二級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立

1、二級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 專業(yè)：自研-09姓名：劉文珍 學(xué)號：2009Y01310126一、二級倒立擺系統(tǒng)的組成二級倒立擺主要由以下四部分組成:1.在有限長的軌道L上作直線運(yùn)動的小車;2.與小車鉸接在一起，并能在豎直平面內(nèi)分別繞q，q點(diǎn)轉(zhuǎn)動的下、上擺;3.驅(qū)動小車的直流力矩電機(jī)和轉(zhuǎn)輪、鋼絲等傳動部分;4.使上、下擺穩(wěn)定在垂直向上的平衡位置，且使小車穩(wěn)定在軌道中心位置附近的控制器。二級倒立擺的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1的監(jiān)督管理功能，如實(shí)時畫面，數(shù)據(jù)采集等;數(shù)據(jù)采集卡安裝在計(jì)算機(jī)內(nèi)，用完成模/數(shù)、數(shù)/模轉(zhuǎn)換;功率放大器用于電壓和功率放大;電機(jī)是系統(tǒng)的執(zhí)行元件;電位計(jì)是系統(tǒng)的測量元件，它分別檢測小車相對于軌道

2、中心點(diǎn)的相對位置、下擺相對于鉛垂線的角位移、上擺相對于下擺延長線方向的角位移。圖1 倒立擺系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)二級倒立擺系統(tǒng)的整套機(jī)械部件安裝在一個鋼架上，上面固定著導(dǎo)軌、電機(jī)底座和轉(zhuǎn)輪等裝置。通過導(dǎo)軌支架安裝好小車滑行的導(dǎo)軌，小車用電機(jī)和轉(zhuǎn)輪通過傳動鋼絲實(shí)現(xiàn)運(yùn)動。2、結(jié)構(gòu)參數(shù)通過實(shí)際物理測量，得到二級倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)如下:小車的等效質(zhì)量: =1.0kg;小車與軌道間的滑動摩擦系數(shù):=5.0kg/s;下擺的質(zhì)量:=0.1481kg;下擺半長:=0.18m;下擺繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量:=0.0019;上擺質(zhì)量:=0.0998kg;上擺半長:=0.24m;上擺繞其重心的轉(zhuǎn)動慣量: = 0.0018;上

3、、下擺重心之間的距離: =0.29m;上、下擺之間的轉(zhuǎn)動摩擦系數(shù): =0.0l/s;下擺和小車之間的轉(zhuǎn)動摩擦系數(shù):=0.01/s;電機(jī)及功率放大器的增益: =15Nt/V。3、Lagrange方程介紹Lgarnage方程為(1-1)式中T系統(tǒng)的動能函數(shù)，q，Lganarge變量，分別成為廣義坐標(biāo)和廣義速度作用于系統(tǒng)上的廣義力，(1-2)式中：V系統(tǒng)的勢能函數(shù)有勢力的廣義力非有勢力的廣義力將式(2-2)代入式(2-l)得二、二級倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)二級倒立擺是一個多變量、快速、非線性、強(qiáng)禍合、和絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為了簡化建立數(shù)學(xué)模型的過程，我們做了以下假設(shè):1.上擺、下擺都是一個均勻的剛體;2.

4、力矩電機(jī)的輸出驅(qū)動力與其輸入電壓成正比，且無滯后地直接作用在小車上;3.車與軌道間的摩擦力僅與小車的速度成正比，下擺與車絞接處的摩擦力僅與擺的角速度成正比，上、下擺絞接處的摩擦力僅與擺的角速度成正比;4.忽略電機(jī)的電感;5.忽略鋼絲的彈性。在以上假設(shè)前提下，我們采用分析力學(xué)中的Lganarge方程來建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。令:為水平導(dǎo)軌運(yùn)動的位移，拭、氏分別為下擺和上擺偏移豎直方向的角度。由于系統(tǒng)存在著摩擦力，屬于一個耗散系統(tǒng)，因此式(2-3)部分應(yīng)該加上耗能部分，對于同時受到保守力和耗散力作用的倒立擺系統(tǒng)的Lagrange方程為:式中： 廣義坐標(biāo)，即r、非有勢廣義力，當(dāng)=r時，=,U為控制量，為

5、增益常數(shù)，當(dāng)=、時，=0T、V、D分別是系統(tǒng)的動能、勢能和消耗能、 (1-5)式中： n倒立擺的級數(shù)，這里n=2小車和各級倒擺的動能小車和各級倒擺的勢能小車和各級倒擺的消耗能將上述各式，(i=0，1，2)代入式(2-4)，得二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型為式(2-6)式是一個非線性向量微分方程。考慮到系統(tǒng)工作時，是在平衡位置附近運(yùn)動，可將式(2-6)在u=0的平衡位置r=0附近線性化，以線性化后的方程來代替式(2-6)的非線性向量微分方程。具體線性化是忽略二次以上的項(xiàng)(或因?yàn)?，在以?nèi)，故，)，可求出關(guān)于dr，d，d的線性化微分方程，而后將dr，d，d改寫成r，便可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)物理模型的實(shí)測數(shù)

6、據(jù)，可求得平衡點(diǎn)處的常數(shù)陣: 利用Matlab中的求逆命令，可以解得陣所以，對式（2-6）進(jìn)行線性化后，系統(tǒng)狀態(tài)方程為：對于下擺有轉(zhuǎn)角時，取上擺的相對角位移為，故令故式（2-7）可改寫為定義狀態(tài)向量x為則由式（2-8）可得將物理模型的實(shí)測參數(shù)代入式（2-9），得到二級倒立擺的系數(shù)矩陣為由此可知，二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為式中：A= 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -1.9600 0.0940 -4.8000 0.0040 -0.0040 0 46.1200 -25.0100 18.7600 -0.1300 0.2400

7、0 -51.0100 78.1600 -20.7500 0.2400 -0.5700B= 0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532C= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0系統(tǒng)狀態(tài)圖：首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。程序如下：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.

8、4137 -52.2864 62.2532;B1=B'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rct=rank(ctrb(A,B1)計(jì)算結(jié)果為：rct = 6根據(jù)判別系統(tǒng)能控性的定理，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的。因?yàn)橄到y(tǒng)是能控的，所以，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置極點(diǎn)。不失一般性，不妨將極點(diǎn)配置在 s1=-6,s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5,s5=-8,s6=-8.5在MATLAB中輸入程序：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.

9、004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B'P=-6 -6.5 -7 -7.5 -8 -8.5 ;K=place(A,B1,P)計(jì)算結(jié)果為：K = 4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320 5.7267因此，求出狀態(tài)反饋矩陣為 K = 4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320 5.7267采用MATLAB/Simulink構(gòu)造二級倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的

10、仿真模型，如下圖所示。 三、 狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置及其仿真首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能觀性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序 A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rob=rank(obsv(

11、A,C)rob = 6因?yàn)樵撓到y(tǒng)的能觀測性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能觀測的。因?yàn)橄到y(tǒng)是能觀測的，所以，可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器。而系統(tǒng)又是能控的，因此可以通過狀態(tài)觀測器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器矩陣，使的特征值的實(shí)部均為負(fù)，且其絕對值要大于狀態(tài)反饋所配置極點(diǎn)的絕對值。通過仿真發(fā)現(xiàn)，這樣才能保證狀態(tài)觀測器有足夠快的收斂速度，才能夠保證使用狀態(tài)觀測器所觀測到的狀態(tài)與原系統(tǒng)的狀態(tài)充分接近。不妨取狀態(tài)觀測器的特征值為： 輸入以下命令：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;A1=A'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;C1=C'P=-20 -21 -22 -23 -24 -25;G1=place(A1,C1,P);G=G1'求出狀態(tài)觀測器矩陣為：G = 38.2600 0.1197 -0.2836 17.7903 44.7264 0.7555 -17.4652 0.6889 46.5137 275.9610 1.1437 -5.5261 690.80