專題訓(xùn)練(六)　巧用等腰三角形的性質(zhì)求解五類問(wèn)題

1、.專題訓(xùn)練六巧用等腰三角形的性質(zhì)求解五類問(wèn)題 類型一證明線段相等1如圖6ZT1所示，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CECD.求證：BDDE.圖6ZT12：如圖6ZT2，ABAC，D是AB上一點(diǎn)，DEBC于點(diǎn)E，ED的延長(zhǎng)線交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：ADF是等腰三角形圖6ZT2類型二證明兩線垂直3如圖6ZT3所示，在ABC中，ABAC，ABDACD.求證：ADBC.圖6ZT34如圖6ZT4，在ABC中，ABAC，D為AC上一點(diǎn)，DBCBAC.求證：ACBD.圖6ZT4類型三證明兩角相等52019·裕華區(qū)校級(jí)模擬如圖6ZT5，在ABC中，ABAC，BD

2、AC于點(diǎn)D，CEAB于點(diǎn)E，BD，CE相交于點(diǎn)F.求證：BAFCAF.圖6ZT56如圖6ZT6，AD是BAC的平分線，點(diǎn)E在AB上，且AEAC，EFBC交AC于點(diǎn)F，AD與CE交于點(diǎn)G，與EF交于點(diǎn)H.1求證：AD垂直平分CE；2求證：EDHEHD.圖6ZT6類型四證明角的倍分關(guān)系7：如圖6ZT7所示，AF平分BAC，BCAF，垂足為E，AEED，PB與線段CF，AF分別交于點(diǎn)P，M，F(xiàn)MCD.求證：BAC2MPC.圖6ZT8類型五證明線段的倍分關(guān)系8如圖6ZT8所示，在ABC中，ABAC，A120°，AB的垂直平分線MN與BC，AB分別交于點(diǎn)M，N.求證：CM2BM.圖6ZT89如

3、圖6ZT9所示，過(guò)等邊三角形ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PEAC于點(diǎn)E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PACQ，連接PQ交AC邊于點(diǎn)D.求證：1PDQD；2DEAC.圖6ZT9詳解詳析1解析 欲證BDDE，只需證DBEE.根據(jù)等腰三角形的“三線合一和等邊三角形的性質(zhì)可得DBEABC30°.再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得E30°.由此可得結(jié)論證明：ABC為等邊三角形，BD是AC邊上的中線，ABCACB60°，BDAC，BD平分ABC，DBEABC30°.CDCE，CDEE.ACB為CDE的外角，ACB60°，CDEE60°，CDE

4、E30°， DBEE，BDDE.等角對(duì)等邊2證明：ABAC，BC.等邊對(duì)等角DEBC于點(diǎn)E，F(xiàn)EBFEC90°，BEDBCEFC90°，EFCEDB.等角的余角相等又EDBADF，對(duì)頂角相等EFCADF，ADF是等腰三角形3解析 首先證明DBCDCB，可得DBDC，再加上條件ABAC，公共邊ADAD，可利用SSS證明ABDACD，進(jìn)而得到BADCAD，再根據(jù)等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高線重合可證出ADBC.此題通過(guò)證明線段AD所在的直線是BC的垂直平分線也可得證證明：如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)M.ABAC，ABCACB.又ABDACD，ABCABDACBACD

5、，即DBCDCB，DBDC.ABAC，DBDC，線段AD所在的直線是線段BC的垂直平分線，ADBC.4解析 首先過(guò)點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F.由ABAC，根據(jù)等腰三角形“三線合一的性質(zhì)，可得CAEBAC，又由DBCBAC，可得CAEDBC.在ADF與BEF中，易證得ADFBEF90°，即可得ACBD.證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F.ABAC，AEBC，CAEBAC.等腰三角形“三線合一又DBCBAC，CAEDBC.又12，ADF180°2CAE，BEF180°1DBC，ADFBEF.AEBC，BEF90°，ADF90°

6、，ACBD.5證明：ABAC，ABCACB.等邊對(duì)等角BDAC，CEAB，CEBBDC90°，ECB90°ABC，DBC90°ACB，ECBDBC，等量代換FBFC.等角對(duì)等邊在ABF和ACF中，ABFACF，SSSBAFCAF.全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等6證明：1AEAC，AD是BAC的平分線，AD垂直平分CE.2由1可知D為CE垂直平分線上的點(diǎn)，CDDE，DCEDEC.EFBC，DCECEFDEC，EG平分DEF.EGAD，DEH是等腰三角形，且EDEH，EDHEHD.7解析 先由AF平分BAC證明BAEBAC，再根據(jù)等腰三角形“三線合一和線段垂直平分線的性質(zhì)證明

7、CDEBAE.從而CDEBAC.然后在MDC和MPF中證明MDCMPF，進(jìn)而得MPCCDEBAC.證明：AF平分BAC，BCAF，BAECAEBAC，CEBE.CEAE，AEED，ACCD，CDECAEBAC.BCAF，CEBE，CMBM，CMABMA.又BMAPMF，CMAPMF.又FMCD，MPF180°FPMF，MDC180°MCDCMA，MPFMDC，MPCCDECAEBAC，BAC2MPC.8證明：連接AM，MN垂直平分AB，AMBM.BAC120°，ABAC，BC30°.AMBM，BBAM30°，MAC120°30°90°.在ACM中，MAC90°，C30°，CM2AM，CM2BM.9導(dǎo)學(xué)號(hào)：52222282解析 1過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交AC于點(diǎn)F，通過(guò)證明PFD和QCD全等，可推出PDDQ；2由APF是等邊三角形和PEAC，可推出AEEFAF.由PFD和QCD全等，可得出FDCDFC，進(jìn)而可得DEAC.證明：1如圖，過(guò)點(diǎn)P作PFBC，交AC于點(diǎn)F.ABC是等邊三角形，BACB60°.又PFBC，APFAFPBACB60°，APF是等邊三