程均可看成是線性的，也就是屬于線性振動。三：平衡位置及其分類.1.平衡位置的定義及判定方法。（1）定義：如果力學體系在t=0時靜止地處于某一確定位置，當時該體系仍能保持在此位置，那么該位置即為體系的平衡位置，我們說體系處于平衡態(tài)。（2）判定方法：在§2.4節(jié)中我們已指出保守力學體系處于平衡位置時，其勢能應取極值（見第二章4.2式），即，這可以做為保守體系平衡位置的判據。2.平衡位置的分類及其判定方法.（1）平衡位置的分類：平衡位置按其性質不同可分為三類：穩(wěn)定平衡：力學體系受到擾動偏離平衡位置后將回到平衡位置或者在平衡位置的

5、附近做微振動。不穩(wěn)定平衡：力學體系受到擾動后將逐漸遠離平衡位置。隨遇平衡：力學體系受到擾動后將在新的平衡位置下保持平衡。 這三種平衡位置可用圖6.1形象地表示出來，只不過圖6.1是針對單自由度而言，針對多自由度也有類似的例子。（2）平衡位置種類的判據. 上述三種平衡位置均能滿足，但只有穩(wěn)定平衡才能引起體系的振動，因而我們有必要找到各種平衡位置的區(qū)別或判據。參考圖6.1可知，勢能取極小值時才是穩(wěn)定平衡。拉格朗日將托里拆利的這一思想推廣到任意保守體系，得到了關于體系平衡位置穩(wěn)定性的拉格朗日定理如下： 如果在某一位置保守體系的勢能有嚴格的極小值，那么該位置為體系的穩(wěn)定平衡位置。當S=1時，判據為：且

6、；當S=2時，判據為：且，。另外已證明的定理還有：如果力學體系的V取極大值，則體系處于不穩(wěn)定平衡（逆定理還未證實）；如果V=C，則體系處于隨遇平衡。四 本節(jié)重點：掌握振動的分類特別是線性振動的概念，熟練掌握平衡位置的分類和平衡位置種類的判據。§6.2 兩個自由度保守體系的自由振動 對于微振動的力學問題，用分析力學來討論比較方便。設體系的自由度S=2，體系做自由微振動，廣義坐標為。由拉格朗日方程可得：，接下來關鍵就是設法將動能T、勢能V表示成關于的函數，再將其代入上述方程中即可得到體系的線形運動微分方程。一：動能T、勢能V的表達式.1. 動能T、勢能V的一般表達式.由§2.7

7、的結論可知當體系受穩(wěn)定約束時，其中。由于體系在平衡位置附近的微振動均可看成是受穩(wěn)定約束，所以有： （2.2）因勢能V僅與有關，與無關，因而可得。下面就是設法將動能T、勢能V的一般表達式化簡為所需的形式即可。2. 動能T、勢能V表達式的化簡. 取平衡位置為廣義坐標的零點，將V、T在平衡位置展開成泰勒級數可得： （2.3） （2.4）（1）勢能V ：對于（2.3）式，令且因體系在平衡位置時有，略去等的高次項后可得： （2.5）其中，（2.5）式即為所求的勢能V化簡后的表達式。（2）動能T ：對于（2.4）式，考慮到應為同階小量，而（2.2）式中T已為二次式，所以只要取零次式即可，即有，這樣動能可表

8、示為： （2.6） 其中均為常數，（2.6）式即為所求的動能T化簡后的表達式。二：體系的運動微分方程及其解1.運動微分方程：將（2.5）、（2.6）式代入（2.1）式化簡后可得 （2.7）或者化簡為 （2.8）該方程為二階常系數常微分方程組，可用高等數學中關于微分方程組的相應理論求解。2.方程的解.（1）試探解及久期方程：對于（2.7）式在物理學中常用取試探解的方式求解，即令方程的試探解為 （2.9），兩端對時間求導后可得，將以上兩式代回（2.7）式得： （2.10）或寫成 （2.11） 要使（2.10）有解，首先應使A1、A2有實數解，這要求的系數所構成的行列式必須為零，即 （2.12） （

9、2.12）式被稱為久期方程或頻率方程，它是關于的一元二次方程。（2）久期方程的兩個正根：可以證明久期方程必有兩個正根，只有這樣求出的為實數才有實際的物理意義。 證明：因，當不同時為零時，應有。由，令，同理可得，另外可將表達式改寫為，要使上式恒大于零，必須有 （2.13）同理因可以證明 （2.14） 接著可做出的函數圖象，其中，當時，；時，；當時，；當時，。由以上討論可知，函數在及之間有兩次穿過橫軸，也就是方程（2.12）必然有兩個正根。其實，從（2.13）、（2.14）出發(fā)，利用就可直接判定該方程有兩個正根。（3）運動微分方程的特解和通解 設方程的兩個根分別為，分別將代入（2.10）式中的任一

10、個可得：， （2.15）即有，。令為分別為試探解（2.9）式中的振幅，則運動微分方程的特解為：及。根據線性微分方程的理論，方程的通解應是兩組特解的線性組合，即有 同理可得式中為常數，由初始條件及決定。（4）久期方程有兩個相等正根時運動方程的解. 久期方程（2.12）還可能有兩相等的正根，例如當時，函數， 的函數曲線與橫軸只有一個交點。方程的解為，也就是方程（2.10）中的系數均為零，取任何值都可以。此時久期方程的兩組特解為，；，。方程的通解仍是兩組特解的線性組合，即有 （2.18）四個常數由初始條件決定。三.例題（從略）四.本節(jié)重點：2個自由度力學體系做微振動時的通解和特解。§6.4

11、 簡正坐標和簡正振動 我們知道一個力學體系的廣義坐標的選取是任意的，如果廣義坐標選取的合適，可以使微分方程的求解非常容易，具體可見下例。一：雙單擺的振動研究. 在雙單擺中如果取，為廣義坐標，可得，。將其代入T、V的表達式（見178頁）化簡后可得： ，將兩式代入拉格朗日方程可得： ，求解兩方程可得： （4.5）其中 ，將（4.6）代回（4.2）式可得 （4.7）這與上節(jié)直接選為廣義坐標的所求結果完全一致，但求解的過程要簡便的多。二：簡正坐標1.定義：在處理線性振動時如果選取的廣義坐標能使動能T、勢能V同時表示成廣義速度和廣義坐標的平方和形式，即，則該坐標為廣義坐標。 將T、V的以上表達式代入拉格

12、朗日方程可以很方便的得到： 其解為 2.物理意義. 在上例雙單擺中如果令及，代回（4.7）式可得，任意，方程的通解為，其中，等效于、的單擺的運動。同理，如果令初始條件為及，代回（4.7）式可得，任意，方程的通解為，其等效于、的單擺的運動。從上例可以看出，簡正坐標的物理意義可總結如下：（1）當選擇某個坐標為廣義坐標使力學體系在振動過程中該坐標只以一個頻率振動，其余頻率為零或者說沒有被激發(fā)出來，那么用來反映這種振動模式的坐標即為簡正坐標，相應的振動模式為簡正振動或本征振動?；蛘哒f如果選取的廣義坐標可以使體系的振動只以某種與此坐標對應的頻率振動，該坐標為簡正坐標。（2）對于體系的任意振動狀態(tài)，都可以

13、看成是各種簡正振動的線性疊加。（3）簡正坐標的合適選取不僅有利于方程的求解，而且還可以反映體系振動的物理本性，因此在處理微振動時應盡量選取簡正坐標。三 簡正坐標的簡單求法. 理論上可通過坐標的變換消去T、V的二次項，從而得到簡正坐標；還有一種方法就是通過物理直覺直接判定出簡正坐標，但是這兩種方法都不好掌握。下面我們來介紹當體系的自由度S=2、3時，可以采用的一種簡單容易掌握的方法。1. 自由度S=2.設為任意兩個廣義坐標，為所求的簡正坐標。令，。將其代入T、V的表達式得令的系數為零可得：對勢能V應用同樣的方法可得：，聯立以上兩個方程可直接解出，代回，就可求出。 例如對于雙單擺采用上述方法可直接

14、求出，將其代入，就可求出。2. 自由度S=3. 設為任意三個廣義坐標，為所求的簡正坐標。令，然后將用表示后代入T、V的表達式中可得到關于及 的二次式。分別令、的系數為零可得到一組方程組，解出該方程組即可求出，進而得到。四 本節(jié)重點：簡正坐標的定義、物理意義及自由度S=2時簡正坐標的求法。本章習題：6.1、6.3、6.4。As of Microsoft® Internet Explorer 4.0, you can applmultimedia-style effects to your Web pages using visual filters and transitions. Y

15、ou can apply visual filters and transitions to standard HTML controls, such as text containers, images, and other windowless objects. Transitions are time-varying filters that create a transition from one visual state to another. By combining filters and transitions with basic scripting, you can cre

16、ate visually engaging and interactive documents.Internet Explorer 5.5 and later supports a rich variety of optimized filters. Click the following button to see a demonstration of many of these filters and how to usetheProcedural surfaces are colored surfaces that display between the content of an ob

17、ject and the object's background. Procedural surfaces define each pixel's RGB color and alpha values dynamically. Only the procedure used to compute the surface is stored in memory. The content of an object with a procedural surface applied is not affected by the procedural surface.警告：此類已序列化的對象將不再與以后的 Swing 版本兼容。當前的序列化支持適合在運行相同 Swing 版本的應用程序之間短期存儲或 RMI。從 1.4 版開始，已在 java.beans 包中加入對所有 JavaBeansTM 的長期存儲支持。請參見 XMLEncoder。引用類型和原始類型的行為完全不同，并且它們具有不同的語義。引用類型和原始類型具有不同的特征和用法，它們包括：大小和速度問題，這種類型以哪種類型的數據結構存儲，當引用類型和原始類型用作