二輪復(fù)習(xí)極限導(dǎo)數(shù)和復(fù)數(shù)難

1、高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)教案：極限導(dǎo)數(shù)和復(fù)數(shù)一、本章知識結(jié)構(gòu)：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)分類復(fù)數(shù)相等的充要條件共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的加法法則復(fù)數(shù)的減法法則復(fù)數(shù)的乘法法則復(fù)數(shù)的除法法則（abi）（cdi）（ac）（bd）i復(fù)數(shù)加法的幾何意義（abi）（cdi）（ac）（bd）i復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)平面上兩點間的距離dz1z2（abi）（cdi）（acbd）（adbc）ii二、重點知識回顧（一）極限1、數(shù)學(xué)歸納法是一種用遞歸方法來證明與正整數(shù)有關(guān)命題的重要方法，它是完全歸納法中的一種。論證問題分為兩步：（1） 證明當(dāng)n取第一個值時結(jié)論正確；（2） 假設(shè)當(dāng)n=k(k且k)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k

2、+1時結(jié)論也正確。由（1）、（2）斷定命題對于從開始的一切正整數(shù)都成立。2、數(shù)列極限的定義設(shè)是一個無窮數(shù)列，A是一個常數(shù)，如果對于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)nN，就有|-A|，那么就說數(shù)列以A為極限（或A是數(shù)列的極限），記作=A。3、數(shù)列極限的運算法則如果=A，=B，那么(1) ()=AB； (2) ()=AB（3） （4）（c）= c=cA（c為常數(shù)）極限運算法則中的各個極限都應(yīng)存在，都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個。在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限。4、特殊數(shù)列的極限（1）C=C（C為常數(shù)）（2） 0（|a|1

3、）= 1（a=l 不存在（|a|1或a=-1）(3) =0(0的常數(shù))(4) （當(dāng)k=時）= 0（當(dāng)k時 不存在（當(dāng)k時）說明：欲求極限的式子中，含有項數(shù)與n有關(guān)的“和式”或“積式”，應(yīng)先求和或積。5、常見的數(shù)列極限的類型和求法（1）“”型，分子、分母分別求和再轉(zhuǎn)化。（2）“”型，分子、分母先求和，再化簡，轉(zhuǎn)化為有極限。（3）“”型，將其看作分母為1的分式，轉(zhuǎn)化求極限。6、與和之間的關(guān)系=a =a。如果在點處左、右極限都存在并且等值，則在點處的極限也存在，并且與左、右極限值相同；如果 在處的左、右極限至少有一個不存在，或者左、右極限都存在但不等值，則函數(shù)在點處沒有極限，這種關(guān)系也反映出、也都在

4、處連續(xù)。（二）導(dǎo)數(shù)1.有關(guān)概念平均變化率：函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線上點（）處的切線的斜率說明：.導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以簡記為“k=”,強化這一句話“斜率導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)斜率” .曲線在點（）處的切線方程為3.導(dǎo)數(shù)的物理意義：s=s(t)是物體運動的位移函數(shù)，物體在t=時刻的瞬時速度是說明：.物理意義在教材上只是以引例形式出現(xiàn)，教學(xué)大綱對它的要求不高，知道即可。.物理意義可以簡記為=4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 5、求導(dǎo)法則 ，（v0）6、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) （三）復(fù)數(shù)1復(fù)數(shù)及分類形如abi（a，bR）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a為實部，b為虛部，ii是虛數(shù)單位，且滿足ii21.復(fù)數(shù)zab

5、i（a，bR）2復(fù)數(shù)相等的充要條件abicdiac，bd（a，b，c，dR）. 特別地abi0ab0（a，bR）.3i的冪i4n1，i4n+1i，i4n+21，i4n+3i（nZ）.4復(fù)數(shù)的加法和減法（abi）（cdi）（ac）（bd）i（a，b，c，dR）.5復(fù)數(shù)的乘法和除法復(fù)數(shù)的乘法按多項式相乘進行，即（abi）（cdi）acadibcibdi2（acbd）（adbc）i.復(fù)數(shù)除法是乘法的逆運算，其實質(zhì)是分母實數(shù)化.6共軛復(fù)數(shù)zabi與abi互為共軛復(fù)數(shù)。7復(fù)數(shù)的模設(shè)zabi，則復(fù)數(shù)的模：zr8復(fù)數(shù)與點的軌跡復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點是一一對應(yīng)的。兩點間的距離公式：dz1z2；圓的方程：zPr（以

6、點P為圓心，r為半徑）；三、考點剖析考點一：數(shù)學(xué)歸納法【內(nèi)容解讀】數(shù)學(xué)歸納法的表述嚴(yán)格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不可。第一步是命題遞推的基礎(chǔ)；第二步是遞推的依據(jù)，是論證過程的關(guān)鍵。在論證時，第一步驗算n=中的n不一定為1，根據(jù)題目的要求，有時可為2，3等。第二步證明n=k+1時命題也成立的過程中，歸納假設(shè)P（k）起著“已知條件”的作用，必須利用歸納假設(shè)P（k），恰當(dāng)?shù)耐ㄟ^推理和運算推出P（k+1），否則就不是數(shù)學(xué)歸納法。第二步證明的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”。數(shù)學(xué)歸納法的兩步分別是數(shù)學(xué)歸納法的兩個必要條件，兩者缺一不可，兩步均予以證明才具備了充分性，也就是完成了這兩步的證明才能斷定命題的正確性。

7、【命題規(guī)律】數(shù)學(xué)歸納法一般出現(xiàn)在解答題中，與數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容結(jié)合，難度屬中等偏難。例1、（2007全國1理22）已知數(shù)列中，（）求的通項公式；（）若數(shù)列中，證明：，例2、（2008浙江）已知數(shù)列，記：，求證：當(dāng)時，（）；（）；（）考點二：極限的求解【內(nèi)容解讀】極限主要包括數(shù)列極限和函數(shù)極限，掌握幾個重要極限的求法，極限的四則運算等內(nèi)容；理解函數(shù)在一點處的極限，并會求函數(shù)在一點處的極限已知函數(shù)的左、右極限，會求函數(shù)在一點處的左右極限 【命題規(guī)律】極限在高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中起著橋梁作用，是中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接點，是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是高考的熱點之一。一般以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn)，難

8、度適中。例3、（2008陜西卷13），則 例4、（2008重慶卷）已知函數(shù)f(x)= ，點在x=0處連續(xù)，則 .例5、（2007湖北理）已知和是兩個不相等的正整數(shù)，且，則（ ）A0B1CD考點三：導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題【內(nèi)容解讀】1、了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，體會導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；2、通過函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3、能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4、了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；5、了解函數(shù)在某取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，以及

9、閉區(qū)間上函數(shù)的最大值和最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性有效性；5、會用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決一些實際問題，如生活中的最優(yōu)化問題等?！久}規(guī)律】考查導(dǎo)數(shù)的概念、切線方程、導(dǎo)數(shù)的計算等內(nèi)容，在高考中經(jīng)常以填空題或選擇題為主要題型，難度不大；考查單調(diào)性、極值、最值等問題及應(yīng)用問題，以中檔題為主，題型以解答題為主。例6、(2008福建)如果函數(shù)的圖像如右圖,那么導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（）例7、(2008廣東文)設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（ ）A B. C. D. 例8、(2008湖北理)若f(x)=上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（ ）A.-1，+ B.（-1，+） C.（-，-1） D.（-，-1

10、）例9、(2008全國卷文) 曲線在點處的切線的傾斜角為（ ）A30B45C60D120例10、（2008安徽文）設(shè)函數(shù)為實數(shù)。（）已知函數(shù)在處取得極值，求的值； （）已知不等式對任意都成立，求實數(shù)的取值范圍。 例11、(2008廣東文)某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費用為560+48x（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=）例12、(2008湖北理)水庫的蓄水量隨時間而變化，

11、現(xiàn)用t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V（t）=（）該水庫的蓄求量小于50的時期稱為枯水期.以i-1tt表示第1月份（i=1,2,12）,同一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？（）求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計算）.考點四：復(fù)數(shù)【內(nèi)容解讀】本章重點是復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)形式的運算.難點是復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)數(shù)的三角形式及其運算.【命題規(guī)律】復(fù)數(shù)的概念及其運算是高考命題熱點，從近幾年高考試題來看，主要考查復(fù)數(shù)的概念及其運算，難度不大。例11、(2008福建理) 若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A.1B.2C.1或2D.-1例1

12、2、(2008江西理) 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限例13、(2008湖南理)復(fù)數(shù)等于( )A.8 B.8 C.8iD.8i 例14、(2008上海文)若是實系數(shù)方程的一個虛根，且，則 例15、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|z| = 2，求|z1|的最小值四、方法總結(jié)與2009年高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1.極限的概念和運算法則是微積分中最重要的工具，也是學(xué)好導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)。它是歷年高考的重點考查內(nèi)容，多與分類討論相結(jié)合。通常與數(shù)列結(jié)合的題目要多一些，解答時要求先求出數(shù)列的通項公式或是前項和公式再求極限。求函數(shù)的極限時，經(jīng)常要用到常見函數(shù)的極限及兩個重要極限（解

13、決函數(shù)極限的小題時可用洛畢達(dá)法則）。通過恒等變形用函數(shù)極限的四則運算法則求相關(guān)函數(shù)的極限，或利用初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點處的極限值等于該點函數(shù)值求函數(shù)的極限或利用函數(shù)的極限判定函數(shù)在給定點處的連續(xù)性。歸納法也是本章常見的考查點，一定要注意用數(shù)學(xué)歸納法解題時的步驟。2.導(dǎo)數(shù)是中學(xué)限選內(nèi)容中較為重要的知識，由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決所學(xué)過的有關(guān)函數(shù)問題提供了一般性方法，是解決實際問題強有力的工具。導(dǎo)數(shù)的概念及其運算是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考重點考查的對象。要牢記導(dǎo)數(shù)公式，熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握求導(dǎo)數(shù)的方法。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景。3

14、、復(fù)數(shù)的概念，搞清楚實部與虛部，1，共軛復(fù)數(shù)等概念，及復(fù)數(shù)和運算。（二）2009年高考預(yù)測函數(shù)極限和數(shù)列極限仍然以選擇或填空題為主，有時會在解答題的最后一問出現(xiàn)難度中等或偏易。（文科生對函數(shù)極限不做要求） 導(dǎo)數(shù)的考查方式以客觀題為主，主要考查求導(dǎo)數(shù)的基本公式和法則，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義。也可以解答題的形式出現(xiàn)，即以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為背景設(shè)置成導(dǎo)數(shù)與解析幾何的綜合題。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是重點，側(cè)重于利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值、值域問題，側(cè)重于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，即導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合應(yīng)用。復(fù)數(shù)的概念及運算仍是考查的重點內(nèi)容，以選擇或填空題為主。五、復(fù)習(xí)建議1.極限內(nèi)容和簡單的函數(shù)求導(dǎo)在高考中

15、以填空題和解答題為主?？忌鷳?yīng)立足基礎(chǔ)只是和基本方法的復(fù)習(xí)，以課本題目為主，以熟練技能，鞏固概念為目標(biāo)。2.對極限和導(dǎo)數(shù)的概念以及導(dǎo)數(shù)的實際背景一定要深入了解。3.題目的難度要控制好，不要太難，應(yīng)以方法的本質(zhì)為主。4.有意識地與解析幾何（特別是切線、最值）、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、最值、二次函數(shù)、方程、不等式等進行交匯，綜合運用。特別是精選一些以導(dǎo)數(shù)為工具分析和解決一些函數(shù)問題，以及一些實際問題中的最大（?。┲祮栴}。5、掌握復(fù)數(shù)的概念及運算性質(zhì)。三、考點剖析答案例1解：（）由題設(shè)：，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即的通項公式為，（）用數(shù)學(xué)歸納法證明（）當(dāng)時，因，所以，結(jié)論成立（）假設(shè)當(dāng)

16、時，結(jié)論成立，即，也即當(dāng)時，又，所以也就是說，當(dāng)時，結(jié)論成立根據(jù)（）和（）知，點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，與數(shù)列、不等式等結(jié)合，屬中等偏難的試題。例2（）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，因為是方程的正根，所以假設(shè)當(dāng)時，因為 ，所以即當(dāng)時，也成立根據(jù)和，可知對任何都成立（）證明：由，（），得因為，所以由及得，所以（）證明：由，得所以，于是，故當(dāng)時，又因為，所以點評：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力 考點二：極限的求解例3 解：點評：數(shù)列極限是高考熱點題型之一，掌握幾種類型的求解方法。例4 解： 又 點在x=0處連續(xù)，所以 即 故點評：在

17、點處的極限值等于這點的函數(shù)值，即。函數(shù)在處連續(xù)，反映在圖像上是的圖像在點x=處是不間斷的。例5解：方法一 特殊值法，由題意取，則，可見應(yīng)選C方法二 令，分別取和，則原式化為所以原式=（分子、分母1的個數(shù)分別為個、個）點評：本題考察數(shù)列的極限和運算法則，可用特殊值探索結(jié)論，即同時考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運用極限運算法則時，首先化簡變形，后用法則即可。本題也體現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用?？键c三：導(dǎo)數(shù)的相關(guān)問題例6解：由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正負(fù)正負(fù),只有答案A滿足.點評：深刻理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵。例7、解：依題意，有有大于0的實根,數(shù)形結(jié)合

18、令,則兩曲線交點在第一象限,結(jié)合圖像易得,選A.點評：畫出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。例8、解：由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故為正確答案點評：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)在該區(qū)間上是減函數(shù)，反之也成立。如果在某區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)。例9、解：，在點（1,3）處切線的斜率為：k31221，所以傾斜角為45，選（B）。點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在某點處的切線的斜率問題。例10、解: (1) ，由于函數(shù)在時取得極值，所以 即 (2) 方法一：由題設(shè)知：對任意都成立 即對任意都成立 設(shè) , 則對任意，為單調(diào)遞增函數(shù) 所以對

19、任意，恒成立的充分必要條件是 即 ， 于是的取值范圍是 方法二：由題設(shè)知：對任意都成立 即對任意都成立 于是對任意都成立，即，于是的取值范圍是點評：函數(shù)在某點處取得極值，則在這點處的導(dǎo)數(shù)為0，反過來，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某點的值為0，則在函數(shù)這點處取得極值。例11、解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為元，依題意得則，令，即，解得當(dāng)時，；當(dāng)時，因此，當(dāng)時，取得最小值，元.答：為了使樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層。點評：本題是導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，求最值問題，經(jīng)常就是求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在極值處取得最值。例12、解：（）當(dāng)0t10時，V(t)=(-t2+14t-40)化簡得t2-14t+400,解得t4，或t10，又0t10，故0t4.當(dāng)10t12時，V（t）4（t-10）（3t-