浙江大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院博士生博弈論課程習(xí)題及答案

1、納什均衡1在下表所示的戰(zhàn)略式博弈中，找出重復(fù)刪除劣戰(zhàn)略的占優(yōu)均衡表1.1S1S2LMRU4,35,16,2M2,18,43,6D3,09,62,8首先，找出S2的劣戰(zhàn)略。對(duì)于S2，M策略嚴(yán)格劣于R策略，所以M為嚴(yán)格劣策略。刪除后M再找出S1的劣戰(zhàn)略，顯然對(duì)于S1而言，M策略和D策略嚴(yán)格劣于U策略，所以M和D為嚴(yán)格劣策略。刪除M與D后找占優(yōu)均衡為（U,L）即，（4，3）。2求解下表所示的戰(zhàn)略博弈式的所有的純戰(zhàn)略納什均衡表1.2S1S2和S3X3Y3X2Y2X2Y2X10,0,06,5,44,6,50,0,0Y15,4,60,0,00,0,00,0,0首先看S1選擇X策略。如果S2同樣選擇X策略，

2、那么S3一定選擇Y策略；同樣，如果S3選擇Y策略，S2也一定會(huì)選擇X策略，因此（X，X，Y）是一個(gè)納什均衡；如果S2選擇Y策略，那么S3一定選擇X策略；同樣，如果S3選擇X策略，S2也一定會(huì)選擇Y策略，因此，（X，Y，X）是一個(gè)納什均衡。其次看S1選擇Y策略。如果S2選擇X策略，S3一定選擇X策略；同樣，如果S3選擇X策略，S2也一定會(huì)選擇X策略，因此（Y，X，X）是一個(gè)納什么均衡。如果S2選擇Y策略，S3選擇Y策略是理性的，如果S3選擇X，S2將選擇X，這樣（Y，Y，X）將不是一個(gè)納什均衡；同樣，如果S3選擇Y策略，S2也一定會(huì)選擇Y策略，因此（Y，Y，Y）是一個(gè)納什均衡。所以該博弈式的純戰(zhàn)

3、略納什均衡有4個(gè)：（X，X，Y）（X，Y，X）（Y，X，X）（Y，Y，Y）。3（投票博弈）假定有三個(gè)參與人（1、2和3）要在三個(gè)項(xiàng)目（A、B和C）中選中一個(gè)。三人同時(shí)投票，不允許棄權(quán)，因此，每個(gè)參與人的戰(zhàn)略空間Si=A，B，C。得票最多的項(xiàng)目被選中，如果沒(méi)有任何項(xiàng)目得到多數(shù)票，項(xiàng)目A被選中。參與人的支付函數(shù)如下：U1(A)=U2(B)=U3(C)=2U1(B)=U2(C)=U3(A)=1U1(C)=U2(A)=U3(B)=0求解以上博弈的所有純戰(zhàn)略納什均衡。首先：將上述博弈過(guò)程轉(zhuǎn)換為戰(zhàn)略式博弈矩陣。12和3A3B3C3A2B2C2A2B2C2A2B2C2A12,0,12,0,12,0,12,0

4、,11,2,02,0,12,0,12,0,10,1,2B22,0,11,2,02,0,11,2,01,2,01,2,02,0,11,2,00,1,2C12,0,12,0,10,1,22,0,11,2,00,1,20,1,20,1,20,1,2由上，若參與人1選擇A策略。如果參與人2同樣選擇A策略，那么參與人3選擇ABC策略是無(wú)差異的，但均衡策略只能是參與人3選擇A策略，因此（A，A，A）是一個(gè)納什均衡。如果參與人2選擇B策略，參與人3選擇AB策略是差異的，但均衡策略只能是其選擇A，因此（A，B，A）是一個(gè)納什均衡。如果參與人2選擇C策略，參與人3將選擇C策略；同樣，如果參與3選擇C策略，參與人

5、2也將選擇C策略。因此，（A，C，C）是一個(gè)納什均衡。若參與人1選擇B策略。如果參與人2選擇A策略，那么參與人3將選擇A或C策略；但當(dāng)參與人3選擇C策略時(shí)，參與人2的最優(yōu)策略是選擇B，當(dāng)其選擇A策略時(shí)，參與人2將選擇B策略，因此，這種情況不存在納什均衡。如果參與人2選擇B策略，參與人3將選擇ABC是無(wú)差異的，但其選擇A和C都不滿足納什均衡，因此當(dāng)其選擇A和C時(shí)，參與人1將選擇A或C，因此有當(dāng)參與人3選擇B策略時(shí)，才存在納什均衡（B，B，B）。如果參與人2選擇C策略，參與人3也將選擇C策略；但參與人3選擇C策略時(shí)，參與人2將選擇B策略，因此，這時(shí)不存在納什均衡。若參與人1選擇C策略。如果參與人2

6、選擇A或B策略，那么參與人3將選擇C策略；但當(dāng)參與人3選擇C策略時(shí)，參與人1的最優(yōu)策略是選擇B，因此，這種情況不存在納什均衡。如果參與人2選擇C策略，參與人3將選擇C 策略；因?yàn)檫@時(shí)的AB策略都不滿足納什均衡，因此，存在一個(gè)納什均衡（C，C，C）。所以，該博弈的所有純戰(zhàn)略納什均衡有5個(gè)，分別是（A，A，A）（A，B，A）（A，C，C）（B，B，B）（C，C，C）。4求解以下戰(zhàn)略式博弈的所有納什均衡表1.3S1S2LMRT7，22，73，6B2，77，24，5首先考慮純納什均衡。如果S1選擇T戰(zhàn)略S2將選擇M戰(zhàn)略S1選擇B戰(zhàn)略S2將選擇L戰(zhàn)略S1選擇T戰(zhàn)略因此，該博弈不存在純納什均衡戰(zhàn)略。所以我

7、們考慮尋找混合戰(zhàn)略納什均衡。因此，S1可以對(duì)T與B策略進(jìn)行混合，而S2則可以對(duì)L、M、R中的任意至少兩個(gè)策略進(jìn)行選擇，因此，設(shè)S1選擇T策略的概率為，S2選擇L策略的概率為，M策略的概率為，則可能有以下情況：（1）S2選擇L、M和R的混合戰(zhàn)略。對(duì)于S2而言，如果三種戰(zhàn)略同時(shí)混合，必然滿足三種戰(zhàn)略的期望效用相同，因此，這一混合戰(zhàn)略能否成立取決于是否滿足以下兩個(gè)方程：該方程組無(wú)解，所以S2無(wú)法同時(shí)采用L、M和R同時(shí)混合的戰(zhàn)略（2）S2選擇L和M混合戰(zhàn)略。如果兩種戰(zhàn)略同時(shí)混合，必然滿足兩種戰(zhàn)略的期望效用相同，因此，需要滿足以下方程：，解得：1/2。但是將1/2代入等式可得效用為9/2；同時(shí)，將1/2

8、代入可得其值等于11/2。9/2<11/2表明L和M的混合戰(zhàn)略的期望效用小于R戰(zhàn)略的期望效用，因此，這一混合戰(zhàn)略也不滿足納什均衡。（3）S2選擇L和R混合戰(zhàn)略。如果兩種戰(zhàn)略同時(shí)混合，必然滿足兩種戰(zhàn)略的期望效用相同，因此，需要滿足以下方程：，解得：1/3。同樣，將1/3代入等式可得16/3；將1/3代入可得其值等于13/3。16/3>13/3表明L和R的混合戰(zhàn)略的期望效用大于M戰(zhàn)略的期望效用，因此，這一混合戰(zhàn)略滿足納什均衡。另一方面，計(jì)算S1的混合戰(zhàn)略，需要滿足以下等式：，解得：1/2，因此這一混合戰(zhàn)略的納什均衡為。（4）S2選擇M和R的混合戰(zhàn)略。顯然，這一戰(zhàn)略不可能是納什均衡戰(zhàn)略，

9、對(duì)于S2來(lái)說(shuō)，如果放棄了L戰(zhàn)略，那么對(duì)S1而言T戰(zhàn)略將是劣戰(zhàn)略，其將直接選擇B戰(zhàn)略，這時(shí)S2只能選擇R戰(zhàn)略，S1的反應(yīng)只可能是L戰(zhàn)略，這顯然與假設(shè)矛盾。5模型化下述劃拳博弈：兩個(gè)朋友在一些劃拳喝酒，每個(gè)人有四個(gè)純戰(zhàn)略：桿子、老虎、雞和蟲(chóng)子。輸贏規(guī)則是：桿子降老虎，老虎降雞，雞降蟲(chóng)子，蟲(chóng)子降桿子。兩個(gè)人同時(shí)出令，如果一個(gè)打敗另一個(gè)人，贏者的效用為1，輸者的效用為1；否則效用為0。給出以上博弈的戰(zhàn)略式描述并求出所有的納什均衡。（1）以上博弈的戰(zhàn)略式表述為12桿子老虎雞蟲(chóng)子桿子0，01，10，01，1老虎1，10，01，10，0雞0，01，10，01，1蟲(chóng)子1，10，01，10，0（2）顯然，這一博

10、弈戰(zhàn)略并不存在純納什均衡。假定參與人1選擇桿子，老虎，雞和蟲(chóng)子四種戰(zhàn)略的混合戰(zhàn)略，其概率分別為a，b，c和d，且abcd1。如果這四種戰(zhàn)略同時(shí)混合，必須使得這四種戰(zhàn)略的期望效用相同，因此，必須滿足以下四個(gè)方程：解得：abcd，所以abcd1/4。同理可得參與人2的戰(zhàn)略，所以該博弈的唯一混合策略納什均衡是參與者以1/4的概率隨機(jī)選擇各自的四個(gè)純戰(zhàn)略。6一群賭徒圍成一圈賭博，每個(gè)人將自己的錢(qián)放在邊上（每個(gè)人只知道自己有多少錢(qián)），突然一陣風(fēng)吹來(lái)將所有的錢(qián)混在一起，使得他們無(wú)法分辨哪些錢(qián)是屬于自己的，他們?yōu)榇税l(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)，最后請(qǐng)來(lái)一位律師。律師宣布這樣的規(guī)則，每個(gè)人將自己的錢(qián)數(shù)寫(xiě)在紙上，然后將紙條交給律

11、師，如果所有人要求的錢(qián)數(shù)加總不大于已有錢(qián)的總數(shù)，每個(gè)人得到自己要求的那部分，剩余部分歸律師；如果所有人要求的錢(qián)加總大于已有錢(qián)的總數(shù)，則所有的錢(qián)歸律師所有。寫(xiě)出這個(gè)博弈每個(gè)參與人的戰(zhàn)略空間與支付函數(shù)，求出所有的納什均衡。（假設(shè)錢(qián)的總數(shù)為M，M為共同知識(shí)）。博弈參與人的戰(zhàn)略空間是，參與人i的支付函數(shù)是： ， 0， 因此，對(duì)于參與人i來(lái)說(shuō)，只要采用都能實(shí)現(xiàn)自己的最大收益，也就是說(shuō)，在該博弈中有著多個(gè)納什均衡，所有使得，成立的戰(zhàn)略組合都是該博弈的純戰(zhàn)略納什均衡。7考慮一個(gè)工作申請(qǐng)的博弈。兩個(gè)學(xué)生同時(shí)向兩家企業(yè)申請(qǐng)工作，每家企業(yè)只有一個(gè)工作崗位。工作申請(qǐng)規(guī)則如下：每個(gè)學(xué)生只能向其中一家企業(yè)申請(qǐng)工作；如果

12、一家企業(yè)只有一個(gè)學(xué)生申請(qǐng)，該學(xué)生獲得工作；如果一家企業(yè)有兩個(gè)學(xué)生申請(qǐng)，則每個(gè)學(xué)生獲得工作的概率為1/2。現(xiàn)在假定每家企業(yè)的工資滿足：W1/2<W2<2W1，則問(wèn)： a寫(xiě)出以上博弈的戰(zhàn)略式描述 b求出以上博弈的所有納什均衡（1）該博弈的戰(zhàn)略式描述為甲乙申請(qǐng)企業(yè)1申請(qǐng)企業(yè)2申請(qǐng)企業(yè)1W1，W2申請(qǐng)企業(yè)2W2，W1（2）若甲選擇企業(yè)1，乙將選擇企業(yè)2；若乙選擇企業(yè)2，甲必然選擇企業(yè)1，因此，（企業(yè)1，（企業(yè)2，企業(yè)1）是一個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡。若甲選擇企業(yè)2，乙將選擇企業(yè)1；若乙選擇企業(yè)1，甲必然選擇企業(yè)2，因此，（企業(yè)2，（企業(yè)2，企業(yè)1）也是一個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡。（3）假定甲選擇企業(yè)1的概

13、率為，選擇企業(yè)2的概率為；乙選擇企業(yè)1的概率為，選擇企業(yè)2的概率為，則甲選擇企業(yè)1的期望收益為，選擇企業(yè)2的期望收益為，由二者相等可得乙選擇兩個(gè)企業(yè)的概率分別為：，。同理可得甲選擇兩家企業(yè)的概率：，。因此，最后的混合均衡是兩學(xué)生均以的概率決定向企業(yè)1與企業(yè)2提出申請(qǐng)。8考慮存在事前交流的性別戰(zhàn)博弈。在丈夫決定去看足球還是芭蕾之前，丈夫有機(jī)會(huì)向妻子傳遞以下信息：我們?cè)谧闱驁?chǎng)見(jiàn)面，或者我們?cè)诎爬兖^見(jiàn)面。當(dāng)以上信息交流完成以后，兩者同時(shí)決定去足球場(chǎng)還是去芭蕾館。博弈支付如下：如果兩者在足球場(chǎng)見(jiàn)面，則丈夫獲得3，妻子獲得1；如果兩者在芭蕾館見(jiàn)面，則丈夫獲得1，妻子獲得3；在其他條件下兩者的支付都是0。

14、 a給出以上博弈的戰(zhàn)略式描述 b求出所有的純戰(zhàn)略納什均衡，并討論哪個(gè)均衡更加合理假定丈夫向妻子傳遞了信息，由于他不一定必須遵守這個(gè)決定，因此，其戰(zhàn)略可以有四種：。在此第一個(gè)大寫(xiě)字母表示丈夫給出的信息是去足球場(chǎng)，而實(shí)際上也是去了足球場(chǎng)，其他同理。而妻子的戰(zhàn)略空間是：，其中第一個(gè)字母表示丈夫建議去足球場(chǎng)下妻子做出的決策，而第二個(gè)字母表示丈夫建議去芭蕾舞館的情況下妻子做出的決策。因此戰(zhàn)略式表述是：丈夫妻子3，13，10，00，00，00，01，11，13，10，03，10，00，01，10，01，1這個(gè)博弈的純戰(zhàn)略均衡有很多，比如，丈夫發(fā)出在足球場(chǎng)見(jiàn)面的信息，但是他去了芭蕾館，而妻子則不管丈夫什么建

15、議都去了芭蕾館；，丈夫發(fā)出去芭蕾館見(jiàn)面的信息，但是他去了足球場(chǎng)，而妻子也去了足球場(chǎng)；，丈夫發(fā)出去足球場(chǎng)見(jiàn)面的信息，他也去了足球場(chǎng)，妻子也跟著去了足球場(chǎng)，即她跟著丈夫的建議而行動(dòng)。這個(gè)均衡是一個(gè)聚點(diǎn)均衡，是更合理的均衡。9（庫(kù)諾特博弈）假定有n個(gè)庫(kù)諾特寡頭企業(yè)，每家企業(yè)生產(chǎn)成本函數(shù)為cq，市場(chǎng)逆需求函數(shù)是P=a-Q，其中P是價(jià)格，Q=qi是總供給，a是大于c的常數(shù)。企業(yè)i的戰(zhàn)略是選擇自身產(chǎn)量qi最大化自己的利潤(rùn)，即其他企業(yè)的產(chǎn)量q-i；選擇自身產(chǎn)量最大化自己的利潤(rùn)。求解以上博弈的納什均衡，以及均衡產(chǎn)量和價(jià)格如何隨n的變化而變化。根據(jù)已知條件可以設(shè)廠商i的利潤(rùn)函數(shù)為：。將代入上式可得：，因此一階條

16、件為：，解得各廠商對(duì)其它廠商產(chǎn)量的反應(yīng)函數(shù)為：。由n個(gè)廠商之間的對(duì)稱性，可知q1q2qn，代入上述反應(yīng)函數(shù)可解得：。因此，該博弈的納什均衡是每個(gè)廠商都生產(chǎn)產(chǎn)量。所以隨著n的增加，每個(gè)廠商的產(chǎn)量是下降的。另外，因?yàn)槭袌?chǎng)的總供給Q=，所以市場(chǎng)價(jià)格。 10（伯川德博弈）假定兩個(gè)寡頭企業(yè)之間進(jìn)行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)，兩企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品是完全替代的，并且兩家企業(yè)的生產(chǎn)成本函數(shù)為cq。市場(chǎng)逆需求函數(shù)是P=a-Q，Q=qi是總供給，a是大于c的常數(shù)。求出企業(yè)i所面臨市場(chǎng)需求以及納什均衡時(shí)的價(jià)格。假定消費(fèi)者從價(jià)格低的廠商購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品，如果兩企業(yè)價(jià)格相同，就平分市場(chǎng)，如果企業(yè)i的價(jià)格高于另一企業(yè)，則企業(yè)i的需求量為0，反之，其它

17、企業(yè)的需求量為0。因此，企業(yè)i的需求函數(shù)由下式給出：從上述需求函數(shù)的可以看出，企業(yè)i絕不會(huì)將其價(jià)格定得高于其它企業(yè)；由于對(duì)稱性，其它企業(yè)也不會(huì)將價(jià)格定的高于企業(yè)i，因此，博弈的均衡結(jié)果只可能是每家企業(yè)的價(jià)格都相同，即pipj。但是如果pipj>c那么每家企業(yè)的利潤(rùn)，因此，企業(yè)i只要將其價(jià)格略微低于其它企業(yè)就將獲得整個(gè)市場(chǎng)的需求，而且利潤(rùn)也會(huì)上升至，。同樣，其它企業(yè)也會(huì)采取相同的策略，如果此下去，直到每家廠商都不會(huì)選擇降價(jià)策略，此時(shí)的均衡結(jié)果只可能是pipjc。此時(shí)，企業(yè)i的需求函數(shù)為。11（差異價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)）假定兩個(gè)寡頭企業(yè)進(jìn)行價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)，但產(chǎn)品并不完全相同，企業(yè)i的市場(chǎng)需求，兩家企業(yè)的生產(chǎn)成

18、本函數(shù)為cq，求兩個(gè)寡頭同時(shí)選擇價(jià)格時(shí)的納什均衡。企業(yè)i的利潤(rùn)函數(shù)為，由一階條件可得企業(yè)i的反應(yīng)函數(shù)為?？紤]到對(duì)稱性，同樣方法可以得到企業(yè)j的反應(yīng)函數(shù)為，聯(lián)立此兩方程可得兩個(gè)寡頭同時(shí)選擇價(jià)格時(shí)的納什均衡為：。12構(gòu)造一個(gè)例子說(shuō)明博弈中可能存在如下情況：一個(gè)參與人的選擇空間越打大，他的處境越差。習(xí)題1中去掉R戰(zhàn)略。13如果重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略只剩下唯一的戰(zhàn)略組合，證明該組合必然是唯一的納什均衡。證明：在n個(gè)博弈方的博弈G=S1,Sn;U1,Un中，如果使用重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略方法排除了（S1*,Sn*）以外的所有策略組合，則（S1*,Sn*）一定是G的唯一的納什均衡。 首先，假設(shè)嚴(yán)格劣戰(zhàn)略已經(jīng)剔除了

19、除（S1*,Sn*）以外的所有策略組合，但（S1*,Sn*）卻不是一個(gè)納什均衡。表明至少存在某個(gè)博弈方i和他的某個(gè)策略空間Si中的策略si，使得ui(s1*,si-1*, si*, si+1*,. sn*)< ui(s1*,si-1*, si, si+1*,. sn*) （a） 但是，由于（S1*,Sn*）是經(jīng)過(guò)嚴(yán)格劣戰(zhàn)略反復(fù)剔除后唯一留下的策略組合，因此si必然屬于被嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除的戰(zhàn)略，即，在嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除過(guò)程中的某個(gè)階段，必然存在某個(gè)當(dāng)時(shí)還未被剔除的si/，使得ui(s1,si-1, si, si+1,. sn)< ui(s1,si-1, si/, si+1,. sn) （b

20、） 對(duì)由在此尚未被剔除的其他博弈方的策略構(gòu)成的所有可能的策略組合(s1*,si-1*, si*, si+1*,. sn*)都成立，即ui(s1*,si-1*, si, si+1*,. sn*)< ui(s1*,si-1*, si/, si+1*,. sn*) （c） 如果si/就是si*，即si*是相對(duì)于si的嚴(yán)格非劣戰(zhàn)略，則（a）和（c）相矛盾，從而（S1*,Sn*）不是納什均衡的假設(shè)不能成立，如果si/和si*不同，則si/在劣戰(zhàn)略的剔除過(guò)程中也必須被排除，可進(jìn)一步推論肯定在某階段存在si/是相對(duì)于si/的非劣戰(zhàn)略，用si/ 和si/分別替代si 和si/，（b）和（c）式仍然必須成

21、立，如果si/就是si*，則與上相同也證明了命題，否則再進(jìn)一步推論到類(lèi)似的si/的存在。由于最終只能有si*在嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔以后不被消除，且博弈方的策略是有限的，因此，不斷重復(fù)上述過(guò)程，總會(huì)找到某個(gè)si（n）就是si*，從而證實(shí)在假設(shè)下必然導(dǎo)致（b）和（c）的矛盾，進(jìn)而證明題目。子博弈精練納什均衡1用戰(zhàn)略式表示下圖的擴(kuò)展式博弈（Myerson書(shū)中習(xí)題2.4）12a2b2W1Y19，10/30，3W1Z120/3，16/32/3，4X1Y119/3，410/3，5X1Z14，64，62在市場(chǎng)進(jìn)入模型中，市場(chǎng)逆需求函數(shù)為p13-Q，進(jìn)入者和在位者生產(chǎn)的邊際成本都為1，固定成本為0，潛在進(jìn)入者的進(jìn)入成

22、本為4。博弈時(shí)序?yàn)椋涸谖徽呤紫葲Q定產(chǎn)量水平；潛在進(jìn)入者在觀察到在位者的產(chǎn)量水平之后決定是否進(jìn)入；如果不進(jìn)入，則博弈結(jié)束，如果進(jìn)入，則進(jìn)入者選擇產(chǎn)量水平。求解以上博弈精煉納什均衡。在市場(chǎng)進(jìn)入模型中，設(shè)在位者選擇產(chǎn)量，潛在進(jìn)入者產(chǎn)量為，如果潛在進(jìn)入者進(jìn)入，則最優(yōu)化為：。一階條件下，求得。在位者選擇產(chǎn)量，在潛在者進(jìn)入的情況下，其最優(yōu)化為。由一階條件可得，因此，。此時(shí)，。如果在位者設(shè)置壁壘，使得潛在進(jìn)入不進(jìn)入，即，代入，解得，此時(shí)，。因?yàn)椋栽谖徽邔⑦x擇產(chǎn)量8，即最后的精練子博弈納什均衡是在位者選擇產(chǎn)量8，潛在進(jìn)入者不進(jìn)入。3兩位投資者各自將D存在銀行，而銀行則將他們資金用于長(zhǎng)期投資。本博弈的規(guī)則如

23、下：在第一期，兩位投資者同時(shí)決定是否收回資金。如果任何投資者收回資金，則項(xiàng)目被迫清算，項(xiàng)目收益為2r。此時(shí)抽取資金投資者收益為D，而未抽回資金投資者收益為2rD；如果兩位投資者都抽回資金，則投資者收益都為r；如果兩者都未抽回資金，博弈進(jìn)入第二期。第二期項(xiàng)目成熟且項(xiàng)目收益為2R。此時(shí)如果兩投資者都抽回資金則收益為R；如果只有一位抽取資金，抽回資金投資者收益為2R-D，未抽回為D；如果兩者都不抽回資金則收益為R，假定R>D>r>D/2，求解子博弈精煉納什均衡。首先考慮第二期博弈，可以用如下戰(zhàn)略式來(lái)表示：抽不抽抽不抽用劃線法可知，若第一期不抽回，則第二期的均衡是（抽回，抽回）?？紤]

24、第一期的博弈，用戰(zhàn)略式表示如下：抽不抽抽不抽用劃線法可知存在兩個(gè)均衡（抽回，抽回）與（不抽回，不抽回）。因此，該博弈的子博弈精練納什均衡有兩個(gè)：（第一期抽回，第一期抽回）與（第一期不抽回第二期抽回，第一期不抽回第二期抽回）。4在囚徒困境中，“針?shù)h相對(duì)”戰(zhàn)略定義為：（1）每個(gè)參與人開(kāi)始選擇“抵賴”；（2）在t階段選擇對(duì)方在t-1的行動(dòng)。假定貼現(xiàn)因子1，證明以上戰(zhàn)略不是子博弈精煉納什均衡。假定兩囚徒博弈的戰(zhàn)略式表述如下：坦白抵賴坦白6，60，8抵賴8，01，1 給定針?shù)h相對(duì)戰(zhàn)略，如果參與人j堅(jiān)持針?shù)h相對(duì)戰(zhàn)略，參與人i沒(méi)有積極性首先坦白，因?yàn)槿绻x擇抵賴，他的支付是：，而若選擇坦白然后再轉(zhuǎn)向針?shù)h相

25、對(duì)戰(zhàn)略，則他的支付是：，前者嚴(yán)格大于后者。因此，在合作路徑上針?shù)h相對(duì)戰(zhàn)略是納什均衡。但是，如果參與人j首先選擇坦白，參與人i并沒(méi)有積極性懲罰他，因?yàn)槿绻麘土P，將得到的支付是，而如果原諒則可以連續(xù)得到1的支付；類(lèi)似的，參與人i也沒(méi)有積極性懲罰自己。所以在懲罰路徑上，針?shù)h相對(duì)戰(zhàn)略不是子博弈納什均衡。5如果以下重復(fù)博弈兩次，支付（4，4）是否能作為子博弈精煉納什均衡結(jié)果出現(xiàn)，請(qǐng)說(shuō)明理由。假定貼現(xiàn)因子1。S1S2LCRT3，10，05，0M2，11，23，1B1，20，14，4該靜態(tài)博弈有兩個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡（T，L）和（M，C），其支付均小于（B，R）帶給兩方的收益，因此，在兩次博弈中，雙方有可能選擇

26、（B，R）。由于對(duì)而言，（B，R）帶來(lái)的是最大收益，因此，他沒(méi)有偏離的動(dòng)機(jī)。然而仍可以選擇T戰(zhàn)略已獲得更高的收益，因此可以設(shè)置如下制約行為的觸發(fā)戰(zhàn)略：第一階段選擇B策略，第二階段選擇T策略；：第一階段選擇R策略；在第二階段，如果第一階段的結(jié)果是（B，R），則采取L，否則采取C。如此，由于從第一階段選擇B第二階段選擇T的戰(zhàn)略中獲得的收益為437大于第一階段偏離選擇T，第二階段選擇M的收益516，所以也沒(méi)有動(dòng)機(jī)偏離。因此，（B，R）將作為二階段博弈的子博弈精練納什均衡結(jié)果在第一階段出現(xiàn)。6考慮如下戰(zhàn)略式博弈重復(fù)兩次，在第二階段開(kāi)始時(shí)能夠觀察到第一階段的博弈結(jié)果，假定貼現(xiàn)因子是1，則x滿足什么條件的

27、情況下（4，4）可以作為第一階段博弈的均衡結(jié)果。S1S2X2Y2W2Z2X12，2x，01，00，0Y10，x4，41，00，0W10，00，00，30，0Z10，10，11，13，0考慮兩種情況，（1）若，則單階段博弈的納什均衡為，構(gòu)造如下戰(zhàn)略，若第一階段出現(xiàn)，則第二階段選擇；若第一階段偏離，選擇，則第二階段選擇；若第一階段偏離，選擇，則第二階段選擇。如此，對(duì)于與而言，第一階段出現(xiàn)的條件是，其總收益426將不小于他們?cè)诘谝浑A段選擇其他戰(zhàn)略下的收益x0x，即。即，在第一階段出現(xiàn)的條件是。（2）當(dāng)時(shí)，單階段的納什均衡為，則完全有可能在第一階段出現(xiàn)，因?yàn)榕c都沒(méi)有偏離的動(dòng)機(jī)。綜上，在第一階段出現(xiàn)的條

28、件是。7如下的雙寡頭市場(chǎng)戰(zhàn)略性投資模型：企業(yè)1和企業(yè)2目前的單位生產(chǎn)成本都c2。企業(yè)可以引進(jìn)一項(xiàng)新技術(shù)使單位生產(chǎn)成本降至c1，而該項(xiàng)技術(shù)需要的投資為f，企業(yè)2可以觀察到企業(yè)1的投資決策，在企業(yè)1做出是否投資的決策之后，兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量。在以上兩階段博弈中市場(chǎng)逆需求為p14-Q，問(wèn)f取什么值時(shí)，企業(yè)1將投資引進(jìn)新技術(shù)。若企業(yè)1引進(jìn)新技術(shù)，則雙方企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為 一階條件：，與。聯(lián)立可得。 這時(shí)企業(yè)1的利潤(rùn)為。 若企業(yè)1不引進(jìn)新技術(shù)，則雙方企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)為：一階條件：，與。聯(lián)立可得。此時(shí)企業(yè)1的利潤(rùn)為。因此，企業(yè)1引進(jìn)新技術(shù)的必要條件必須滿足，即。8考慮一個(gè)政策采納博弈，存在兩個(gè)參與人，政策建

29、議者與政策采納者。政策建議者首先剔除政策建議s1，并且s1R。政策采納者觀察到s1決定是否采用，如果采用則執(zhí)行政策s1，否則執(zhí)行s0。現(xiàn)在假定政策建議者效用函數(shù)是，而政策采納者的效用函數(shù)是，其中為執(zhí)行的政策，b為外生參數(shù)，表示兩者之間的利益沖突。問(wèn)以上博弈的精練納什均衡。對(duì)政策采納者而言，最優(yōu)化問(wèn)題是：，所以政策的采用者最有可能采用的是接近的。所以， 若 若對(duì)于政策建議者而言，最優(yōu)化問(wèn)題是：，因此，因此重點(diǎn)考慮的情況，有兩種：（1） 若，則，；（2） 若，則，。所以，若，子博弈納什均衡為，；若，子博弈納什均衡為，。9考慮一個(gè)承諾博弈，存在兩個(gè)參與人。參與人2首先行動(dòng)，選擇行動(dòng)，的取值范圍是。參

30、與人1觀察到參與人2的行動(dòng)，決定向參與人2轉(zhuǎn)移支付t，但是參與人1也可以事先確定支付規(guī)則。現(xiàn)在假定參與人2的效用函數(shù)為，參與人1的效用函數(shù)為，其中表示參與人采取行動(dòng)的成本，且時(shí)為0，時(shí)為1/2。（1）如果參與人1沒(méi)有承諾能力，可以隨意修改事先宣布的支付規(guī)則，則此時(shí)的子博弈精練納什均衡。（2）如果參與人1有承諾能力，只能按照事先確定的支付規(guī)則進(jìn)行支付，則此時(shí)的子博弈精練納什均衡。（1）若參與人1沒(méi)有承諾能力，則該博弈的行動(dòng)順序便為參與人2先行動(dòng)，而后參與人1再行動(dòng)。在這種情況下，t是可以隨便改變的。對(duì)于參與人1而言，其最優(yōu)化問(wèn)題為：，最大時(shí)，。對(duì)于參與人2而言，其最優(yōu)化問(wèn)題為：，把參與人1的最優(yōu)

31、條件代入可得：，最優(yōu)化得，此時(shí)，。所以該博弈的子博弈精練納什均衡為：，。（2）若參與人1有承諾能力，則它在最優(yōu)的情況下應(yīng)該支付以使得盡可能偏向1，由于，所以在取的情況下， 。當(dāng)時(shí)，。所以該博弈的子博弈精練納什均衡是：參與人1承諾，結(jié)果是， 。10考慮電力設(shè)備和一個(gè)發(fā)電廠之間的兩階段博弈，在第一階段設(shè)備廠決定是否投資以及投資多少；在第二階段，雙方?jīng)Q定是否交易以及在什么價(jià)格交易。在此以C代表設(shè)備的生產(chǎn)成本，V代表設(shè)備對(duì)電廠的價(jià)值，X代表投資額。假定C時(shí)X的遞減凸函數(shù)，V和X無(wú)關(guān)，VC（0）并且X時(shí)專用性投資，對(duì)于其他發(fā)電廠而言沒(méi)有任何價(jià)值，求下述情況下的精練納什均衡時(shí)的投資水平。（1）沒(méi)有事前合同

32、，雙方根據(jù)納什討價(jià)還價(jià)決定成交價(jià)格。（2）事前簽訂合同，規(guī)定設(shè)備廠有權(quán)單方面決定價(jià)格，發(fā)電廠只有接受或者拒絕的選擇。（3）事前簽訂合同，規(guī)定發(fā)電廠有權(quán)單方面決定價(jià)格，設(shè)備廠只有接受或者拒絕的選擇。（1）在沒(méi)有事前合同的情況下，納什討價(jià)還價(jià)解為每個(gè)參與人從中獲得剩余的1/2，即成交價(jià)格是。在這種情況下，投資應(yīng)該是：。（2）若設(shè)備廠有權(quán)單方面決定價(jià)格，則剩余肯定完全被設(shè)備廠獨(dú)享，即設(shè)備廠的利潤(rùn)為，而發(fā)電廠的利潤(rùn)為0。在這種情況下，投資應(yīng)該是：。（3）若發(fā)電廠有權(quán)單方面決定價(jià)格，則剩余肯定完全被發(fā)電廠獨(dú)享，即發(fā)電廠的利潤(rùn)為，而設(shè)備廠的利潤(rùn)為0。在這種情況下，投資應(yīng)該是：。11兩個(gè)廠商在市場(chǎng)進(jìn)行價(jià)格競(jìng)

33、爭(zhēng)，廠商1首先確定價(jià)格水平，廠商2在觀察廠商1的價(jià)格水平之后決定價(jià)格水平。廠商1和廠商2的產(chǎn)品是完全同質(zhì)的，且市場(chǎng)逆需求函數(shù)是P=a-Q，問(wèn)以下條件下的精煉納什均衡的價(jià)格： （1）如果廠商1和廠商2的生產(chǎn)成本函數(shù)為cq（c<a） （2）如果廠商1和廠商2的生產(chǎn)成本函數(shù)為q2/2（1）廠商2的最優(yōu)化問(wèn)題是： 0 所以；同理可得，所以子博弈精練納什均衡為。（2）廠商2的最優(yōu)價(jià)格戰(zhàn)略為：廠商2的最優(yōu)產(chǎn)量決策：，（），可得，（）。廠商2的利潤(rùn)。給定企業(yè)2最優(yōu)價(jià)格戰(zhàn)略，企業(yè)1的最優(yōu)價(jià)格戰(zhàn)略是：,（）。由一階條件可得或者另外，：（1）如果，則，當(dāng)時(shí)，也最大，這是不可能的；（2）如果，則，一階條件下可

34、求得。所以子博弈精練納什均衡為。12在霍特林價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型中，兩個(gè)廠商的生產(chǎn)邊際成本都是c，運(yùn)輸成本參數(shù)為t。博弈進(jìn)行兩期，在第一階段兩個(gè)廠商同時(shí)在線性城市上選擇自己的位置；第二階段在觀察到兩者位置后選擇自己的價(jià)格。（1）如果運(yùn)輸成本為線性函數(shù)，證明以上博弈不存在純戰(zhàn)略精煉納什均衡（2）如果運(yùn)輸成本為二次型函數(shù)（運(yùn)輸成本為tx2），證明以上博弈的精煉納什均衡的結(jié)果是兩個(gè)廠商位于城市兩端。（1）假設(shè)運(yùn)輸成本為線性函數(shù)；并假設(shè)廠商1和廠商2的價(jià)格分別為p1和p2，則：x點(diǎn)到廠商1和廠商2購(gòu)買(mǎi)的最終支付成本相等，即滿足：，可得：。廠商1和廠商2的最優(yōu)價(jià)格應(yīng)該滿足：，。求一階條件可得：，。因此，因此，不

35、符合實(shí)際。因此不存在純戰(zhàn)略精練納什均衡。 （2）運(yùn)輸成本為二次型函數(shù)，設(shè)為tx2；并假設(shè)廠商1和廠商2的價(jià)格分別為p1和p2，則：x點(diǎn)到廠商1和廠商2購(gòu)買(mǎi)的最終支付成本相等，即滿足：，可得：。廠商1和廠商2的最優(yōu)價(jià)格應(yīng)該滿足：，。求一階條件可得：，。給定最優(yōu)價(jià)格，讓我們確定最優(yōu)位置。將p1和p2分別代入利潤(rùn)函數(shù)中可得，。因此， 根據(jù)上述條件可知，只要，廠商間的利潤(rùn)將不對(duì)稱，這時(shí)廠商必然將對(duì)其位置進(jìn)行調(diào)以使得利潤(rùn)相等，最終調(diào)整的結(jié)果一定是使得，顯然，當(dāng)時(shí)，雙方的利潤(rùn)要大于的結(jié)果，因此最終的精煉納什均衡必然使得，即廠商位于城市的兩端。13考慮兩個(gè)國(guó)家的關(guān)稅模型，每個(gè)要家只有一家企業(yè)，其單位生產(chǎn)成本

36、都為c，每個(gè)國(guó)家市場(chǎng)逆需求函數(shù)為。博弈時(shí)序如下。第一階段兩個(gè)國(guó)家政府同時(shí)選擇稅收水平ti；第二階段兩個(gè)國(guó)家的企業(yè)在觀察稅收水平ti之后，同時(shí)選擇產(chǎn)量水平以及供應(yīng)本國(guó)市場(chǎng)產(chǎn)量hi和出口ei。假定兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品完全同質(zhì)，以上博弈的子博弈精煉納什均衡結(jié)果。給定關(guān)稅水平，則兩企業(yè)的最優(yōu)為。企業(yè)i的利潤(rùn)最大化可拆分為在國(guó)內(nèi)與國(guó)內(nèi)兩個(gè)市場(chǎng)上的利潤(rùn)最大化，即國(guó)內(nèi)市場(chǎng)產(chǎn)量滿足：，國(guó)際市場(chǎng)上的出口量滿足：。假設(shè)：，則可得，。同理可得與，如此解得：。下面給定企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量水平，求解最優(yōu)關(guān)稅水平。此時(shí)，對(duì)于國(guó)家i而言要實(shí)現(xiàn)其福利水平最大化，則要求實(shí)現(xiàn)居民消費(fèi)者剩余、企業(yè)利潤(rùn)和關(guān)稅收入總和的最大化，即，（）。即：。

37、解一階條件得。由此可得子博弈精煉均衡為（）。 14在三寡頭的市場(chǎng)中，市場(chǎng)的逆需求函數(shù)，每家企業(yè)的不變邊際成本為c，固定成本為0。如果企業(yè)1首先選擇產(chǎn)量，企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè)1的產(chǎn)量后同時(shí)選擇產(chǎn)量，則均衡時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格。（1）給定企業(yè)1產(chǎn)量，求解企業(yè)2和企業(yè)3同時(shí)選擇產(chǎn)量時(shí)的價(jià)格。我們有三家企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)：，。求解企業(yè)2與企業(yè)3的一階條件，有，。可得。 給定企業(yè)2與企業(yè)3的產(chǎn)量，企業(yè)1的最優(yōu)滿足：，得到。所以，均衡時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為：。（2）給定企業(yè)1的價(jià)格為，企業(yè)2與企業(yè)3的最優(yōu)滿足： 若 0 若所以，。給定企業(yè)2與企業(yè)3的選擇，企業(yè)1的最優(yōu)滿足： 若 0 若 因此，若，則，；若，不生產(chǎn)，可見(jiàn)企

38、業(yè)1的最優(yōu)選擇是。因此，最優(yōu)的子博弈精練納什均衡是：。15考慮兩個(gè)工人之間的錦標(biāo)賽。每個(gè)工人的生產(chǎn)函數(shù)，其中表示產(chǎn)量，表示努力水平，表示隨機(jī)干擾項(xiàng)。博弈時(shí)序如下：第一階段，企業(yè)指定錦標(biāo)賽中贏者工資和輸者；第二階段工人觀察工資的規(guī)則后同時(shí)選擇努力水平；第三階段產(chǎn)量得以實(shí)現(xiàn)，工資支付。企業(yè)為風(fēng)險(xiǎn)中性，工人的效用的函數(shù)，工人的保留效用為0。是服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，和獨(dú)立。問(wèn)在對(duì)稱均衡時(shí)，和為多少。假定工資水平已定，贏者的工資為，輸者工資為，則工人努力下的最優(yōu)收益滿足：求一階條件可得：。由于，考慮對(duì)稱均衡，則一階條件可以化為：。給定工人的最優(yōu)選擇，企業(yè)的最優(yōu)選擇滿足：，由于在對(duì)稱均衡的情況下

39、，每個(gè)工人獲勝的概率是1/2，所以，該最優(yōu)存在約束條件：。特別的，在最優(yōu)的情況下，等號(hào)成立，因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，一階條件為。代入工人的一階條件，可得，聯(lián)立企業(yè)最優(yōu)的約束條件可得。16有n個(gè)完全相同且每個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為cq，市場(chǎng)需求Q=a-p，假定博弈重復(fù)無(wú)窮次，每次每個(gè)企業(yè)的定價(jià)和產(chǎn)量都能被下一階段所有企業(yè)觀察到，每個(gè)企業(yè)都使用“觸發(fā)戰(zhàn)略”。假定每個(gè)企業(yè)的貼現(xiàn)因子都相同，問(wèn)在以下條件下，壟斷價(jià)格作為子博弈精煉納什均衡結(jié)果出現(xiàn)的最低貼現(xiàn)因子：（1）如果每個(gè)階段企業(yè)之間進(jìn)行古諾博弈，則最低貼現(xiàn)因子。（2）如果每個(gè)階段企業(yè)之間進(jìn)行伯川德博弈，則最低貼現(xiàn)因子。（1）由于古諾博弈的階段均衡是，此時(shí)的利潤(rùn)

40、為；若各家企業(yè)合作壟斷市場(chǎng)，則此時(shí)的最優(yōu)產(chǎn)量是，可求得，此時(shí)的利潤(rùn)為，此時(shí)若有企業(yè)i背叛，其產(chǎn)量就是，其收益為。下面我們來(lái)看重復(fù)博弈下的古諾博弈。在這個(gè)博弈中，有兩個(gè)博弈路徑，我們分別進(jìn)行討論。首先，在懲罰路徑上，由于每個(gè)階段參與企業(yè)選擇的都是最優(yōu)的產(chǎn)量，因此能夠獲得最優(yōu)的收益，因此是均衡的。其次，在合作路徑上，只要合作的收益大于背叛的收益，則均衡也是可以實(shí)現(xiàn)的，這要求：，解得。（2）伯川德博弈的階段均衡是，此時(shí)參與者的利潤(rùn)均為0。若各企業(yè)合作，則此時(shí)的最優(yōu)價(jià)格是：，此時(shí)，則，利潤(rùn)為。而若有企業(yè)i背叛，則其選擇價(jià)格，其產(chǎn)量為Q，利潤(rùn)為。下面我們來(lái)看重復(fù)博弈下的伯川德博弈，在這個(gè)博弈中，也有兩個(gè)

41、博弈路徑，我們分別討論如下：首先在懲罰路徑上，由于每個(gè)階段的企業(yè)選擇都是眼前最優(yōu)，因此，它能夠?qū)崿F(xiàn)均衡。其次，在合作路徑上，只要合作的收益大于背叛的收益，則均衡也是可以實(shí)現(xiàn)的，這就要求：，求得。（3）伯川德博弈中的最低貼現(xiàn)因子小于古諾博弈中的貼現(xiàn)因子的原因在于其懲罰要嚴(yán)重的多，因此其對(duì)于耐心的要求也就要相對(duì)較小。貝葉斯均衡1海薩尼（1968）認(rèn)為博弈參與人關(guān)于博弈結(jié)構(gòu)的不確定性總是可以歸為三類(lèi)不確定性：a.參與人關(guān)于其他參與人戰(zhàn)略空間的不確定性；b.參與人關(guān)于博弈結(jié)果的不確定性，或者說(shuō)從戰(zhàn)略組合SY之間映射的不確定性；參與人關(guān)于其他參與人從某個(gè)博弈結(jié)果得到效用的不確定性，或者說(shuō)從結(jié)果YV的效用

42、空間的不確定性。（1）證明關(guān)于某個(gè)參與人是否參與博弈可以歸結(jié)為以上不確定性。（2）證明參與人關(guān)于某個(gè)參與人是否知道某個(gè)消息的不確定性可以歸結(jié)為以上三類(lèi)不確定性。（3）證明以上三類(lèi)不確定性都可以歸結(jié)為對(duì)參與人效用函數(shù)的不確定性，即對(duì)于從戰(zhàn)略組合到參與人的效用空間的映射的不確定性。（1）某個(gè)參與人是否參與博弈可以看成其戰(zhàn)略空間的不確定性，因?yàn)?，如果一個(gè)參與人沒(méi)有參與博弈可以看成其選用的戰(zhàn)略是不在博弈的戰(zhàn)略空間中的。（2）某個(gè)參與人i不知道參與人j是否知道某個(gè)具體事件e是否發(fā)生往往可以看成是戰(zhàn)略空間的不確定性，即參與人i可能不知道參與人j的戰(zhàn)略空間。究其原因，從博弈論的角度看，此類(lèi)情形的關(guān)鍵事實(shí)是參

43、與人i不能判定，參與人j是采用當(dāng)事件e確定發(fā)生時(shí)所用的包含一組行動(dòng)的戰(zhàn)略，還是采用當(dāng)事件e不發(fā)生時(shí)所用的包含另一組行動(dòng)的戰(zhàn)略。這就是說(shuō)，這種情況本質(zhì)上等同于參與人i不知道相關(guān)戰(zhàn)略對(duì)參與人j的可行性。（3）首先，我們看第二種情況，它可以轉(zhuǎn)化成效用函數(shù)的不確定性。很簡(jiǎn)單，這是因?yàn)橹Ц侗旧砭褪遣┺慕Y(jié)果的函數(shù)，所以博弈結(jié)果的不確定性肯定可以轉(zhuǎn)化為支付函數(shù)的不確定性。接著，我來(lái)看第一種情況下，戰(zhàn)略空間的不確定性也可以轉(zhuǎn)化為效用函數(shù)的不確定性。因?yàn)?，從博弈論的角度看，一個(gè)戰(zhàn)略對(duì)參與人i不可行的假設(shè)等價(jià)于參與人i從來(lái)不會(huì)實(shí)際采用該戰(zhàn)略（即使該戰(zhàn)略是實(shí)際可行的）。因?yàn)?，無(wú)論其他參與人可能采用什么樣的戰(zhàn)略，參與

44、人i如采用戰(zhàn)略總會(huì)得到非常低（如）的支付。所以，所有的不確定性都可以歸結(jié)為對(duì)參與人效用函數(shù)的不確定性。 2考慮如下貝葉斯博弈：（1）自然決定支付矩陣（a）或（b），概率分別為u和1-u；（2）參與人1知道自然的選擇，即知道自然選擇支付矩陣（a）或（b），但是參與人2不知道自然的選擇；（3）參與人1和參與人2同時(shí)行動(dòng)。給出這個(gè)博弈的擴(kuò)展式表述并求純戰(zhàn)略貝葉斯均衡。 表3.1.aS1S2LRT1，10，0B0，00，0表3.1.bS1S2LRT0，00，0B0，02，2 在該博弈中，S1的戰(zhàn)略是私人信息類(lèi)型的函數(shù)，當(dāng)自然選擇a時(shí)，S1選擇T，當(dāng)自然選擇b時(shí)，S1選擇B。S2的戰(zhàn)略則根據(jù)期望利益最大

45、化進(jìn)行決定。S2選擇L的期望收益是u×1（1u）×0u，選擇R的期望收益是u×0（1u）×222u。由兩種戰(zhàn)略的無(wú)差異可得u2/3。所以當(dāng)u>2/3時(shí)，S2選擇L，當(dāng)u<2/3時(shí)，S2選擇R。因此該博弈的純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡是：S1在自然選擇a時(shí)，選擇T，在自然選擇b時(shí)，選擇B；S2在u>2/3時(shí)，選擇L，在u<2/3時(shí)，選擇R。3考慮如下擾動(dòng)的性別戰(zhàn)略博弈，其中ti服從0，1的均勻分布，,t1和t2是獨(dú)立的，ti是參與人i的私人信息。（1）求出以上博弈所有純戰(zhàn)略貝葉斯均衡 （2）證明當(dāng)時(shí)，以上貝葉斯均衡和完全信息的混合戰(zhàn)略納什均

46、衡相同 S1S2足球芭蕾足球3+，1，芭蕾0，01，3+構(gòu)造一個(gè)貝葉斯均衡：存在一個(gè)t1*0，1和一個(gè)t2*0，1。如果t1t1*，男的將選擇足球賽；如果t2t2*，女的將選擇芭蕾舞。因此，男的選擇足球的概率是（1t1*），女的選擇芭蕾的概率是（1t2*）?，F(xiàn)在我們來(lái)求解t1*和t2*。給定男的戰(zhàn)略，女的選擇足球和芭蕾的期望效用分別為：（1t1*）×1t1*×0（1t1*）與（1t1*）×t2t1*×（3t2）（3t1*t2）。因此t2*滿足：（1t1*）（3t1*t2*）。因?yàn)椴┺氖菍?duì)稱的，在均衡的情況下，t1*t2*，解上述條件可得：t*1/（4)。

47、因此，貝葉斯均衡是：（1）男參與人：如果t1t*，男的將選擇足球賽，否則選擇芭蕾；如果t2t*，女的將選擇芭蕾舞，否則選擇足球。給定不完全信息，男方認(rèn)為女方選擇芭蕾的概率和女方認(rèn)為男方選擇足球的概率為：11/（4)。當(dāng)0時(shí)，上述概率收斂于3/4，即在完全信息下的混合戰(zhàn)略的概率：男的以3/4的概率選擇足球，女的以3/4的概率選擇芭蕾。4考慮如下戰(zhàn)略式博弈的均衡，存在的唯一均衡就是每個(gè)參與人i都以1/2的概率選擇H。利用海薩尼純化定理，構(gòu)造一個(gè)擾動(dòng)的不完全信息博弈，其純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡收斂于以下完全信息的混合戰(zhàn)略均衡。S1S2HTH1，11， 1T1， 11，1假設(shè)的私人信息為，的私人信息為，。

48、則該博弈的戰(zhàn)略式描述變?yōu)椋篐THT假定當(dāng)時(shí)，選擇H；當(dāng)時(shí)，選擇T。因此，選擇H的概率是，選擇T的概率是；選擇H的概率是，選擇T的概率是。對(duì)于而言，選擇H與T的期望收益分別為：與，由此可得在時(shí)，會(huì)選擇H。同理，在時(shí)，會(huì)選擇T。由上述兩個(gè)結(jié)論聯(lián)立，并考慮的對(duì)稱均衡可得，因此，可得，在時(shí)，。由于，所以，因此該博弈的純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡收斂于其完全信息下的混合戰(zhàn)略均衡。5在私人價(jià)值的一級(jí)價(jià)格拍賣(mài)中是貝葉斯納什均衡我，其中bi是參與人i的叫價(jià)，vi是參與人i的類(lèi)型。利用顯示原理構(gòu)造一個(gè)直接機(jī)制，其均衡結(jié)果與以上均衡完全相同。構(gòu)造一規(guī)則如下： 1 0 0 則要證明的就是是貝葉斯納什均衡，也就是說(shuō)給定其他人

49、如實(shí)報(bào)價(jià)i是否需要如實(shí)報(bào)價(jià)。由于效用函數(shù)是：。一階條件是：，可求得：，即構(gòu)造的直接機(jī)制下的貝葉斯納什均衡結(jié)果與原均衡相同。6兩個(gè)企業(yè)同時(shí)決定是否進(jìn)入一個(gè)市場(chǎng)，企業(yè)i的進(jìn)入成本是私人信息，是服從分布函數(shù)的隨機(jī)變量以及分布密度嚴(yán)格大于零，并且和兩者獨(dú)立。如果只有一個(gè)企業(yè)進(jìn)入，進(jìn)入企業(yè)i的利潤(rùn)函數(shù)；如果兩個(gè)企業(yè)都進(jìn)入，則企業(yè)i的利潤(rùn)函數(shù)為；如果沒(méi)有企業(yè)進(jìn)入，利潤(rùn)為零。假定和是共同知識(shí)，且>>0，計(jì)算貝葉斯均衡并證明均衡是唯一的。根據(jù)問(wèn)題的假設(shè)，可構(gòu)造博弈的支付矩陣如下：企業(yè)1企業(yè)2進(jìn)入不進(jìn)入進(jìn)入，0不進(jìn)入0，0，0假設(shè)企業(yè)1采用如下戰(zhàn)略：當(dāng)時(shí)采用進(jìn)入戰(zhàn)略，當(dāng)時(shí)采用不進(jìn)入戰(zhàn)略。假設(shè)企業(yè)2采

50、用如下戰(zhàn)略：當(dāng)時(shí)采用進(jìn) 入戰(zhàn)略，當(dāng)時(shí)采用不進(jìn)入戰(zhàn)略。因此企業(yè)1采用進(jìn)入戰(zhàn)略的概率是P（），不進(jìn)入的戰(zhàn)略的概率是1P（）；企業(yè)2采用進(jìn)入戰(zhàn)略的概率是P（），不進(jìn)入戰(zhàn)略的概率是1P（）。從企業(yè)1的角度看，選擇進(jìn)入與不進(jìn)入的期望收益分別是：與，所以企業(yè)1選擇進(jìn)入的條件是：，因此，可得同理可得：。從已知的分布函數(shù)及上述兩個(gè)條件式當(dāng)可以解得與，如此可得該博弈的貝葉斯納什均衡。7考慮如下結(jié)構(gòu)的古諾博弈。市場(chǎng)逆需求函數(shù)，兩個(gè)企業(yè)成本函數(shù)；市場(chǎng)需求是不確定的，的概率為，的概率為；企業(yè)1知道a的確切取值，企業(yè)2不知道，但是知道a的概率分布?，F(xiàn)在假定兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量水平，并且以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識(shí)，求解以上博

51、弈的貝葉斯納什均衡。設(shè)企業(yè)1在時(shí)的產(chǎn)量是，在時(shí)的產(chǎn)量是，企業(yè)2的產(chǎn)量是，則兩企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)分別為：通過(guò)一階條件可得：解得：因此，本博弈的貝葉斯均衡是，當(dāng)時(shí)，企業(yè)1生產(chǎn)上述，當(dāng)時(shí)，企業(yè)1生產(chǎn)上述；而企業(yè)2的產(chǎn)量都是上述。8考慮如下非對(duì)稱信息的產(chǎn)品差異化的伯川德博弈：企業(yè)i的市場(chǎng)需求，兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)成本都為零；b1取值是bH或bL且bH>bL>0，且b1=bH的概率為，而；b1是企業(yè)1的私人信息，b2是共同信息。現(xiàn)假定兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇價(jià)格，以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識(shí)，求解以上博弈的貝葉斯納什均衡。假設(shè)當(dāng)b1取值是bH時(shí)企業(yè)1的價(jià)格為p1H，b1取值是bL時(shí)企業(yè)1的價(jià)格為p1L，企業(yè)2的價(jià)格為

52、p2。 企業(yè)1和企業(yè)2的利潤(rùn)函數(shù)分別為 可求得反應(yīng)函數(shù)為： 解得廠商1的策略為： 廠商2的策略為： 將代入p2即可得結(jié)果。因此，本博弈的貝葉斯納什均衡是：當(dāng)時(shí)，廠商1價(jià)格為，時(shí)廠商1價(jià)格為，廠商2的價(jià)格只有上述9考慮兩個(gè)參與人的公共物品供給模型。參與人1和2同時(shí)決定是否提供某項(xiàng)公共物品，提供公共物品是01決策。如果一個(gè)參與人i已經(jīng)提供公共物品，則每個(gè)參與人j都可以得到效用1。參與人i提供公共物品成本ci都是定義域在，分布函數(shù)為F(.)，而且提供成本是參與人私人信息。（1）如果成本服從0，2均勻分布，求解其對(duì)稱均衡。（2）證明如果滿足條件，證明以上博弈存在非對(duì)稱均衡。（1）假設(shè)S1采取以下戰(zhàn)略：

53、當(dāng)時(shí)，提供，反之不提供；S2采用以下戰(zhàn)略：當(dāng)時(shí)提供，反之不提供。由于成本服從0，2的均勻分布，所以S1提供的概率是，不提供的概率是；S2提供的概率是，不提供的概率是。對(duì)于S1來(lái)說(shuō)，選擇提供與不提供的期望收益分別為：與。因此，S1的提供條件是：，即：。同理可得：S2的提供條件是：，即。所以，該博弈的對(duì)稱均衡解為：。（2）考慮這樣一個(gè)均衡：S1從來(lái)不提供，。S1選擇不提供是因?yàn)樗淖钚〕杀境鏊麖脑黾庸┙o中得到的收益，對(duì)于所有的 S2都選擇提供，這是因?yàn)槿绻惶峁?，則肯定不會(huì)有公共品供給，在這個(gè)時(shí)候他提供要比不提供好。所以如果條件滿足，以上博弈就存在非對(duì)稱均衡。10在n人參與的私人價(jià)值拍賣(mài)，參與人的類(lèi)型Vi都服從0，M