數(shù)學(xué)物理方程第八章 非線性偏微分方程與積分方程

1、第8章 非線性偏微分方程與積分方程前面幾章所研究的偏微分方程都是線性的，但在工程實(shí)踐中遇上的許多問(wèn)題都是與非線性方程有關(guān)的,在有些情況下,人們?yōu)榱吮阌谘芯抗ぷ鞯恼归_(kāi),對(duì)實(shí)際問(wèn)題補(bǔ)充了一些合理的假設(shè),略去了一些次要的非線性項(xiàng),這樣得出了線性方程.可是有時(shí)這些非線性項(xiàng)很重要,無(wú)法略去,這樣我們就必須要面對(duì)非線性方程求解的問(wèn)題.在實(shí)際工作中,還經(jīng)常碰上另外一類(lèi)重要的方程積分方程，它在彈性介質(zhì)理論和流體力學(xué)中應(yīng)用很廣，本章，我們對(duì)這兩類(lèi)重要的方程做一個(gè)簡(jiǎn)單的介紹，掌握一些基本概念和方法，更深入的結(jié)果請(qǐng)查閱相關(guān)的書(shū)籍和論文。8.1 極小曲面問(wèn)題設(shè)是平面上的有界區(qū)域，它的邊界是充分光滑的，其方程為x=x(

2、s)y=y(s)(0ss0)式中，x(0)=x(s0),y(0)=y(s0)，即是一條閉曲線在空間作一條閉曲線l，其在平面上的投影為，有x=x(s)l:y=y(s)u=(s)這里(0)=(s0) (0ss0)所謂極小曲面問(wèn)題就是在區(qū)域=+上定義一張曲面S，要求（1）S以l為周界（2）在所有的S中，求表面積最小的曲面S假設(shè)空間曲面的方程為 *v=v(x,y)則由微積分的理論可知，這個(gè)曲面的表面積為于是上述極小曲面問(wèn)題就變成求一個(gè)函數(shù)u，使得（1）u=u(x,y)所表示的曲面以l為周界，即uM，其中M=vvc(),v這是一個(gè)變分問(wèn)題么u必需滿足什么樣的條件。為此，我們定義M0=vvc(),v1=0

3、,任取vM0，(u+v)xvx+(u+v)yvy+(ux+vx)+(uy+vy)ux+u+u2x2yvx+vy+u+u2x2yvydxdy=0假若u具有更好的光滑性，例如uC()，則由格林公式可得uyuxvu+vdxdy+ds=0222222x+ux+uyy+ux+uyn+ux+uy由于vM0，即v性可知=0，因此上式左端第二項(xiàng)為零，再由v的任意性及被積函數(shù)的連續(xù)uyux+=02222y+ux+uyx+ux+uyu22(1+uy)uxx2uxuyuxy+(1+ux)uyy=0這個(gè)方程通常稱為極小曲面方程。它有什么特點(diǎn)？它關(guān)于二階導(dǎo)數(shù)uxx,uxy及uyy是線性的，但它們前面的系數(shù)分別含有uy,

4、uxuy及uy，所以對(duì)ux,uy來(lái)說(shuō)它不是線性關(guān)系，特別是，如果把ux,uy，uxx,uxy及uyy同等對(duì)待，則這個(gè)方程對(duì)它們不是一個(gè)線性方程，故它是一個(gè)非線性方程。我們以極小曲面問(wèn)題為例得到了一個(gè)非線性偏微分方程。其實(shí)，在力學(xué)、物理學(xué)及幾何學(xué)中都有大量的非線性偏微分方程。例如，在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中，如果熱傳導(dǎo)系數(shù)k不是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)，則三維熱傳導(dǎo)方程為這也是一個(gè)非線性方程在流體力學(xué)中，描述粘性氣體運(yùn)動(dòng)的方程是著名的納維斯托克斯方程，其形式為3(ui)+=0ti=1xi（連續(xù)性方程）du2T11P （能量方程） +uiij)+(CpT+)=dt2jxjxjti式中d=+uiP=RT dttxi

5、iij=(uuiuj2ijl +xjxi3lxl式中，是流體密度；u=(u1,u2,u3)是流速；T是溫度；,是粘性系數(shù)；是傳熱系數(shù)；P是壓強(qiáng)；CP是定壓比熱；R是氣體系數(shù)；ij是表示粘滯力的張量；ij為克羅內(nèi)克記號(hào)，即ij=1,i=j 0ijduiui1P0,+ui=dtxiixi取1，則上述方程組為3uuiP=0ui+uii+xjxitj=1這是關(guān)于P,u1,u2,u3的非線性方程組在熱平衡問(wèn)題中，如果熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)，但物體內(nèi)含有一個(gè)依賴于溫度及溫度梯度的熱源，則可得在微分幾何中，若要求出總曲率k為已知的曲面時(shí)，就需要求解下列方程其中p=ux,q=uy,r=uxx,s=uxy,t=uyy

6、這個(gè)方程稱為蒙日安培爾方程8.2 非線性偏微分方程的概念及求解對(duì)于非線性偏微分方程，一般說(shuō)來(lái)是無(wú)法求出解的表達(dá)式的，只能求其近似解。但對(duì)一些很特殊的情形，通過(guò)適當(dāng)?shù)奈粗瘮?shù)的變換將方程化成線性方程，或者經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)處理化成可以求解的方程，下面舉例說(shuō)明。例1 在流體力學(xué)中有一個(gè)很中重要的方程叫比爾吉斯方程ut+uux=uxx是一個(gè)半線性的三階偏微分方程，為了解這個(gè)方程，令u=vx,對(duì)x積分一次可得 vt+再令v=2In則得12vx=vxx 2t=xx這是一維的線性熱傳導(dǎo)方程，對(duì)它的各種定解問(wèn)題可以用第2，3章中的方法求出它的解，有了之后就可以求出u例2 求解微分方程幾何中的劉維爾方程這是一個(gè)半

7、線性的二階方程，若令u1是的解，則再構(gòu)造一個(gè)偏微分方程組1u+u1)uu12=exx1u=u12e2(uu1)exp(f(x)g(y)/2 u=2Inexpf(x)dx+1exp(g(y)dy+12與線性方程相比，非線性方程還有一個(gè)特點(diǎn)，即它的解即使存在，也不一定對(duì)所有的時(shí)間t0都存在，而只是在某個(gè)有限時(shí)間內(nèi)存在，見(jiàn)下例例3 考慮瑞卡提方程的初值問(wèn)題dv2=v,t>0 dtv(0)=v0(v0是常數(shù))容易求出它的解v(t)=v0 1v0t顯然，若v0<0，則方程的解對(duì)所有t0都存在，簡(jiǎn)稱存在整體解；若v0>0，則當(dāng)t1v0時(shí)，v(t)+,這時(shí)解在時(shí)刻t0=局部存在的。 11產(chǎn)

8、生破裂，所以方程只在0,內(nèi)有解，簡(jiǎn)稱解是v0v0例4 考慮伯格斯方程ut+uux=uxx式中，是擴(kuò)散系數(shù)方程又可寫(xiě)成uu2=(ux)dt tx2由全微分方程存在的充要條件，有u2d=udx+(ux+dt 2u2t=ux 2這樣我們得到了g()1= g()212積分得 g()=C1e+C2即=2Inv8.3 積分方程簡(jiǎn)介在方程中，若未知函數(shù)在積分號(hào)下出下，則稱這種方程為積分方程。一般的線性積分方程，可寫(xiě)為b稱之為第一類(lèi)弗雷得霍姆方程；若h(x)=1，則有xx分別稱之為第一類(lèi)和第二類(lèi)的伏特拉方程以上各方程中，若f(x)=0，則稱之為齊次方程如果積分方程的核具有如下形式i=1n則被稱之為是退化的。具

9、有退化核的積分方程，可用初等的方法來(lái)求解。下面，我們將通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明如何求解退化核方程。例5 求解積分方程解 令 A=1A=60+,2401202B=80 2401202(24060)x+80x2由此例我們可以看到，如果核是退化的，則積分方程的求解問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解問(wèn)題，關(guān)于這方面的一系列理論稱為弗雷得霍姆定理。對(duì)于具有退化核的伏特拉方程，常常通過(guò)求微分使之變?yōu)槲⒎址匠?。我們?nèi)耘e例來(lái)說(shuō)明。 例6 求解 u(x)所以g(x)=xu(x)=xx+xg(x) 解此微分方程得g(x)=1+cex3如果核僅僅是關(guān)于(xy)的一個(gè)函數(shù)，即所謂的位移核，且積分范圍是到+，則我們可以應(yīng)用傅立葉變換來(lái)求解，考慮方程對(duì)此方程進(jìn)行傅氏變換，并記Fg(x)=g(),FK(x,y)=K(x,y