4183概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(經(jīng)管類)VIP

1、本章概述內(nèi)容簡(jiǎn)介本章是概率論的基礎(chǔ)部分，所有內(nèi)容圍繞隨機(jī)事件和概率展開，重點(diǎn)內(nèi)容包括：隨機(jī)事件的概念、關(guān)系及運(yùn)算，概率的性質(zhì)，條件概率與乘法公式，事件的獨(dú)立性。考情分析2007年4月2007年7月2007年10月單項(xiàng)選擇題2題4分3題6分2題4分填空題4題8分4題8分4題8分計(jì)算題1題8分1題8分合計(jì)7題20分8題22分6題12分內(nèi)容講解§1.1 隨機(jī)事件 1.隨機(jī)現(xiàn)象：確定現(xiàn)象：太陽從東方升起，重感冒會(huì)發(fā)燒等；不確定現(xiàn)象：隨機(jī)現(xiàn)象：相同條件下擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：在裝有紅、白球的口袋里摸某種球出現(xiàn)的可能性等；其他不確定現(xiàn)象：在某人群中找到的一個(gè)人是否漂亮等。結(jié)論：隨機(jī)現(xiàn)象是不確定現(xiàn)象之

2、一。2.隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)舉例：E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E3：記錄110報(bào)警臺(tái)一天接到的報(bào)警次數(shù)。E4：在一批燈泡中任意抽取一個(gè)，測(cè)試它的壽命。E5：記錄某物理量（長(zhǎng)度、直徑等）的測(cè)量誤差。E6：在區(qū)間0，1上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：試驗(yàn)的可重復(fù)性；全部結(jié)果的可知性；一次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，滿足這些條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。樣本空間：試驗(yàn)中出現(xiàn)的每一個(gè)不可分的結(jié)果，稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，記作。所有樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間，記作。舉例：擲骰子：1，2，3，4，5，6,1，2，3，4，5，6；非樣本點(diǎn)：“大于2點(diǎn)”，

3、“小于4點(diǎn)”等。3.隨機(jī)事件：樣本空間的子集，稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，用A,B,C,表示。只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的單點(diǎn)子集稱為基本事件。必然事件：一定發(fā)生的事件，記作不可能事件：永遠(yuǎn)不能發(fā)生的事件，記作4.隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算由于隨機(jī)事件是樣本空間的子集，所以，隨機(jī)事件及其運(yùn)算自然可以用集合的有關(guān)運(yùn)算來處理，并且可以用表示集合的文氏圖來直觀描述。（1）事件的包含和相等包含：設(shè)A，B為二事件，若A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事A包含于事件B，記作，或。性質(zhì)：例：擲骰子，A：“出現(xiàn)3點(diǎn)”，B：“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，則。注：與集合包含的區(qū)別。 相等：若且，則稱事件A與事件B相等，記作AB。（2）

4、和事件概念：稱事件“A與B至少有一個(gè)發(fā)生”為事件A與事件B的和事件，或稱為事件A與事件B的并，記作或AB。解釋：包括三種情況A發(fā)生，但B不發(fā)生，A不發(fā)生，但B發(fā)生，A與B都發(fā)生。性質(zhì)：，；若；則。推廣：可推廣到有限個(gè)和無限可列個(gè)，分別記作和舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于4”則AB1，2，5，6（3）積事件概念：稱“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”為事件A與事件B的積事件，或稱為事件A與B的交，記作AB或AB。解釋：AB只表示一種情況，即A與B同時(shí)發(fā)生。性質(zhì)：，； 若，則ABA。推廣：可推廣到有限個(gè)和無限可列個(gè)，分別記作和。舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”與B：“擲骰子點(diǎn)

5、數(shù)大于2”則AB3, 4 （4）差事件概念：稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”為事件A與事件B的差事件，記作AB. 性質(zhì)： A； 若，則AB。舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2”則AB1，2（5）互不相容事件概念：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB，則稱事件A與事件B互不相容。推廣：n個(gè)事件A1，A2，An兩兩互不相容，即AiAj，ij，i，j1，2，n。舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于5”則A與B互不相容。（6）對(duì)立事件：概念：稱事件“A不發(fā)生”為事件A的對(duì)立事件，記做.解釋：事件A與B互為對(duì)立事件，滿足：AB；AB舉例：A：“擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)

6、數(shù)小于3”與B：“擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2”則A與B相互對(duì)立性質(zhì)：；，；ABAAB；注意：教材第5頁的第三條性質(zhì)有誤。A與B相互對(duì)立A與B互不相容.小結(jié)：關(guān)系：包含，相等，互不相容，互為對(duì)立；運(yùn)算：和，積，差，對(duì)立.（7）事件的運(yùn)算性質(zhì)（和、積）交換律ABBA，ABBA；（和、積）結(jié)合律（AB）CA（BC），（AB）CA（BC）；（和、積）分配律A（BC）（AB）（AC）；A（BC）（AB）（AC）對(duì)偶律；.例1習(xí)題1.1，5（1）（2）設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，試?yán)檬录年P(guān)系與運(yùn)算證明：【答疑編號(hào)：12010201】證明：【答疑編號(hào)：12010202】證明：例2.習(xí)題1.1，6請(qǐng)用語言描述下列事件的

7、對(duì)立事件：（1）A表示“拋兩枚硬幣，都出現(xiàn)正面”；【答疑編號(hào)：12010203】答案：“拋兩枚硬幣，至少有一枚出現(xiàn)反面”。（2）B表示“生產(chǎn)4個(gè)零件，至少有1個(gè)合格”?！敬鹨删幪?hào)：12010204】答案：“生產(chǎn)4個(gè)零件，沒有1個(gè)是合格的”。§1.2概率 1.頻率與概率（1）頻數(shù)與頻率：在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生nA次，則稱nA為事件A發(fā)生的頻數(shù)；而比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，記作fn（A）.（2）fn（A）的試驗(yàn)特性：隨n的增大，fn（A）穩(wěn)定地趨于一個(gè)數(shù)值，稱這個(gè)數(shù)值為概率，記作P（A）.（3）由頻率的性質(zhì)推出概率的性質(zhì)推出，推出P（）0，P（）1A，B互不相容，推

8、出P（AB）=P（A）P（B），可推廣到有限多個(gè)和無限可列多個(gè).2.古典概型概念：具有下面兩個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型，稱為古典概型：基本事件的總數(shù)是有限個(gè)，或樣本空間含有有限個(gè)樣本點(diǎn)；每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。計(jì)算公式：例3.P9例18。拋一枚均勻硬幣3次，設(shè)事件A為“恰有1次出現(xiàn)正面”，B表示“3次均出現(xiàn)正面”，C表示“至少一次出現(xiàn)正面”，試求P（A），P（B），P（C）?！敬鹨删幪?hào)：12010301】解法1設(shè)出現(xiàn)正面用H表示，出現(xiàn)反面用T表示，則樣本空間=HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT，樣本點(diǎn)總數(shù)n=8，又因?yàn)锳=TTH，THT，HTT，B=HHH，C

9、=HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，所以A，B，C中樣本點(diǎn)數(shù)分別為rA=3，rB=1，rc=7，則解法2拋一枚硬幣3次，基本事件總數(shù)n=23，事件A包含了3個(gè)基本事件：“第i次是正面，其他兩次都是反面”，i1，2，3，而且rA=3。顯然B就是一個(gè)基本事件，它包含的基本事件數(shù)rB=1而C與B為對(duì)立事件，它包含的基本事件數(shù)rC=n-rB=23-1=7，故例4.P10例112。一批產(chǎn)品共有100件，其中3件次品?，F(xiàn)從這批產(chǎn)品中接連抽取兩次，每次抽取一件，考慮兩種情況：（1）不放回抽樣，第一次取一件不放回，第二次再抽取一件；【答疑編號(hào)：12010302】（2）放回抽樣，第一次取一

10、件檢查后放回，第二次再抽取一件?！敬鹨删幪?hào)：12010303】試分別針對(duì)上述兩種情況，求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。解：（1）（2）3.概率的定義與性質(zhì)（1）定義：設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，對(duì)于E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P（A），稱P（A）為事件A的概率，如果它滿足下列條件：P（A）0；P（）1；設(shè)，是一列互不相容的事件，則有.（2）性質(zhì) ，；對(duì)于任意事件A，B有；.例5.習(xí)題1.211設(shè)P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（AB）0.3，求【答疑編號(hào)：12010304】解：（1）P（AB）P（A）P（AB）P（AB）P（A）P（AB）0.70.30.4例6.習(xí)題

11、1.213設(shè)A，B，C為三個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）P（B）P（C），P（AB）P（BC），P（AC）0。求：（1）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率；【答疑編號(hào)：12010305】（2）A，B，C全不發(fā)生的概率?！敬鹨删幪?hào)：12010306】解：（1）“A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生”表示為ABC，則所求概率為P（ABC）P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）P（AC）P（BC）+P（ABC）§1.3條件概率 1.條件概率與乘法公式條件概率定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記做P（A|B）.例7P13例117.某工

12、廠有職工400名，其中男女職工各占一半，男女職工中技術(shù)優(yōu)秀的分別為20人與40人，從中任選一名職工，試問：（1）該職工技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？【答疑編號(hào)：12010401】（2）已知選出的是男職工，他技術(shù)優(yōu)秀的概率是多少？【答疑編號(hào)：12010402】解：設(shè)A表示“選出的職工技術(shù)優(yōu)秀”，B表示“選出的職工為男職工”。按古典概型的計(jì)算方法得：（1）（2）計(jì)算公式：設(shè)AB為兩個(gè)事件，且P（B）>0，則。乘法公式：當(dāng)P（A）>0時(shí)，有P（AB）P（A）P（B|A）；當(dāng)P（B）>0時(shí)，有P（AB）P（B）P（A|B）.推廣：設(shè)P（AB）>0，則P（ABC）P（A）P（B|A）P（

13、C|AB）設(shè)，則例8P15例122.盒中有5個(gè)白球2個(gè)黑球，連續(xù)不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。【答疑編號(hào)：12010403】解：設(shè)Ai（i=1，2，3）表示“第i次取到黑球”，于是所求概率為2.全概率公式與貝葉斯公式（1）劃分：設(shè)事件，滿足如下兩個(gè)條件：，互不相容，且，i1，2，n；，即，至少有一個(gè)發(fā)生，則稱，為樣本空間的一個(gè)劃分。當(dāng)，為樣本空間的一個(gè)劃分時(shí)，每次試驗(yàn)有且僅有其中一個(gè)發(fā)生。（2）全概公式：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，為樣本空間的一個(gè)劃分，B為任意一個(gè)事件，則.證明：注意：當(dāng)0<P（A）<1時(shí)，A與就是的一個(gè)劃分，對(duì)任意事件B則有全概公式的最簡(jiǎn)單形式：

14、例9P15例124盒中有5個(gè)白球3個(gè)黑球，連續(xù)不放回地從中取兩次球，每次取一個(gè)，求第二次取球取到白球的概率?！敬鹨删幪?hào)：12010404】解：設(shè)A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，則例10P16例125在某工廠中有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)同一型號(hào)的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量各占30%，35%，35%，并且在各自的產(chǎn)品中廢品率分別為5%，4%，3%，求從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件是廢品的概率。【答疑編號(hào)：12010405】解：設(shè)A1表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為甲所生產(chǎn)”，A2表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為乙所生產(chǎn)”，A3表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品為丙所生產(chǎn)”

15、，B表示“從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件為次品”，則由全概率公式得30%×5%+35%×4%+35%×3%=3.95%（3）貝葉斯公式：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，為樣本空間的一個(gè)劃分，B為任意一個(gè)事件，且P（B）>0，則，i1，2，n.注意：在使用貝葉斯公式時(shí)，往往先利用全概公式計(jì)算P（B）；理解貝葉斯公式“后驗(yàn)概率”的意義.例題11P17例128【例1-28】在例1-25的假設(shè)下，若任取一件是廢品，分別求它是由甲、乙、丙生產(chǎn)的概率?！敬鹨删幪?hào)：12010406】解：由貝葉斯公式，例題12P17例129【例1-29】針對(duì)某種疾病進(jìn)行一種化驗(yàn)，患該病的人中有90%呈

16、陽性反應(yīng)，而未患該病的人中有5%呈陽性反應(yīng)，設(shè)人群中有1%的人患這種病，若某人做這種化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)，則他患這種疾病的概率是多少？【答疑編號(hào)：12010407】解：設(shè)A表示“某人患這種病”，B表示“化驗(yàn)呈陽性反應(yīng)”，則P（A）=0.01，P（B|A）=0.9，由全概率公式得=0.01×0.9+0.99×0.55=0.0585再由貝葉斯公式得 §1.4 事件的獨(dú)立性 1.事件的獨(dú)立性（1）概念：若P（AB）P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A，B獨(dú)立。解釋：事件A，B相互獨(dú)立的含義是：盡管A，B同時(shí)發(fā)生，事件A發(fā)生的概率對(duì)事件B發(fā)生的概率沒有影響，如“

17、兩個(gè)同時(shí)射擊的射擊員擊中靶子的環(huán)數(shù)”，“兩個(gè)病人服用同一種藥物的療效”等。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)實(shí)際情況來判斷事件的獨(dú)立性，而不是根據(jù)定義。（2）性質(zhì)： 設(shè)P（A）>0，則A與B相互獨(dú)立的充分必要條件是。證明： 若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與都相互獨(dú)立。證明： 只證，B相互獨(dú)立則只需證=P（B）-P（AB）=P（B）-P（A）P（B）=P（B）1-P（A）從而得證。例題1.P19【例130】?jī)缮涫直舜霜?dú)立地向同一目標(biāo)射擊。設(shè)甲射中目標(biāo)的概率為0.9，乙射中目標(biāo)的概率為0.8，求目標(biāo)被擊中的概率?！敬鹨删幪?hào)：11010501】解 設(shè)A表示“甲射中目標(biāo)”，B表示“乙射中目標(biāo)”，C表

18、示“目標(biāo)被擊中”，則C=AB。P（C）=P（AB） =P（A）+P（B）-P（AB）由題意，A，B相互獨(dú)立P（AB）=P（A）P（B）=1-0.1×0.2=0.98注：A，B相互獨(dú)立時(shí)，概率加法公式可以簡(jiǎn)化為。例題2.P19【例131】袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球，從中有放回地連續(xù)取兩次，每次取一個(gè)球，求兩次取出的都是白球的概率。【答疑編號(hào)：11010502】 解：設(shè)A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A與B是相互獨(dú)立的。所求概率為P（AB）=P（A）P（B）=×=點(diǎn)評(píng)：有放回：第一次不管抽取的是什么球，對(duì)第二次抽取沒影響。顯然，兩次抽取

19、是相互獨(dú)立的。不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。顯然，兩次抽取不是相互獨(dú)立的。注：如果是“有放回”，則兩次取球就不是相互獨(dú)立的。（3）推廣： 3個(gè)事件相互獨(dú)立：設(shè)A，B，C為3個(gè)事件，若滿足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），P（ABC）P（A）P（B）P（C）則稱A，B，C相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A，B，C獨(dú)立。 3個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立：設(shè)A，B，C為3個(gè)事件，若滿足 P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），則稱A，B，C兩兩相互獨(dú)立。顯然，3事件相互獨(dú)立必有3事件兩兩相互獨(dú)立，反

20、之未必。 n個(gè)事件相互獨(dú)立：設(shè)A1，A2，An為n個(gè)事件，若對(duì)于任意整數(shù)k（1kn）和任意k個(gè)整數(shù)1i1< i2<ikn滿足則稱A1，A2，An相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A1，A2，An獨(dú)立。例題3.P21【例134】3門高射炮同時(shí)對(duì)一架敵機(jī)各發(fā)一炮，它們的命中率分別為0.1，0.2，0.3，求敵機(jī)恰中一彈的概率。【答疑編號(hào)：11010503】解：設(shè)Ai表示“第i門炮擊中敵機(jī)”，i=1，2，3，B表示“敵機(jī)恰中一彈”。 其中，互不相容，且A1，A2，A3相互獨(dú)立，則=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.

21、3=0.3982.n重貝努利試驗(yàn) （1）概念：如果一次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：事件A發(fā)生或不發(fā)生，且P（A）p（0<p<1），試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次，稱為n重貝努利試驗(yàn)。（2）計(jì)算：在n重貝努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率n（k）為，k0，1，2，n。事實(shí)上，A在指定的k次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余n-k次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率為 例題4.P22【例136】一個(gè)車間有5臺(tái)同類型的且獨(dú)立工作的機(jī)器，假設(shè)在任一時(shí)刻t，每臺(tái)機(jī)器出故障的概率為0.1，問在同一時(shí)刻（1）沒有機(jī)器出故障的概率是多少？【答疑編號(hào)：11010504】（2）至多有一臺(tái)機(jī)器出故障的概率是多少？【答疑編

22、號(hào)：11010505】 解：在同一時(shí)刻觀察5臺(tái)機(jī)器，它們是否出故障是相互獨(dú)立的，故可看做5重貝努利試驗(yàn)，p=0.1，q=0.9。設(shè)A0表示“沒有機(jī)器出故障”，A1表示“有一臺(tái)機(jī)器出故障”，B表示“至少有一臺(tái)機(jī)器出故障”，則B=A0A1。于是有：（1）所求概率P（A0）=P5（0）= =0.59049；（2）所求概率P（B）= P（A0）+ P（A1）=P5（0）+=P5（1）=0.91854。例題5.P22【例137】轉(zhuǎn)爐煉鋼，每一爐鋼的合格率為0.7，現(xiàn)有若干臺(tái)轉(zhuǎn)爐同時(shí)冶煉。若要求至少能夠煉出一爐合格鋼的把握為99%，問同時(shí)至少要有幾臺(tái)轉(zhuǎn)爐煉鋼？【答疑編號(hào)：11010506】 解：設(shè)有n個(gè)轉(zhuǎn)

23、爐同時(shí)煉鋼，各爐是否煉出合格鋼是獨(dú)立的，可看做n重貝努利試驗(yàn)，p=0.7，q=0.3，=全不合格P至少一爐合格=1-P全不合格=1-Pn（0） =1-qn =1-（0.3）n0.99（0.3）n0.01nlg0.3-2 n4本章小結(jié)：一、內(nèi)容（見課本P23）二、試題選講1.（401）設(shè)A與B互為對(duì)立事件，且P（A）>0，P（B）>0，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）A.P（A）1P（）B.P（AB）P（A）P（B）C.P（）1D.P（AB）1【答疑編號(hào)：11010507】答案：B 2.（402）設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）>0，則（）A.P（AB）B.P（A）C.P（B）D.1

24、【答疑編號(hào)：11010508】答案：D 3.（701）從標(biāo)號(hào)為1，2，101的101個(gè)燈泡中任取一個(gè)，則取得標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的概率是（）A.50/101B.51/101C.50/100 D.51/101【答疑編號(hào)：11010509】答案：A4.（702）設(shè)事件A，B滿足P（A）0.2，P（A）0.6， 則P（AB）（）A.0.12B.0.4C.0.6 D.0.8【答疑編號(hào)：11010510】答案：B 5.（704）設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p（0<P<1），則在3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為（）A.1（1p）3B.p（1p）2 C.D.pp 2p 3【答疑編號(hào)：11010511】答案

25、：A 6.（411）設(shè)事件A， B相互獨(dú)立，且P（A）=O.2， P（B）=0.4，則P（AB）_?！敬鹨删幪?hào)：11010512】答案：0.52 解析：P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB） =P（A）+P（B）-P（A）P（B）7.（414）一批產(chǎn)品，由甲廠生產(chǎn)的占，其次品率為5%，由乙廠生產(chǎn)的占，其次品率為10%，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，恰好取到次品的概率為_?！敬鹨删幪?hào)：11010513】答案： 解析：設(shè)A1表示“甲廠生產(chǎn)”，A2表示“乙廠生產(chǎn)”B：“次品”8.（427）設(shè)P（A）0.4， P（B）0.5， 且P（）0.3， 求P（AB）?！敬鹨删幪?hào)：11010514】答案：0.05

26、 解析：=0.059.（1014）20件產(chǎn)品中，有2件次品，不放回地從中連續(xù)取兩次，每次取一件產(chǎn)品，則第二次取到正品的概率為_。【答疑編號(hào)：11010515】答案： 解析：第二次取正品=一次且二正一正且二正P二正=P一次且二正+P一正且二正=內(nèi)容簡(jiǎn)介1.本章引入隨機(jī)變量及其分布函數(shù)概念，討論了離散型和連續(xù)型兩種隨機(jī)變量，介紹了幾種常用的隨機(jī)變量。2.本章重點(diǎn)內(nèi)容包括：離散型隨機(jī)變量及其分布律，連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度，二項(xiàng)分布與正態(tài)分布。考點(diǎn)分析2007年4月2007年7月2007年10月選擇題2題4分1題2分2題4分填空題2題4分2題4分2題4分計(jì)算題1題8分綜合題1題4分1題12分合計(jì)5

27、題12分4題14分5題20分內(nèi)容講解§2.1離散型隨機(jī)變量 1.隨機(jī)變量的概念（1）引入隨機(jī)變量的理由： “常量”到“變量”； 全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的需要。（2）如何引入：一類：隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果用數(shù)量表示的，直接數(shù)量化。如：擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X，則X1，2，3，4，5，6分別表示事件“出現(xiàn)一點(diǎn)”，“出現(xiàn)二點(diǎn)”，“出現(xiàn)六點(diǎn)”。另一類：試驗(yàn)結(jié)果不是用數(shù)量表示的，如：擲硬幣，雙方比賽的結(jié)果等，可以人為賦值，如擲硬幣，設(shè)結(jié)果為隨機(jī)變量Y，“出現(xiàn)正面”用“Y1”表示，“出現(xiàn)反面”用“Y0”表示。如果雙方比賽結(jié)果使用記分法，可以用分?jǐn)?shù)表示，“Z3”表示“勝”，“Z1”表示“平”，“Z0”表

28、示“負(fù)”，等等。（3）定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間為，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)，有一個(gè)實(shí)數(shù)X（）與之對(duì)應(yīng)，則稱XX（）為隨機(jī)變量，記做X, Y, Z,。（4）解釋： 隨機(jī)變量不是普通變量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一個(gè)值的，即具有隨機(jī)性，因此稱為“隨機(jī)變量”； 在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，可以根據(jù)不同的需要來定義不同的隨機(jī)變量。 引入隨機(jī)變量后，可用隨機(jī)變量來描述事件，如擲骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X，則“出現(xiàn)4點(diǎn)”可表示為X4，“不少于4點(diǎn)”可表示為X4,等等。 所以，其概率可表示為PX41/6, PX41/2。2.離散型隨機(jī)變量及其分布律（1）離散型隨機(jī)變量定義：若隨機(jī)變量X

29、只取有限多個(gè)或可列無限多個(gè)值，則稱X為離散型隨機(jī)變量。如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，醫(yī)院門診一天接待的患者數(shù)，某停車場(chǎng)內(nèi)停放的車輛數(shù)，等等，都是離散型隨機(jī)變量。（2）離散型隨機(jī)變量的分布律：設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，可能取值為x1，x2，xk，且PXxk pk，k1，2，則稱 pk 為X的分布律（或分布列，概率分布）。分布律也可以用表格形式表示： （3）分布律pk的性質(zhì)： pk0，k1，2，； .反之，若一個(gè)數(shù)列pk具有以上兩條性質(zhì)，則它可以作為某隨機(jī)變量的分布律。 （4）用途：可用分布律求任意事件的概率.例題1.P30 【例21】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：求常數(shù)c?！敬鹨删幪?hào)：12020101】解：由

30、分布律性的性質(zhì)知1=0.2+c+0.5解得c=0.3。例題2.P31 【例24】已知一批零件共10個(gè)，其中有3個(gè)不合格，現(xiàn)任取一件使用，若取到不合格零件，則丟棄，再重新抽取一個(gè)，如此下去，試求取到合格零件之前取出的不合格零件個(gè)數(shù)X的分布律?！敬鹨删幪?hào)：12020102】解：X的取值為0，1，2，3。設(shè)Ai（i=1，2，3，4）表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可計(jì)算得PX=1=PX=2=PX=3=故X的分布律為例題3.P31 【例25】對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)進(jìn)行射擊，直到擊中目標(biāo)為止。如果每次射擊的命中率為p，求射擊次數(shù)X的分布律?！敬鹨删幪?hào)：12020103】解：X的取值為1，2，

31、。設(shè)Ai（i=1，2，）表示“第i次射擊未中”，事件X=k表示“前k-1次射擊未中，第k次命中“，則，而每次射擊命中與否又是相互獨(dú)立的，即A1，A2，Ak相互獨(dú)立。X的分布律為=（1-p）k-1p，k=1，2，。3.三種常用的離散型隨機(jī)變量的分布（1）01分布（兩點(diǎn)分布）定義：若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)可能值0，1，且PX1p，PX0q, 其中0<p<1，q1p, 則稱X服從01分布，其分布律為舉例：擲一枚硬幣出現(xiàn)正面，向靶子射一發(fā)子彈等。（2）二項(xiàng)分布定義：若隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，n，而X的分布律為，k0，1，2，n其中0<p<1，q1p, 則稱X服從參數(shù)為n，

32、p的二項(xiàng)分布，記做XB（n,p）。解釋：n1時(shí)，二項(xiàng)分布即為01分布，所以，二項(xiàng)分布是服從01分布的隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行n次的情況。例題4.P32 【例26】某特效藥的臨床有效率為0.95?，F(xiàn)有10人服用，問至少有8人治愈的概率是多少？【答疑編號(hào)：12020104】解：設(shè)X為10人中被治愈的人數(shù)，則XB（10，0.95）而所求概率為PX8=PX=8+PX=9+PX=10=0.9885例題5.P32 【例27】設(shè)XB（2，p），YB（3，p）。設(shè)，試求PY1?！敬鹨删幪?hào)：12020105】解：，知，即，由此得 再由YB（3，）可得PY1=1-PY=0。泊松定理：設(shè)>0是常數(shù)，n是任意正整數(shù)，且，則

33、對(duì)于任意取定的非負(fù)整數(shù)k，有。泊松定理的應(yīng)用：當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松逼近來近似計(jì)算。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)n20，p0.05時(shí)計(jì)算效果頗佳。例題6.P33 【例28】一個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中廢品率為0.005，任取1000件，計(jì)算：（1）其中至少有兩件是廢品的概率；【答疑編號(hào)：12020106】（2）其中不超過5件廢品的概率【答疑編號(hào)：12020107】解：設(shè)X表示任取的1000件產(chǎn)品中的廢品數(shù)，則XB（1000，0.005）。利用泊松定理中的 公式近似計(jì)算，=1000×0.005=5。（1）PX2=1-PX=0-PX=1。（2） PX5=0.6160。最后一步為查附表2而得。

34、此處還用到。（3）泊松分布定義：設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，n，而X的分布律為，k0，1，2，其中>0，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記做X P（）.例題7.P34 【例29】設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為5的泊松分布，求（1）PX=10；【答疑編號(hào)：12020108】（2）PX10?！敬鹨删幪?hào)：12020109】解：（1）查附表2中這一欄的數(shù)據(jù)，可得PX=10=PX10-PX11 =0.018133（2）PX10=1-PX11 =0.986305例題8.P34 【例210】設(shè)X服從泊松分布，且已知PX=1=PX=2，求PX=4【答疑編號(hào)：12020110】解 設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，則

35、， 由已知得解得=2，則§ 2.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 1.分布函數(shù)的概念引入： 從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度，引入函數(shù)概念是必然的； 此函數(shù)一定要與概率相聯(lián)系。對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，事件可表示為Xb,X>b, a<Xb, 等等，選取一個(gè)函數(shù)F，把這些事件的概率用此函數(shù)的函數(shù)值表示出來，取函數(shù)F（x）P Xx就可以做到這一點(diǎn)，其中x為任意實(shí)數(shù)； 由于x的取值為任意實(shí)數(shù)，所以，對(duì)于離散型、非離散型隨機(jī)變量，肯定也適用。定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，稱函數(shù)F（x）=P（Xx），x（-,+） 為X的分布函數(shù)。離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為.例題1.P36 【例211】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為求X

36、的分布函數(shù)?！敬鹨删幪?hào)：12020111】解：當(dāng)x<-1時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=0；當(dāng)-1x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx=PX=-1=0.2；當(dāng)0x<1時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx= PX=-1+ PX=0=0.2+0.1=0.3；當(dāng)1x<2時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx= PX=-1+ PX=0+ PX=1=0.2+0.1+0.3=0.6當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)（x）=PXx= PX=-1+ PX=0+ PX=1+ PX=2=0.2+0.1+0.3+0.4=1則X的分布函數(shù)F（x）為F（x）的圖形如下：由F（x）的圖形可知，F(xiàn)（x）是分段函數(shù)，y= F（x）的圖形是階梯形曲線，在X的可能取值-1，0，1

37、，2處為F（x）的跳躍型間斷點(diǎn)。2.分布函數(shù)的性質(zhì)（1）0F（x）1。（2）F（x）是不減函數(shù)，即對(duì)于任意的x1<x2，有F（x1）F（x2）。（3）F（-）=0，F(xiàn)（+）=1，即，。（4）F（x）右連續(xù)，即。例題2.P37 【例212】設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為其中>0,求常數(shù)a、b的值?！敬鹨删幪?hào)：12020112】解：=a+0=a，而F（+）=1，a=1 =a+b=0由此得b=-a=-13.用分布函數(shù)表示事件的概率：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x）, 則（1）PXb=F（b）；（2）Pa<Xb=F（b）-F（a），其中a<b；（3）PX>b=1-F（b）.例題

38、3.P37 【例213】設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求（1）；【答疑編號(hào)：12020113】（2）；【答疑編號(hào)：12020114】（3）?！敬鹨删幪?hào)：12020115】解：（1）；（2）；（3）。 §2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（1）定義：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x），若存在非負(fù)函數(shù)f（x），使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f（x）為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度（或密度函數(shù)）。解釋：連續(xù)型隨機(jī)變量的“連續(xù)”指的是其密度函數(shù)在某區(qū)間或整個(gè)實(shí)軸上是連續(xù)函數(shù)。（2）概率密度的性質(zhì)： f（x）0； 設(shè)x為f（x）的連續(xù)點(diǎn)，則存在，且.（

39、3）概率密度的直觀解釋例題1.P40 【例215】設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求X的分布函數(shù)F（x）。【答疑編號(hào)：12020201】解：當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)0x<1時(shí)，當(dāng)1x<2時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，即X的分布函數(shù)為例題2.P41 【例216】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求（1）X的概率密度f（x）；【答疑編號(hào)：12020202】（2）X落在區(qū)間（0.3，0.7）的概率。【答疑編號(hào)：12020203】解：（1）（2）有兩種解法：P0.3<X<0.7=F（0.7）-F（0.3）=0.72-0.32=0.4；或者P0.3<X<0.7=0.4。例題3.P41 【例217】設(shè)

40、某種型號(hào)電子元件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度現(xiàn)有一大批此種元件（設(shè)各元件工作相互獨(dú)立），問（1）任取1個(gè)，其壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？【答疑編號(hào)：12020204】（2）任取4個(gè)，4個(gè)元件中恰有2個(gè)元件的壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？【答疑編號(hào)：12020205】（3）任取4個(gè)，4個(gè)元件中至少有1個(gè)元件的壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？【答疑編號(hào)：12020206】解：（1）設(shè)隨機(jī)變量X表示元件的壽命PX>1500 （2）各元件工作相互獨(dú)立，可看做4重貝努利試驗(yàn)，觀察各元件的壽命是否大于1500小時(shí)，令Y表示4個(gè)元件中壽命大于1500小時(shí)的元件個(gè)數(shù)，則YB（4，）

41、，所求概率為PY=2。（3）所求概率為PY1=1-PY=0。2.三種常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布.均勻分布（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為， 則稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布，記做XU（a,b）。 （2）分布函數(shù)為分布函數(shù)圖象如下圖：（3）實(shí)際應(yīng)用：查表時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)修正值之間的數(shù)值服從均勻分布，在一段時(shí)間內(nèi)，公共汽車達(dá)到的時(shí)間認(rèn)為是服從均勻分布，等等。例題4.P43 【例218】公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在5分鐘內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)汽車站是等可能的，求乘客候車時(shí)間在13分鐘內(nèi)的概率。【答疑編號(hào)：12020207】解：設(shè)X表示乘客的候車時(shí)間，則XU（0，5），其概率密度為所求概率為P1x

42、3.指數(shù)分布（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為，其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記做XE（）. （2）指數(shù)分布的分布函數(shù)為 ， （3）實(shí)際應(yīng)用：電子元器件的使用壽命，動(dòng)物的壽命，電話的通話時(shí)間，接受服務(wù)的時(shí)間等等，都可以假定服從指數(shù)分布。例題5.P43 【例219】設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，證明對(duì)任意的s>0，t>0，有.此性質(zhì)稱為指數(shù)分布的無記憶性。證明：對(duì)于任意的x>0,.又因?yàn)?，所以，則 .正態(tài)分布（1）定義：若隨機(jī)變量X的概率密度為，<x<， 其中,2為常數(shù)，<<+，>0，則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布，記做XN（,2

43、）.（2）概率密度函數(shù)的性質(zhì)：曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱，則對(duì)于任意h>0，有P（-h<x）=P（<X+h）。當(dāng)x=時(shí)取得最大值.在x=±處曲線有拐點(diǎn)，曲線以x軸為漸近線.當(dāng)給定，1<2時(shí)，對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)的圖象可沿x軸互相平移得到.當(dāng)給定，1<2時(shí)，對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)的圖象如圖下圖所示，越小，圖象越尖銳，越大，圖象越平緩. （3）分布函數(shù)為.（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：當(dāng)=0，=1時(shí)的正態(tài)分布N（0,1），稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度和分布函數(shù)分別記做和（x），即，（5）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的性質(zhì)（-x）=1-（x）；.（6）正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系設(shè)XN（,2），

44、分布函數(shù)為F（x），標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為（x），則；做代換：由于UN（0，1）；.例題6.P47 【例220】設(shè)XN（0，1）證明對(duì)于任意的h>0，有?！敬鹨删幪?hào)：12020208】證明 。例題7.P47 【例222】設(shè)XN（1.5，4），求?！敬鹨删幪?hào)：12020209】=0.8413。.上側(cè)分位數(shù)（1）定義：設(shè)XN（0,1），若u滿足條件PX>u=，0<<1，則稱點(diǎn)u為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)。（2）求法：反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。例題8.查表求u0.1.【答疑編號(hào)：12020210】解： PX>u0.1=0.11-PXu0.1=0.1PXu0.1=0.90查表

45、：0.89971.280.90151.29 所以§2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 1.隨機(jī)變量函數(shù)的概念：設(shè)是已知連續(xù)函數(shù)，為隨機(jī)變量，則函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，稱之為隨機(jī)變量的函數(shù).2.離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為則在隨機(jī)變量的取值,，不同的情況下，其分布律為但是，若 有相同的情況，則需要合并為一項(xiàng).例題1. P51 例225【例225】設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求的分布律?！敬鹨删幪?hào)：12020301】 解:因?yàn)樗訷只能取值1，0，1，而取這些值的概率為故Y的分布律為有時(shí)我們只求Y=g（X）在某一點(diǎn)y處取值的概率，有，即把滿足的 所對(duì)應(yīng)的概率相加即可。例題2.

46、P52 例226【例226】XB（3，0.4）令 ，求PY1。【答疑編號(hào)：12020302】 解：= PX=1PX=2= PX=1PX=2- PX=1PX=2= 3.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度定理：設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 .設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域?yàn)?，?記的反函數(shù)，則 的概率密度為.證明：略例題3. P53 例227【例227】設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為fx（x），令YaX+b其中a,b為常數(shù),a0。求Y的概率密度?！敬鹨删幪?hào)：12020303】 解：y= ax+b x+y+即，+x=h（y）=例題4. P53 例2-28 【例228】，求：（1）的概率密度。 【答疑編號(hào)：12020304】（2）YaX+b的概率密度?！敬鹨删幪?hào)：12020305】 解：利用例2-27所得的結(jié)論，fx（x）（1）,則 （2）· 即.例2-28說明兩個(gè)重要結(jié)論：當(dāng) 時(shí)，,且隨機(jī)變量稱為