奧數(shù)新講義銳角三角函數(shù)1學(xué)

1、第五講銳角三角函數(shù) 1一、銳角三角函數(shù)的定義銳角a （0° a 90°）的三角函數(shù)有：sina = Ða所對的直角邊對邊正弦：（簡記為：）斜邊斜邊Bacosa =Ða相鄰的直角邊鄰邊余弦：（簡記為：）c斜邊斜邊Ða所對的直角邊對邊正切： tana =Ða（簡記為：）相鄰的直角邊鄰邊CAbcota = Ða相鄰的直角邊鄰邊余切：（簡記為：）Ða所對的直角邊對邊斜邊斜邊正割： seca =（簡記為：）Ða所對的直角邊對邊斜邊斜邊余割： csca =（簡記為：）Ða相鄰的直角邊例如：如圖，在 RtAB

2、C 中，C=90°，則sina = a , cosa = b , tana = a , cota = b鄰邊ccba這就是直角三角形的邊角關(guān)系.二、銳角三角函數(shù)的性質(zhì)1增減性結(jié)論：當(dāng)角度在 0°90°間變化時(shí)，正弦、正切值隨角度的增大而增大；余弦、余切值隨角度的增大而減小.ìaÛ即 0° 90°bíî2A 為銳角時(shí)0 < sin A < 1 ， 0 < cos A < 1， tan A > 0 ， cot A > 03銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系，sin a = cos(90

3、 - a );cosa = sin(90 - a );cot a = tan(90 - a );（1）tan a = cot(90 - a );asinacosatanacota30°123233345°22221160°3212333（2） sin2 A + cos2 A = 1sina cosacosa sina（3） tana =cot a =tana ×cot a = 1;（4） sin a = sin(180- a )cosa = -cos(180-a )三、例題例 1已知：Rt D ABC 中，C= 90° ，BC= 5 ，AC=2

4、 5 ，求：B 的四個(gè)三角函數(shù)值。例 2RtABC 中，C=90°，若 sinA4 ，AB10，那么 BC，tanB 5Ba CAb例 3若 tan·tan16°1，且 為銳角，則 例 4設(shè) 、 互為余角，則 tan·tancot 2例 5計(jì)算下列各題：（1） sin 45° cos 60° 1 tan 30° ·cos 30° 2 sin 20° ；cos 70°3tg60° sin2 32° sin2 58°（2）2(sin 60° - si

5、n 45°)ca0°30°45°60°90°120°135°150°180°sina012223213222120cosa132221201222321tana03313不 31330cota不31330331 3不4cos30°sin 60° + (-2)-1 - ( 2009 - 2008)0 =_（3）1 ö-1æ| 3 - 2 | +20090 - ç -+ 3 tan 30°（4）÷è3 ø

6、30; 1 ö02sin 60°- 3 tan 30°+ ç+ (-1)2009（5）÷è 3 ø2a + 2a(+a + 1) ¸a -1（6）先化簡再求代數(shù)式的值其中 atan60°2sin30°2a - 1例 6計(jì)算 cos21°cos22°··· cos288°cos289°1tan a4 3例 7已知：為銳角，且 tan+=，求 sin的值.3例 8已知方程 x25x·sin10 的一個(gè)根為 2 3 ，且為

7、銳角，求 tan的值；例 9已知ABC 中，C90°，A45°，BD 為 AC 邊上中線，求 sinABD 和 tanABD 的值。例 10如圖，ABCBCD90°，AB8，sinA3 ，CD2 3 ，求CBD 的四個(gè)三角函數(shù)值。5四、練習(xí)1Rt D ABC 中，C= 90° ，AB=12，則 sinA 的值（ ）；1（A）22232（D）1（B）（C）2已知 0 90° ，下列各式一定成立（A）sin·cos1（B）tan·ctan1）；（C）sin·cos1（D）tan·ctan13在 Rt D AB

8、C 中，ACB= 90° ，CDAB 于 D，則 tanB 的值（）.BCACADCDADBDCDAD（A）（B）（C）（D）cos 60°14計(jì)算·的值是（）；1 + sin 60° tg30°（C）2 2 +（B） 433（D） 313（A）2 3 33325在 Rt D ABC 中，C= 90° ，sinA = 2 ，則 tanB 是（ ）.3253（A）55352（B）（C）（D）6在 D ABC 中，AB=AC，ABBC=31，求 sin A 和 tanB 的值；27已知：在 D ABC 中，BAC= 90° ，A

9、DBC 于 D，BD=6，CD=2，求 tanC 和 sinB 的值；8已知 sincos 2 ，求 sin·cos的值；9已知2sin2 a - 5sina cosa + 4 cos2 a = 3 ，且0 < a < 90 ，求 tan的值；10已知 2 3 是方程 x28x·cos10 的一個(gè)根，且是銳角，求 tan 3 a 的值；4511在ABC 中，C90°，若 tan A =，那么sin B 的值等于（12）5131213512125ABCDtan 45 - cos 60×cot 30 的結(jié)果為（12計(jì)算）sin 601B32D3

10、-13 - 3A1C 23213已知 tana =，則銳角的取值范圍是（）3A0°a 30°B30°a 45°C45°a 60°D60°a 90°14已知 tana + cot a = 2 ，且a 為銳角，則sina + cosa （）1A222C 2D1B15RtABC 中，C90°，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）A0sinA 1B0cosA1C0tanA1D0cotA16已知a 為銳角，下列結(jié)論（1）sina cosa 1；（2）若a 45°，則 sina cosa ；（3）若 cosa1>

11、 ，則a 60°；（4） (sina -1)2 = 1- sin a .其中正確的有（ ）2A1 個(gè)B2 個(gè)C3 個(gè)D4 個(gè)17若A，B 是 RtABC 的兩個(gè)銳角，則關(guān)于 x 的方程 tan A× x2 - 4x + tan B = 0 的根的情況為（）A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C沒有實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D不能確定18已知關(guān)于 x 的方程 x2 - (a +1)x + b = 0 的兩根是一個(gè)直角三角形兩銳角的正弦值，且 a - 5b + 2 = 0 ，則 a、b 的值分別為（）ì a = 2ì a = 2ì a = 1ìa = -2ìa = -2ïïï5122551225A íBíC ííD í3b =或b = 0b = 0îîïb =ïb =ïî5ïî&