平面向量回顧小結(jié)與復(fù)習(xí)對策

1、平面向量回顧小結(jié)與復(fù)習(xí)對策 湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600衡陽縣一中 王愛民 一、知識結(jié)構(gòu)：二、基本知識點：1.向量的概念：(1)向量的基本要素：大小和方向(2)向量的表示：幾何表示法 ，；坐標(biāo)表示法(3)向量的長度：即向量的大小，記作(4)特殊的向量：零向量0.單位向量為單位向量1(5)相等的向量：大小相等，方向相同(6)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作.由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量2.向量的運算：向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 3.重要定理

2、、公式(1)平面向量基本定理：是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)，使 (2)兩個向量平行的充要條件(3)兩個向量垂直的充要條件·O(4)線段的定比分點公式設(shè)點P分有向線段所成的比為，即，則 (向量公式) (坐標(biāo)公式)當(dāng)1時，得中點公式：（）或(5)平移公式 設(shè)點按向量平移后得到點，則+或，曲線按向量平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為： (6) 正弦定理：余弦定理： ，三命題趨勢四年的命題體現(xiàn)了平面向量考查的三個層次第一層次：主要考查平面向量的性質(zhì)和運算法則，以及基本運算技能，數(shù)乘要求考生掌握平面向量的和，差，數(shù)乘和內(nèi)積的運算法則，理解其直觀的幾何

3、意義，并能正確地進(jìn)行運算(2000年的考題)第二層次：主要考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運算(2001年的考題)第三層次：和其他數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合在一起，如可以和曲線，數(shù)列等基礎(chǔ)知識結(jié)合，考查邏輯推理和運算能力等綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將幾何知識和代數(shù)知識有機地結(jié)合在一起，能為多角度的展開解題思路提供廣闊的空間。題目對基礎(chǔ)知識和技能的考查一般由淺入深，入手并不難，但要圓滿完成解答，則需要嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的計算。四復(fù)習(xí)建議（1）充分認(rèn)識平面向量具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份，是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)，因此，平面向量容易成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點。（2）在基礎(chǔ)知識復(fù)

4、習(xí)時，要注意向量考查的層次，分層次進(jìn)行復(fù)習(xí)。第一層次：復(fù)習(xí)好向量本身的內(nèi)容，包括平面向量的主要概念，主要運算：和、差、數(shù)乘、內(nèi)積的運算法則，定律，幾何意義及應(yīng)用。第二層次：平面向量本身的綜合，特別是平面向量的坐標(biāo)表示，線性運算，基本定理以及內(nèi)積的應(yīng)用，以及課本例題的教學(xué)價值，例如2002年的選擇題 （2002文(12)，理(10)）平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，已知兩點，若點滿足，其中，且，則點的軌跡方程為（）（） （）（）（）這道題可以用向量的坐標(biāo)表示計算。設(shè)，由題意于是×2得于是點的軌跡方程為但是如果利用平面向量基本定理一節(jié)中課本的一道例題例5，已知不共線，則有 ，如果用表示，表

5、示，則有這里給出了共線的一個條件而2002年選擇題恰恰就是這個例題的變化，因此點在兩點確定的直線上，利用兩點式直線方程公式立即有，即從這道試題可以啟發(fā)我們，在教學(xué)中一定要落實課本，落實課本的例題，挖掘課本例題在培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力上的作用第三層次：平面向量與其它知識的結(jié)合。A與平面幾何的結(jié)合：在平行四邊形中，若，則，即菱形模型。若，則，即矩形模型。在中，是的外心；一定過的中點；通過的重心；，是的重心；，是的垂心；通過的內(nèi)心；則是的內(nèi)心；B與代數(shù)的結(jié)合 弄清實數(shù)乘積與平面向量數(shù)量積的異同點：向量的數(shù)量積與實數(shù)的積的相同點：實數(shù)的乘積向量的數(shù)量積運算的結(jié)果是一個實數(shù)運算的結(jié)果是一個實數(shù)交換律分配律 且 |

6、向量的數(shù)量積與實數(shù)的積的不同點：實數(shù)的乘積向量的數(shù)量積結(jié)合律或 代數(shù)不等式：由, ，可得 。C與解析幾何結(jié)合定比分點公式若，則是的定比分點，為定比，滿足。點向式直線方程已知點及方向向量，可確定過，以為方向向量的直線方程為 .（3）精選典型例題及練習(xí)題擴大學(xué)生的解題視野。例1、已知a=，b，c=a+b，是否存在實數(shù)，使a 與c的夾角為銳角，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由。（考查數(shù)量積的應(yīng)用及嚴(yán)密的推理能力）例2、（2005江西卷）（考查數(shù)量積與三角函數(shù)綜合）已知向量.求函數(shù)f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在0，上的單調(diào)區(qū)間.18解： =.所以，最小正周期為上單調(diào)增加，上

7、單調(diào)減少.（江西卷）已知向量.是否存在實數(shù)若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.答：時， 此題將數(shù)量積與三角函數(shù)、三角函數(shù)求導(dǎo)公式綜合，為探索型問題，題目形式新穎。例3、(全國卷) 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值. 解：設(shè)橢圓方程為則直線AB的方程為化簡得.令則 共線，得又即，故離心率為（II）證明：由（I）知，所以橢圓可化為.設(shè)，由已知得在橢圓上，即 由（I）知又又，代入得 故為定值，定值為1例4、已知，若，（）。（）求的解析式；（）若點在曲線上運動，求

8、在時的最小值；（）把的圖像按向量a平移得到曲線，過坐標(biāo)原點作交于兩點，直線交軸于點，當(dāng)為銳角時，求的取值范圍。（考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，函數(shù)的最值，圖像的平移，解不等式，解析幾何的有關(guān)知識）例5、如圖1，已知ABCD是上下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2.（）證明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小. ABOCO1Dxyz解：（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，則相關(guān)各點的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）圖3O1（0，0，）.從而所以ACBO1. （II）解：因為所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個法向量，由 得. 設(shè)二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，>， 所以cos，>=即二面角OACO1的大小是例6、一條河的兩岸平行，河寬，一小船從處出發(fā)航行到對岸，小船速度為v1，且 v1 /秒，水流速度為v2， v