概率多維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布教學(xué)目的：（1）使學(xué)生掌握多維隨機(jī)變量的概念及其聯(lián)合分布，理解并掌握邊際分布和隨機(jī)變量的獨立性概念； （2）使學(xué)生掌握多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，理解并掌握多維隨機(jī)變量的特征數(shù)；（3）使學(xué)生理解和掌握條件分布與條件期望.重 點：本章的重點是多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布和邊際分布、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布及條件分布、多維隨機(jī)變量的特征數(shù).難 點：難點是多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布及條件分布的求法學(xué) 時：18引入：在有些隨機(jī)現(xiàn)象中，對每個樣本點只用一個隨機(jī)變量去描述是不夠的，比如研究兒童的生長發(fā)育情況，僅研究兒童的身高或僅研究其體重都是片面的，有必要把和作為一個整體來考慮，討論它們總體變

2、化的統(tǒng)計規(guī)律性，進(jìn)一步討論和之間的關(guān)系.在有些隨機(jī)現(xiàn)象中，甚至要同時研究二個以上隨機(jī)變量.如何來研究多維隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性呢？仿照一維隨機(jī)變量，我們先研究聯(lián)合分布函數(shù)，然后研究離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列、連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù).3.1 多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布 多維隨機(jī)變量定義：如果是定義在同一個樣本空間上的個隨機(jī)變量，則稱為維（或元）隨機(jī)變量或隨機(jī)向量.在實際問題中，多維隨機(jī)變量的情況是經(jīng)常會遇到的.譬如·在研究家庭的支出情況時，我們感興趣的假定是每個家庭（樣本點）的衣食住行四個方面，若用分別表示衣食住行的花費占其家庭總收入的百分比，則就是一個四維隨機(jī)變量. 聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1

3、.2：對任意個實數(shù)，個事件同時發(fā)生的概率 被稱為維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù).本章主要研究二維隨機(jī)變量，二維以上的情況可以類似進(jìn)行.在二維隨機(jī)變量場合，聯(lián)合分布函數(shù)是事件與同時發(fā)生（交）的概率.如果將二維隨機(jī)變量看成是平面隨機(jī)點的坐標(biāo)，那么聯(lián)合分布函數(shù)在處的函數(shù)值就是隨機(jī)點落在以為右上角的無窮矩形內(nèi)的概率（見右圖）. 定理3.1.1：任何一個二維聯(lián)合分布函數(shù)必具有如下四條基本性質(zhì)（1） 單調(diào)性：分別對或是單調(diào)不減的，即·當(dāng)時，有.·當(dāng)時，有.（2） 有界性：對任意的和，有，且·；·；·；·.（3） 右連續(xù)性：對每個變量都是右連續(xù)的，即&#

4、183;；·.（4） 非負(fù)性：對任意的有證明(4): 注：任何一個二維聯(lián)合分布函數(shù)必具有以上四條基本性質(zhì)，還可證明具有以上四條性質(zhì)的二元函數(shù)一定是某個二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).即這四條性質(zhì)是判定一個二元函數(shù)是否為某個隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件，比一維情形下多了一個條件.例3.1.1：判定二元函數(shù) 是否為某個二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).解: 二元函數(shù)的圖形如右圖 由圖顯然可知二元函數(shù)滿足性質(zhì)（1）（2）（3）， 但是 所以，性質(zhì)（4）不滿足.故不是某個二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).分析：證明某個二元函數(shù)是二維分布函數(shù)需驗證滿足二維分布函數(shù)的四條性質(zhì)（1）（2）（3）（4），若證明不是二維分布函數(shù)

5、只需驗證其中一條性質(zhì)不滿足即可. 聯(lián)合分布列定義3.1.3：若二維隨機(jī)變量只取有限個或可列個數(shù)對，則稱其為二維離散隨機(jī)變量，稱為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列.還可以用表格表示成如下形式 聯(lián)合分布列的性質(zhì)：（1） 非負(fù)性：；（2） 正則性：.分析：求二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，關(guān)鍵是寫出二維離散隨機(jī)變量可能取的數(shù)對及其發(fā)生的概率.例3.1.2：從中任取一個數(shù)記為，再從中任取一數(shù)記為，求的聯(lián)合分布列及.解: 為二維隨機(jī)變量,其中的分布列為： 的可能值也是，若記為的取值，則（1）當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，由此可以算得事件的概率為： 聯(lián)合密度函數(shù)定義：如果存在二元非負(fù)函數(shù)，使得二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)可表示為則

6、稱為二維連續(xù)隨機(jī)變量，稱為的聯(lián)合密度函數(shù).注：在偏導(dǎo)數(shù)存在的點上，有.聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)（1）非負(fù)性（2）正則性 注：給出聯(lián)合密度函數(shù)，就可以求有關(guān)事件的概率了.若為平面上的一個可積區(qū)域，則事件的概率可表示為在上對密度函數(shù)的二重積分在具體使用上式運算時時，要注意代入后的新積分范圍是的非零區(qū)域與的交集部分，然后設(shè)法化二重積分為二次累次積分，最后計算出結(jié)果.例3.1.3：設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試求：（1）； （2）.解：（1） （2） 常用多維分布一、多項分布（多項分布是重要的多維離散分布，它是二項分布的推廣）進(jìn)行次獨立重復(fù)的試驗，如果每次試驗有個可能結(jié)果：且每次試驗中事件發(fā)生的概率均為，設(shè)為次

7、獨立重復(fù)的試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則維隨機(jī)變量取值為時的概率，即出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次的概率為.這個聯(lián)合分布列稱為項分布，又稱為多項分布，記為這個概率是多項式的展開式中的一項，故其和為1特別低，當(dāng)時，為二項分布.例3.1.4：一批產(chǎn)品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件.從這批產(chǎn)品中有放回地任取3件，以和分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列.解：和的可能取值都是，令 （1）時，有，即 ； （2）時，事件表示：取出的3件產(chǎn)品中有件一等品、件二等品、件三等品的件數(shù)，所以有放回地抽取時，對，有此例中的分布又叫三項分布，它是一種特殊的多項分布.二

8、、多維超幾何分布多維超幾何分布的描述：袋中有只球，其中有只號球，.記，從中任意取出只，若記為取出的只球中號球的個數(shù)，則 .例3.1.5：一批產(chǎn)品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件.從這批產(chǎn)品中不放回地任取3件，以和分別表示取出的3件產(chǎn)品中一等品、二等品的件數(shù)，求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列.解：令（1）時，有，即 ；（2）時，事件表示：取出的3件產(chǎn)品中有件一等品、件二等品、件三等品的件數(shù)，所以有放回地抽取時，對，有此例是超幾何分布的推廣，稱為三維超幾何分布，它是一種特殊的多維超幾何分布.三、多維均勻分布設(shè)為中的一個有界區(qū)域，其度量（平面上為面積，空間上為體積）為，如果多維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱服從上的多維均勻分布，記為.二維均勻分布所描述的隨機(jī)現(xiàn)象就是向平面區(qū)域中隨機(jī)投點，如果該點坐標(biāo)落在的子區(qū)域上的概率只與的面積有關(guān)，而與的位置無關(guān)，則例3.1.6：設(shè)為平面上以原點為圓心，以為半徑的圓，服從上的二維均勻分布，其密度函數(shù)為試求概率.解法一 注：解法二 （求幾何概率）因為服從上的二維均勻分布，所以 四、二元正態(tài)分布 如果二維隨機(jī)變量的聯(lián)合