2017年上海春考數(shù)學(xué)試卷

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2017年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試卷一填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.設(shè)集合,集合,則.2.不等式的解集為。3.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則。4.若，則。5.若關(guān)于、的方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)。6.若等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則=。7.若、是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為。8.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則。9.若的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為729，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為。10.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在該橢圓上，則使得是等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是。11.設(shè)為的一個(gè)排列，則滿足的不同排列

2、的個(gè)數(shù)為。12.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為。二、選擇題13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。(A)(B)(C)(D)14.設(shè)，“”是“”的（）。(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件15.過(guò)正方體中心（即到正方體的八個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)）的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（）。(A)三角形(B)長(zhǎng)方形(C)對(duì)角線不相等的菱形(D)六邊形16.如圖所示，正八邊形的邊長(zhǎng)為.若為該正八邊形上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）(A)(B)(C)(D)三、解答題17.如圖，長(zhǎng)方體中，,.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.18.設(shè)

3、,函數(shù).（1）求的值，使得為奇函數(shù)；（2）若對(duì)任意成立，求的取值范圍.19.某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道、（寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知，（單位：米），要求圓與、分別相切于點(diǎn)、，圓與、分別相切于點(diǎn)、.（1）若，圓和圓的半徑（結(jié)果精確到0.1米）；（2）若觀景步道與的造價(jià)分別為每米千元與每米千元。如何設(shè)計(jì)圓、的大小，使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？（結(jié)果精確到0.1千元）。20.已知雙曲線：（），直線：（），與交于、兩點(diǎn)，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).（1）若點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；（2）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求的值；（3）若，求關(guān)于的表達(dá)式。21.已知函數(shù)（1）解方程；（2）設(shè)，證

4、明：且;（3）設(shè)數(shù)列中，,求的取值范圍，使得對(duì)任意成立.2017年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試卷一填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.設(shè)集合,集合,則.【知識(shí)點(diǎn)】集合的運(yùn)算【解】，故.2.不等式的解集為。【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法【解】，故原不等式的解集為。3.若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則?！局R(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念、運(yùn)算【解】，故。4.若，則。【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【解】，故.5.若關(guān)于、的方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)】線性方程組解的判定【解】方程組無(wú)解直線：與直線：互相平行，所以，解得。6.若等差數(shù)列

5、的前項(xiàng)的和為，則=?！局R(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前項(xiàng)和，等差中項(xiàng)【解】由得，所以，故.7.若、是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為?！局R(shí)點(diǎn)】圓的一般方程，圓的性質(zhì)【解】由得，所以半徑，故的最大值為2.8.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則?！局R(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列極限【解】由得首項(xiàng)，公比，所以，故9.若的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為729，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為?！局R(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【解】令，則，解得；所以展開(kāi)式的通項(xiàng)令，則,故所求的常數(shù)項(xiàng)為160.10.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在該橢圓上，則使得是等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是?！局R(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，分類討論思想【解】由得，所以，故且.（1）若點(diǎn)位于橢

6、圓的短軸的端點(diǎn)處，是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)有兩個(gè)；（2）若點(diǎn)在橢圓上，則；.，所以,故以為兩腰、為底邊構(gòu)成等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)有兩個(gè)；同理以為兩腰、為底邊構(gòu)成等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)有兩個(gè)；綜上（1）（2）滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6個(gè)。11.設(shè)為的一個(gè)排列，則滿足的不同排列的個(gè)數(shù)為。【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合【解】根據(jù)題意可知，若；，且，則即的最小值為1，當(dāng)時(shí)，只有，所以在與中選出一個(gè)，在與中選出一個(gè)，在與中選出一個(gè)，然后將選出的三個(gè)元素全排列，故不同排列的總數(shù)為.12.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為?！局R(shí)點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)的綜合，不等式的基本性質(zhì)【解】方法1令函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)分別為、,且

7、，所以、，故、（*）令，則，即（）（*）故、是（*）的解，所以于是由（*）可知，即。方法2由于函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則必有。且，即，此時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）令，即記，則函數(shù)在區(qū)間上與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。由于，再令得（1）若，則，則可行域?yàn)?，其端點(diǎn)分別為、。所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。此時(shí)；（2）若，則，則，即，所以，此時(shí)；（3）若，則，則，可行域?yàn)槠涠它c(diǎn)分別為、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，；綜上（1）（2）（3）可得，即的取值范圍是.方法3令，則故“函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)”等價(jià)于“關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的根?！庇?，對(duì)稱軸為，則其圖像在區(qū)間上與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，需滿

8、足條件：可行域端點(diǎn)為、，故當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，即的取值范圍是.方法4要使得函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，必有，否則不成立。還需滿足如下條件：，以下解法同上。二、選擇題13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。(A)(B)(C)(D)【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性【解】函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線，且該拋物線的開(kāi)口向上，所以該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故正確選項(xiàng)為B.14.設(shè)，“”是“”的（）。(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)既非充分又非必要條件【知識(shí)點(diǎn)】分式不等式的解法，充要條件【解】,所以是成立的充要條件.故正確選項(xiàng)為C.15.過(guò)正方體中心（即到正方體的八個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)）的平面截正方體

9、所得的截面中，不可能的圖形是（）。(A)三角形(B)長(zhǎng)方形(C)對(duì)角線不相等的菱形(D)六邊形【知識(shí)點(diǎn)】平面的性質(zhì)、截面【解】不可能是三角形，故正確選項(xiàng)為A16.如圖所示，正八邊形的邊長(zhǎng)為.若為該正八邊形上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）(A)(B)(C)(D)【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積【解】，當(dāng)點(diǎn)在處，取最小值，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在處，取最大值，.所以的取值范圍是，故正確答案為B三、解答題17.如圖，長(zhǎng)方體中，,.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.【知識(shí)點(diǎn)】椎體的體積，異面直線所成的角【解】（1）四棱錐的底面為正方形,其面積;由于底面,所以是四棱錐的高，故，于是.（2）由于,所以或其補(bǔ)

10、角即為異面直線與所成角。在三角形中，,由余弦定理可得，,所以，即，故異面直線與所成角的大小為.18.設(shè),函數(shù).（1）求的值，使得為奇函數(shù)；（2）若對(duì)任意成立，求的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想【解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，由于為奇函數(shù)，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù),均有成立即對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立,所以于是,即,所以.（2），由于，故若，則，不等式恒成立；若，則，因?yàn)椋?，解得；若，則，此時(shí)不等式不是恒成立。綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是。19.某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道、（寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知，（單位：米），要求圓與、分別相切于點(diǎn)、，圓與、分別相切于點(diǎn)、.（1）若，

11、求圓和圓的半徑（結(jié)果精確到0.1米）；（2）若觀景步道與的造價(jià)分別為每米千元與每米千元。如何設(shè)計(jì)圓、的大小，使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？（結(jié)果精確到0.1千元）?！局R(shí)點(diǎn)】三角比，建立函數(shù)關(guān)系式，基本不等式【解】（1）已知，得圓的半徑為（米）。又,得圓的半徑為（米）。（2）設(shè)圓和圓的半徑分別為和，由于,得，故，因此，觀景步道的總造價(jià)為（千元）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)半徑答：當(dāng)觀景步道和的半徑分別設(shè)計(jì)為米和米時(shí)，總造價(jià)最低，且最低總造價(jià)約為千元。20.已知雙曲線：（），直線：（），與交于、兩點(diǎn)，為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).（1）若點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；（2）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求的值；（3）若，求關(guān)于的表達(dá)式?！局R(shí)點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系【解】（1）根據(jù)已知條件，可得，所以,故的方程為，其漸近線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，的方程為，點(diǎn)設(shè)，由得，解得又由點(diǎn)在上，解得，故直線的斜率.（3）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)由得，由已知可得，且所以（*），又，故直線的方程為由點(diǎn)在直線上，得（*）將（*）代入（*）得，即.21.已知函數(shù)（1）解方程；（2）設(shè)，證明：且;（3）設(shè)數(shù)列中，,求的取值范圍，使得對(duì)任意成立.【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)方程的解法，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想【解】（1）由得，所以，解得，經(jīng)