shearlet剪切波的構(gòu)造

1、 剪切波的構(gòu)造Shearlet是一類新的多尺度幾何分析方法，該方法通過對基本函數(shù)的膨脹、剪切和平移變換來構(gòu)造，體現(xiàn)了函數(shù)的幾何和數(shù)學(xué)特性，如近幾年來許多領(lǐng)域的研究學(xué)者所強(qiáng)調(diào)的函數(shù)的方向性、尺度和振蕩等。Shearlet可以在廣義多分辨率分析的框架中研究，這樣就可以獲得像小波一樣的迭代算法，并推廣到經(jīng)典的級聯(lián)算法。因此Shearlet變換作為一種新型的多尺度幾何分析工具為圖像處理領(lǐng)域的研究人員所廣泛接受。1、 Shearlet及其變換的定義函數(shù)f(x)的連續(xù)Shearlet變換為： （1.1）其中， （1.2）為剪切波函數(shù)，為尺度參數(shù)，為剪切參數(shù)，為平移參數(shù)，是各向異性膨脹矩陣， 是剪切矩陣。對

2、任何，令滿足 （1.3）其中，為的傅里葉變換，為連續(xù)小波函數(shù)，為bump函數(shù)，在區(qū)間上且。由以上定義可得的傅里葉變換為顯然，剪切波的幾何性質(zhì)在頻域上更為直觀。由和的支撐條件很容易看到有如下的頻域支撐：由上式可知，在不同尺度，支撐在以原點(diǎn)對稱、以s為斜率的梯形對上；改變剪切參數(shù)s， 支撐區(qū)域可獲得保持面積不變的旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)區(qū)域由尺度參數(shù)a控制，隨著a0，支撐區(qū)間逐漸變窄。圖1.1給出了時(shí)的頻域支撐。圖1.1 不同a和s值時(shí)的頻域支撐連續(xù)剪切波變換的平移參數(shù)可檢測到所有奇異點(diǎn)的位置，而剪切參數(shù)則可顯示出奇異曲線的方向。2、 Shearlet的離散化為了實(shí)現(xiàn)剪切波的離散化，令尺度參數(shù)，剪切參數(shù)，以及平

3、移參數(shù)。假定 （2.1）和 （2.2）由式（2.1）和式（2.2）可知：對任何，有其中，如圖2.1（a）所示，即函數(shù)形成的一個(gè)剖分，如圖2.1（b）所示。由以上的討論，可知集合是得一個(gè)緊框架。其中， ，由圖2.1（b）可以看出，剪切波的每個(gè)元素支撐在梯形對上，每一個(gè)梯形包含在一個(gè)大小近似為的盒子里，方向沿著斜率為的直線。圖2.1（a）水平錐和垂直錐 （b） 剪切波的頻域剖分圖同樣可以構(gòu)造一個(gè)的緊框架，其中，是垂直錐。由下式給定 （2.3）則集合是的一個(gè)緊框架。其中， ， 。最后，令滿足：對任何，有上式暗含，且=1。因此剪切波集合為 3、 剪切波的主要性質(zhì)從上述可以看出，剪切波具有以下良好特性：（1） 剪切波具有非常好的局部化特性。在上述剪切波的構(gòu)造中，剪切波在頻域內(nèi)是緊支撐的，并且在空域內(nèi)具有快速的衰減特性。（2） 剪切波滿足拋物線尺度化特性。每一個(gè)元素支撐在一個(gè)梯形對上，且每個(gè)梯形對包含在一個(gè)大小近似為的盒子內(nèi)，如圖2.1（b）所示。這是因?yàn)榧羟胁ň哂蟹浅：玫木植炕匦裕诳沼騼?nèi)每個(gè)本質(zhì)上支撐在一個(gè)大小為的盒子里面。當(dāng)時(shí)，元素的支撐區(qū)間會(huì)逐漸變窄。（3） 剪切波體現(xiàn)了非常高的方向敏感性。元素的方向是沿著斜率為的直線。相應(yīng)的元素的方向是沿著斜率為的直線，并且方向的數(shù)目隨著尺度的不斷細(xì)化而逐層加倍。（4）