用于求解某些變系數(shù)非線性微變分方程的變換假設法

1、用于求解某些變系數(shù)非線性偏微分方程的變換假設法馬雙雙周宇斌蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州(731000)關(guān)鍵詞：變換假設方法,變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程,變系數(shù)Sine-Gorden方程.中圖分類號：O24計算數(shù)學1引言在本論文中,我們主要討論變系數(shù)非線性偏微分方程的求解.與多數(shù)致力于求解變系數(shù)方程的工作不同的地方在于,我們這篇文章研究的是變系數(shù)不僅僅局限于空間相關(guān),或是局限于時間相關(guān),而是研究與空間與時間同時相關(guān)的變系數(shù)非線性偏微分方程.對這種方程,我們首先構(gòu)造一種自變量變換,然后在變換的基礎上做出合理的變系數(shù)假設,從而將變系數(shù)偏微分方程化為常系數(shù)常微分方程組.這樣

2、,我們?nèi)舻玫匠Ｎ⒎址匠痰慕饩涂梢缘玫阶兿禂?shù)偏微分方程的解.1.1非線性方程變系數(shù)的由來與研究現(xiàn)狀在我們建立如物理模型、化學模型、生物學模型等等實際模型的過程中,多種量之間的復雜作用產(chǎn)生1無論是以離散模式3-5出現(xiàn)還是以連續(xù)模式(2,6-12)出現(xiàn),變系數(shù)非線性微分方程引起了越來越多的注意,并且通過不同的研究我們對多種變系數(shù)方程有了許多已知結(jié)果.pn+1pn=npn+n.1+(pn)m與此同時,對連續(xù)模式的變系數(shù)方程的研究也是很廣泛的.在文獻2中,作者得到了變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程Iux+p(x)utt+q(x)u|u|2=0,ut+(t)uux+(t)u2ux+uxx

3、x+(t)uxyy=01.2關(guān)于非線性常微分方程的一些求解方法簡介F(v(),v() ,v() ,···)=0.擬設v()的形式為v()=其中()滿足如下形式的Jacobi橢圓方程() m=i=ni=0i=N i=0(1.1)ai()i,qi()i,(1.2)qi(i=0,1,2,···,n)為任意實常數(shù).當n2m時,Jacobi橢圓方程(1.2)的解無分叉情況,當n>2m時,Jacobi橢圓方程(1.2)存在分叉解.多數(shù)文獻采用m=2,n=4,q1=q3=0的情況.當q0,q2,q4滿足一定的關(guān)系時,我們可以得到以Jacobi

4、橢圓函數(shù)表示的輔助函數(shù)().由齊次平衡原則17,我們可以確定出N的值.將方程(1.2)與v()=Ni=0ai()i代入方程(1.1),令()i() j(i,j均為整數(shù))的系數(shù)為0,從而得到關(guān)于ai的若干方程.求解這些方程得到ai,從而我們就由Ni=0v()=ai()i得到v().需要說明的是,本篇論文的重點在于提出變系數(shù)方程的處理方法,而并非在于求出變系數(shù)方程（也就是對應的常微分方程）所有的解,所以我們在文章中所求得的解并非所有的解.3L(u,x, )=0,B(u, )=0,那么對小的參數(shù)值 ,我們可以假設有u(x, )的近似式為u(x, )=u0(x)+ u1(x)+ 2u2(x)+

5、3;··1.3論文的主要結(jié)構(gòu)本文如下組織：第2節(jié)將用一個一般變系數(shù)方程來大致說明我們提出的變換假設法.第3節(jié),第4節(jié)分別對有實際物理背景的兩個變系數(shù)非線性方程,源于非線性光學的非線性變系數(shù)Schr¨odinger方程、與描述穩(wěn)態(tài)脈沖形成過程的變系數(shù)Sine-Gorden方程,進行求解.第5節(jié)對上述兩節(jié)所得到的結(jié)論作出了總結(jié),并加入了關(guān)于論文所提出方法的一些討論.2變換假設法的描述在這一節(jié)中,我們利用一個一般變系數(shù)非線性方程來說明我們的處理方法.不失一般性,我們假定方程具有兩個自變量：空間變量x,時間變量t,并且不妨假定方程有一個變系數(shù)p(x,t),方程形式即為F(

6、u,ut,ux,···,p(x,t)=0.利用如下五個步驟我們來求解這個變系數(shù)方程.4(2.1)1.將非線性偏微分方程(2.1)變換為非線性常微分方程.假設u(x,t)=u(),其中設=(x,t)為所需的變換,則方程(2.1)可寫為以下形式F(u,u,···,p(x,t),(x,t),x,t,···)=0.(2.2)方程(2.2)為一個帶有變系數(shù)p(x,t),(x,t)以及關(guān)于(x,t)的偏導數(shù)(即x,t,xx,···)的非線性常微分方程.2.通過觀察方程(2.2),做出變系

7、數(shù)常微分方程(2.2)系數(shù)之間的一個恰當假設.從而使得常微分方程(2.2)的可以化為一個僅含變系數(shù)p(x,t)、(x,t)以及關(guān)于(x,t)的偏導數(shù)的偏微分方程，和一個僅與u()有關(guān)的常微分方程F(u,u,···)=0(2.3)的形式.這樣方程(2.2)就等價上述兩個微分方程.在這一步驟中恰當?shù)募僭O是我們能得到方程(2.3)的解的關(guān)鍵.而方程(2.2)的解又與方程(2.3)的解通過變換相互轉(zhuǎn)化.3.從上步驟的恰當假設中解出(x,t)與p(x,t)的關(guān)系式.一般來說,(x,t)的具體形式與方程的變系數(shù)p(x,t)有關(guān).4.求解常微分方程(2.3)從而得到u().在這

8、篇文章中,我們采用參數(shù)攝動法與輔助方程方法來求解常微分方程以得到其近似解與精確解.當然其他的求解方法也將會是奏效的.5.結(jié)合上述兩個步驟的結(jié)果,在變系數(shù)p(x,t)滿足一定條件的前提下,方程(2.1)的解將可以表示為x和t的函數(shù)形式.值得注意的是如果方程(2.1)是一個常系數(shù)方程,那么變換(x,t)將會是一個關(guān)于x與t的線性形式,通常是形波變換形式.若方程(2.1)不是一個常系數(shù)方程,(x,t)在通常情況下將會是一個關(guān)于x與t的非線性函數(shù).類似的,當變系數(shù)非線性方程帶有更多的變系數(shù)時,通過以上步驟我們可能也能夠得到變系數(shù)方程的解.在這篇文章中,我們將以帶有一個或兩個變系數(shù)的非線性發(fā)展方程來說明

9、我們的方法.533.1變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程的物理背景在非線性光學中,我們知道對細束流有方程(2021)2Ikx+其中2=22n2k22|=0,+n0(3.1)+m.從而上方程亦寫為Ix+1mn2k2rr+|=0.2k2k2n0(3.2)當m=0時對應了平面情形,當m=1時對應了柱對稱情形.在這一節(jié)中我們主要研究平面情形,即m=0的情形.這一情形也可以看作是一列強振幅波在介質(zhì)中傳播22.m=0的情形即：Iut+其中k為波數(shù),n0為介質(zhì)的折射率,n2k21|u|u=0,uxx+2k2n0(3.3)nk0為非線性折射率,

10、且n2與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān).在某些情況下,假設k、n0或n2不再是常量是合理的.因而,這就產(chǎn)生了如下形式的變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程,即Iut+q(x,t)uxx+p(x,t)|u|2u=0,其中p(x,t)=nk0,(3.4)q(x,t)=1.從上方程可以看到,p(x,t)為非線性項的系數(shù),q(x,t)為擴散項的系數(shù).在本文的系數(shù)的推廣中兩者均可以被認為是復的.3.2具有單個變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程2k當介質(zhì)的折射率或其非線性折射率不再是常量而波數(shù)k為常量,即n0為變量時,變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程(3.4)化為具有單個變

11、系數(shù)p(x,t)的非線性Schr¨odinger方程.在這一節(jié)中我們首先研究帶有單個變系數(shù)p(x,t)的非線性Schr¨odinger方程,其次再研究帶有單個變系數(shù)q(x,t)的非線性Schr¨odinger方程,即波數(shù)k為變量時的情形.odinger方程1.帶有單個變系數(shù)p(x,t)的非線性Schr¨帶有單個變系數(shù)p(x,t)的非線性Schr¨odinger方程寫為：Iut+uxx+p(x,t)|u|2u=0.6(3.5)設u(x,t)=u(),并假設有變換=(x,t),則方程(3.5)可寫為2u+p(x,t)|u|2u=0.(It+xx)u

12、+x(3.6)此時我們注意到在特殊情況下當變系數(shù)p(x,t)為常數(shù)時,取=(x,t)=kxt,方程(3.7)的解易知,見文獻20.當變系數(shù)p(x,t)為不為常數(shù)時,我們考慮如下.假定系數(shù)間有關(guān)系12=p(x,t),It+xx=x(3.7)并且作變換t=I,則方程(3.7)變?yōu)?+xx+x=0,2p(x,)=x(3.8)(3.9)從方程(3.8)與方程(3.9)中我們很容易解出(x,t),p(x,t).在此我們需要考慮xx是否為0.因為如果xx=0,則從方程(3.8)-(3.9),我們有2(x,t)=kxIk2t,p(x,t)=k2.(3.10)這就是說當xx=0時,方程(3.5)退化為一個常系

13、數(shù)非線性偏微分方程.這也就對應了我們前面所提到的特殊情況.現(xiàn)假定xx=0,那么從方程(3.8)與方程(3.9)中可以解出以下四組解(a) p(x,t)=(x,t)=(xc)2,I(xc)2lnt,(3.11)(b) p(x,t)=(f3(x,t)11)2, (x,t)=1ln(1+f(x,t)2)+x+c,33(3.12)12當然我們可以作其他的假設,例如設系數(shù)間有常數(shù)倍數(shù).這里我們簡單的假設三個含變系數(shù)P(x,t)的系數(shù)相等.在這里我們僅列出方程(3.8)與方程(3.9)有代表性的解,而并非全部的解,下同.7(c) 2 p(x,t)=1c0kf2(x,t)+ck,2 (x,t)=ln(1+f

14、(x,t)2)+ln(f(x,t)+22x(3.13)+c2,(d) 2 ck1 p(x,t)=,+c0kf1(x,t)+1 (x,t)=ln(f(x,t)1)ln(f(x,t)+1)+ln(f(x,t)+111x(3.14)+c2,其中c0>0,ci(i=1,2),k為常數(shù),f1(x,t)=tanh(c0(tI+kx+c1),f2(x,t)=tan(c0(tI+kxc1),1tI+kxc2)f3(x,t)=tan().k從而可知當系數(shù)p(x,t)與變換(x,t)滿足(3.11)(或(3.12),或(3.13),或(3.14)時,具有單個變系數(shù)的Schr¨odinger方程(3

15、.5)可化為3uu+|u|2u=0.設u()=f()+Ig(),代入方程(3.15)可知f()=g(),從而方程(3.15)可化為ff+2f3=0,u()=(1+I)f().利用參數(shù)攝動法,將(3.16)式改寫為ff+2f3= .其中,f()=f(, ), 1.從而我們設f(, )=3(3.15)(3.16)(3.17)(3.18)i= i=0 ifi(),在這一節(jié)中方程(3.16)的解將會經(jīng)常用到,我們僅在這里將其寫出,以后用到時將會引用此結(jié)果.8代入(3.18),按 的冪次進行整理,從而可以得到f0()=0,f1()=c1e+c2,f2()=c1e+c2,c3122(f3()=1e3+(3

16、c2c+6c)3c22111)e324+(6c1c2(22+2)+2c1(332+66)+c3+6c1c22(1)e(3.19)(3.20)(3.21)12234(2c2+2)33(c22+2c2+2)2(c2+3c2+6c2+6)+c4,2112323f4()=c21c2e+3(2c1c22c1c2+c1+4c1c2()e24(3.22)33222+(12c21c2(1)+2c2(3+66)+6c2(2+2)+6c2(1)+c32322+6c21(2+2)e2c16c1(1+c2)6c1(c2+2c2+2)+c4,(3.23)···通過()=fi=4i=0 if

17、i(),(3.24)(3.25)().u()=(1+I)f我們可以得到u(, )的 四階近似解u().與此同時取任意參數(shù)ci=1(i=1,2,3,4)使其滿()|=0=0,從而u()的近似解可得.足f非線性Schr¨odinger方程(3.5)化為常系數(shù)方程后所對應的常微分方程(3.15)的近似解可由式(3.19)-(3.25)表出,且此時變系數(shù)與變換所滿足的條件由(3.11)-(3.14)給出.2.具有單個變系數(shù)q(x,t)的非線性Schr¨odinger方程2k從非線性Schr¨odinger方程的物理意義可以看到當波數(shù)k為變量而n0為常量時,討論具有單個變系

18、數(shù)q(x,t)的非線性Schr¨odinger方程是有意義的,即Iut+q(x,t)uxx+|u|2u=0.假設u(x,t)=u(),=(x,t),則方程(3.26)可化為2u+|u|2u=0.(It+q(x,t)xx)u+q(x,t)x(3.26)(3.27)9在假設2=1It+q(x,t)xx=q(x,t)x(3.28)下,方程(3.27)等價于I t1xxx=1,(3.29) x uu+|u|2u=0.從上方程組中我們很容易得到(x,t)=ln(x+c1)+c2,q(x,t)=(x+c1)2q(x,t)=1(3.30)(3.31)這種形式的變換與系數(shù)就對應了變系數(shù)方程的特殊形式

19、,即變系數(shù)僅與空間變量有關(guān)的情形.u()的近似解可由式(3.19)-(3.25)給出.3.3具有兩個變系數(shù)的非線性Schr¨odinger方程將具有單個變系數(shù)的非線性Schr¨odinger方程做進一步推廣,從而我們考慮具有兩個變系數(shù)的非線性Schr¨odinger方程Iut+q(x,t)uxx+p(x,t)|u|2u=0,此情況對應于兩種情況1.波數(shù)k為變量而介質(zhì)的折射率與非線性折射率均為常量,2k2.波數(shù)k,介質(zhì)的折射率與非線性折射率均為變量,且n0為變量.(3.32)假設u(x,t)=u(),=(x,t),則方程(3.44)可化為2u+p(x,t)|u|2u

20、=0.(It+q(x,t)xx)u+q(x,t)x(3.33)假設系數(shù)間有關(guān)系2=p(x,t).It+q(x,t)xx=q(x,t)x(3.34)此時我們需要討論xx是否為0的情況.101.當xx=0時當xx=0時,方程(3.34)可寫為2=0, It+q(x,t)xp(x,t)=q(x,t)2,xuu+|u|2u=0.即當變系數(shù)滿足 p(x,t)=It,q(x,t)=Itx,時,原變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程可化為uu+|u|2u=0.此時,(x,t)為一個滿足xx=0的任意函數(shù).u()的近似解可由式(3.19)-(3.25)給出.例1Iu2xt2tuxx2xt|u|u

21、=0,做變換=Ixt2,上方程可化為uu+|u|2u=0,其解如式(3.19)-(3.25)所示.2.當xx=0時當xx=0時,方程(3.34)可化為It+q(x,t)xx+q(x,t)2x=0,p(x,t)=q(x,t)2,xuu+|u|2u=0.11(3.35)(3.36)(3.37)(3.38)(3.39)(3.40)即有4 2It p(x,t)=, xxx Itq(x,t)=xx,x uu+|u|2u=0.(3.41)從上式中我們可以得到變換(x,t)與變系數(shù)p(x,t),q(x,t)之間有關(guān)系p(x,t)=dx.q(x,t)x此時,(x,t)仍可以取為一個任意函數(shù)但需滿足xx=0.此

22、時u()的近似解可由式(3.19)-(3.25)給出.例2t4x2tu|u|2u=0,Iutxx1+2x1+2x做變換=x2+It2,上方程可化為uu+|u|2u=0,其解如式(3.19)-(3.25)所示.(3.44)(3.43)(3.42)44.1變系數(shù)Sine-Gordon方程變系數(shù)Sine-Gordon方程的物理背景光在無損介質(zhì)中傳輸,條件適合時將產(chǎn)生一種自感透明的穩(wěn)態(tài)脈沖傳輸現(xiàn)象22.以二能級原子介質(zhì)為例我們來說明自感透明的含義.當光脈沖前沿經(jīng)過時,光被吸收,原子由基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài),能量被存儲.等到光脈沖后沿經(jīng)過時,由于受激輻射,原子又由激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài).在這一過程中,光脈沖能量等效

23、地從前沿移至后沿,光脈沖的波形未發(fā)生改變,好像經(jīng)過透明介質(zhì)一樣.在這一過程中,可以證明光在含二能級原子介質(zhì)中的傳輸,其電場 ,極化強度P,反轉(zhuǎn)粒子有關(guān)系4這里我們首先給出一個滿足xx=0的任意變換(x,t),隨之我們通過求解相應微分方程可以得出變系數(shù)偏微分方程的系數(shù).12 =GP,xP= ,= P.(4.1)=xct,(4.2)(4.3)其中參數(shù)G與光速c、激光的角頻率、激活粒子的電偶極矩陣元等因素有關(guān)23.在滿足初始條件P=0,=1時可以得到Sine-Gordon方程uxt=Gsinu,(4.4)若激光的角頻率、激活粒子的電偶極矩陣元等量為常量,則方程(4.4)為常系數(shù)的,若激光的角頻率、激

24、活粒子的電偶極矩陣元等量不為常量,則方程(4.4)為變系數(shù)的.所以我們考慮變系數(shù)Sine-Gordon方程是有實際意義的.4.2求解變系數(shù)Sine-Gordon方程變系數(shù)Sine-Gordon方程僅有一種形式即為:uxt=p(x,t)sinu.假定=(x,t),則xtu+xtu=p(x,t)sinu.此時我們有必要討論xt是否為0.1.若xt=0若xt=0,則方程(4.5)等價于 p(x,t)=tx,u=sinu,(4.5)(4.6)(4.7)由方程(4.7)的第二個式子我們有uu=2sin,2則u()=4arctane+c,13(4.9)(4.8)(x,t)為滿足條件(x,t)xt=0的任意

25、函數(shù).例1u(x,t)xt=(4xt+2x)sinu(x,t).做變換(x,t)=x2+t2+t,從而有解u(x,t)=4arctane+c=4arctanex2+t2+t+c.其解圖形由圖1左圖給出.例2u(x,t)t2xt=xsinu(x,t).做變換t)=lnx+t3(x,3,從而有解u(x,t)=4arctane+c3=4arctanelnx+t+c若xt=0,則方程(4.5)等價于p(x,t)=tx=xt, u+u=sinu,利用攝動方法,我們可以得到解.由方程組(4.14)中的第一式,我們有(x,t)=c1ln(xkt+c2),p(x,t)=k(xkt+c,2)14(4.10)(4

26、.11)(4.12)(4.13)(4.14)(4.15)(4.16)Figure1:左圖對應于解(4.11)的瞬時孤子類型圖像,取參數(shù)c=1.右圖對應于解(4.13)的準扭孤波圖像,取參數(shù)c=1.其中k為任意常數(shù).利用攝動方法,我們可以得到方程組(4.14)中的第二式的近似解.由于方程組(4.14)中的第二式顯然有零解存在,故在u=0處對sin(u)進行Taylor展開,即u3u5u7sin(u)=u+O(u8).61205040設u()有級數(shù)形式u()=u0()+ u1()+ 2u2()+···利用參數(shù)攝動方法,在u()=0附近的近似解可表示為f1()=f2()

27、=f3()=c1e(1)+c2e(,(4.17)(4.18)f1(),+11(f1()+c3ec4e883+11(33)311(33)c5e+c6e,456456(3)(4.19)(4.20)(4.21)f4()=u(, )=3f3(),i=4 i=1ifi()+O( 5).Figure2:圖像對應于式(4.22),取小參數(shù)為 =0.1.從而u()的近似形式可認為是u( i=4)= ifi(),i=1其中參數(shù)ci滿足u()=0,從而u()的圖像可表示為圖2.例3Theorem1(變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程).(i)在方程具有單個變系數(shù)的情形中,若變系數(shù)p(x,t)與變換

28、(x,t)滿足方程(3.11)(或方程(3.12),或方程(3.13),或方程(3.14),那么非線性Schr¨odinger方程(3.5)就可化為常系數(shù)方程(3.15),此常系數(shù)方程有近似解u()以式(3.19)-(3.25)表示.(ii)在方程具有兩個變系數(shù)的情形中,若變系數(shù)p(x,t),q(x,t)以及變換(x,t)滿足方程(3.11)(或方程(3.12),或方程(3.13),或方程(3.14),那么變系數(shù)非線性Schr¨odinger方程(3.5)就可化為常系數(shù)方程(3.15),此常系數(shù)方程有近似解u()以式(3.19)-(3.25)表出.Theorem2(變系數(shù)S

29、ine-Gordon方程).(i)若方程的變系數(shù)p(x,t)可以寫為xt形式,其中xt=0,那么變系數(shù)Sine-Gorden方程(4.5)的解可由式(4.9)表示.(ii)若方程的變系數(shù)p(x,t)滿足方程(4.16),那么變系數(shù)Sine-Gorden方程(4.5)在變換(4.15)下可化為常系數(shù)方程,此常系數(shù)方程存在有漸近解如式(4.17)-(4.20)與式(4.22)所示.5.2討論在這篇論文的寫作過程中,我們曾經(jīng)用變系數(shù)Burgers方程進行討論并得到了滿意的結(jié)果：在一定的條件下我們可以得到變系數(shù)方程的混沌解、坍塌解、周期性單扭孤波解、具有peakon的周期性混沌解、雙扭孤波解以及帶pe

30、akon的雙扭孤波解,限于篇幅我們不再一一列出.然而我們發(fā)現(xiàn)仍存在一些問題值得討論.首先,步驟2中的假設形式存在多種,但在某些假設形式下我們也許不能得到變換(x,t)與變系數(shù)p(x,t)(或q(x,t)之間的關(guān)系.這一點就使得我們的方法對某些變系數(shù)方程并不適用.再者,當我們將方法應用于高階方程時,我們發(fā)現(xiàn)高階項的變系數(shù)使得同樣會較難從假設中得到變換與系數(shù)的關(guān)系.或者我們應該從步驟1中改進方法或者采用一個更恰當?shù)募僭O.我們并不能將其一一列出,具體的變系數(shù)方程就需要具體的分析.在本文所提供的方法下,也許某些變系數(shù)問題就可以得到解決.References2Yi-TianGaoandBoTian,Va

31、riable-coecientunstablenonlinearSchro¨dingerequationmod-elingelectronbeamplasma:Auto-B¨acklundtransformation,soliton-typedandotheranalyticalsolutions,PhysicsofPlasmas,(2001),Volume8,Issue1,67-73.3YoshiakiMuroya,EmikoIshiwata,NicolaGuglielmi,Globalstabilityfornonlineardierencegraphequationu

32、singadiscreteeigenfunctionsmethod,ComputersandMathematicswithAp-plications,(2007)54,448458modelwithvariablecoecients,NonlinearAnalysis67(2007)29552965.6JuanLi,TaoXu,Xiang-HuaMeng,Ya-XingZhang,Hai-QiangZhang,BoTian,Laxpair,Back-evolutionequationswithvariablecoecients,PhysicsLettersA369(2007)6269.8Xia

33、ng-HuaMeng,Wen-JunLiu,Hong-WuZhu,Chun-YiZhang,BoTian,Multi-solitonsolutionsandaB¨acklundtransformationforageneralizedvariable-coecienthigher-ordernonlinearSchr¨odingerequationwithsymboliccomputation,PhysicaAinpress.189Hang-yuRuanandHui-junLi,OpticalSolitaryWavesintheGeneralizedHigherOrderN

34、onlinear10阮航宇,陳一新,尋找變系數(shù)非線性方程精確解的新方法,物理學報(2000)49,177-180.13YubinZhou,MingliangWang,YuemingWang,PeriodicwavesolutiontoacoupledKDVequationswithvariablecoecients,PhysicsLetterA,308,(2003)31.14Jin-LiangZhang,Ming-LiangWang,Yue-MingWangandZong-DeFang,TheimprovedF-expansionmethodanditsapplications,Physics

35、LettersA,350,(2006)103-109.15MingliangWang,ExactsolutionsofacompoundKdv-Burgersequation,PhysicsLetterA,213,(1996),279.16MingliangWang,SolitarywavesolutionsforvariantBoussinesqequation,PhysicsLetterA,199,(1995),169.19唐苓,戴世強,KdV-Burgers方程的一類漸進解：單調(diào)激波解,應用數(shù)學和力學(錢偉長八十壽誕祝壽文集)黃黔,潘立宙主編,科學出版社重慶出版社,1993,400-404.20樓森岳,唐曉艷,非線性數(shù)學物理方法,科學出版社(2006)35-36.21郭柏靈,龐小峰,孤立子,科學出版社(1987),8.1922譚維翰,非線性與量子光學,科學出版社(1996)2-10.23譚維翰(固體激光導論編寫組編),固體激光導論,上海人民出版社(1975)429-453.Title:Transformation-assumptionmethodforsolvingsomenonlinearpartialdierentialequationwithvariablecoecientsShuangshuangMaYubinZhouMathematicsa