專題五數(shù)列6

1、專題五 數(shù)列本專題的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念、兩個(gè)基本數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列這部分知識(shí)應(yīng)該是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容考察數(shù)列知識(shí)時(shí)往往與其他知識(shí)聯(lián)系起來，特別是函數(shù)知識(shí)數(shù)列本身就可以看作特殊(定義在N*)的函數(shù)因此解決數(shù)列問題常常要用到函數(shù)的知識(shí)，進(jìn)一步涉及方程與不等式本專題的重點(diǎn)還是在兩個(gè)基本數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列，包括概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式§51 數(shù)列的概念【知識(shí)要點(diǎn)】1從函數(shù)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)函數(shù)，通過函數(shù)的表示方法，來認(rèn)識(shí)數(shù)列的表示方法，從而得到數(shù)列的常用表示方法通項(xiàng)公式，即：anf(n)2對數(shù)列特有的表示方法遞推法有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)會(huì)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，并由此猜測數(shù)列的一

2、個(gè)通項(xiàng)公式3明確數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系：Sna1a2an；特別注意對項(xiàng)數(shù)n的要求，這相當(dāng)于函數(shù)中的定義域【復(fù)習(xí)要求】1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)【例題分析】例1 根據(jù)數(shù)列的前五項(xiàng)寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)，； (2)2，6，18，54，162；(3)9，99，999，9999，99999； (4)1，0，1，0，1，0分析：本題需要觀察每一項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間存在的函數(shù)關(guān)系，猜想出一個(gè)通項(xiàng)公式這種通過特殊的元素得到一般的規(guī)律是解決問題的常用方法，但得到的規(guī)律不一定正確，可經(jīng)過證明來驗(yàn)證你的結(jié)論解：(1) ； (2)a

3、n2×(3)n1； (3)an10n1； (4) 評(píng)析：(1)中分?jǐn)?shù)的考察要把分子、分母分開考察，當(dāng)然有時(shí)分子分母之間有關(guān)系；(2)中正負(fù)相間的情況一定與(1)的方次有關(guān)；(3)中的情況可以擴(kuò)展為7，77，777，7777，77777an(10n1)；(4)中的分段函數(shù)的寫法再一次體現(xiàn)出數(shù)列是特殊的函數(shù)，也可寫成，但這種寫法要求較高例2 已知：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，求：數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，(1)Snn22n2； (2)Sn()n1分析：已知數(shù)列前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式an的題目一定要考慮n1與n2兩種情況，即：anSnSn1不包含a1，實(shí)際上相當(dāng)于函數(shù)中對定義域的要求解：(1)當(dāng)

4、n1時(shí)，a1S11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n3，則(2)當(dāng)n1時(shí)，a1S1，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，此公式也適合n1時(shí)的情況，則an評(píng)析：分情況求出通項(xiàng)公式an后，應(yīng)考察兩個(gè)式子是否能夠統(tǒng)一在一起，如果能夠統(tǒng)一還是寫成一個(gè)式子更加簡潔；如果不能統(tǒng)一就要寫成分段函數(shù)的形式，總之分情況討論后，應(yīng)該有一個(gè)總結(jié)性結(jié)論例3 已知：數(shù)列an中，a10，an1an2n1，(1)寫出此數(shù)列的前4項(xiàng)；(2)根據(jù)前4項(xiàng)，猜出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式分析：這種歸納、猜想、證明的方法是解決問題中經(jīng)常用到的，本題不要求證明，只是考察學(xué)生的歸納、猜想能力解：(1)a10，a2a12×111，a3a22×

5、;214，a4a32×319(2)根據(jù)an與n的關(guān)系，由此得出an(n1)2評(píng)析：這種猜想的問題中，特殊元素的計(jì)算一定要準(zhǔn)確(尤其每一個(gè)結(jié)果要用到下一步運(yùn)算)，否則猜想不出來或猜想錯(cuò)誤例4 完成下列各題：(1)數(shù)列an中，a12，an1anln(1)，則a3等于( )(A)2ln3(B)22ln3(C)23ln3(D)4(2)已知數(shù)列an對任意的p，qN*滿足apqapaq，且a26，那么a10等于( )(A)165(B)33(C)30(D)21(3)數(shù)列an中，an4n，a1a2anan2bn，nN*，其中a，b為常數(shù)，則ab_分析：本題中三個(gè)小題都涉及數(shù)列的遞推關(guān)系，這類問題，最

6、好的辦法是給n賦值，通過特殊的項(xiàng)找到一般的規(guī)律解：(1)an1anln(1)ananln(n1)lnn，a2a1ln(11)ln12ln2，a3a2ln(21)ln22ln3選A(2)apqapaq，a2a11a1a16a13，a3a21a2a1639，a5a32a3a29615，a10a55a5a530選C(3)a1a2anan2bn，an4n，ab1評(píng)析：這種通過特殊的項(xiàng)解決數(shù)列問題的方法今后經(jīng)常用到，希望大家掌握練習(xí)51一、選擇題1數(shù)列，的通項(xiàng)公式為( )(A)(B)(C)(D)2若數(shù)列的前四項(xiàng)是3，12，30，60，則此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是( )(A)(B)5n26n4(C)(D)3數(shù)

7、列an中，若a11，a21，an2an1an，則a7( )(A)11(B)12(C)13(D)144若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snan1，則an( )(A)(B)(C)(D)二、填空題5數(shù)列2，5，2，5，的一個(gè)通項(xiàng)公式_6數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，數(shù)列an的前4項(xiàng)是_，an_7若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n23n1，則它的通項(xiàng)公式是_8若數(shù)列an的前n項(xiàng)積為n2，則a3a5_三、解答題9已知：數(shù)列an中，若a1，a1a2annan，求數(shù)列an前4項(xiàng)，并猜想數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式10已知：數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，求數(shù)列的第50項(xiàng)§52 等差數(shù)列與等比數(shù)列【

8、知識(shí)要點(diǎn)】1熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義anan1d(常數(shù))(n2)數(shù)列an是等差數(shù)列；(常數(shù))(n2)數(shù)列an是等比數(shù)列；由定義知：等差數(shù)列中的項(xiàng)an及公差d均可在R中取值，但等比數(shù)列中的項(xiàng)an及公比q均為非零實(shí)數(shù)應(yīng)該注意到，等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)，也是判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列的唯一依據(jù)2明確等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的概念，并能運(yùn)用之解決數(shù)列問題ba、b、c成等差數(shù)列，b叫做a、c的等差中項(xiàng)，由此看出：任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng)，且等差中項(xiàng)唯一；若abc0，且b2aca、b、c成等比數(shù)列，b叫做a、c的等比中項(xiàng)，由此看出：只有同號(hào)的兩個(gè)實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)不

9、唯一3靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和公式Sn等差數(shù)列an中：anam(nm)da1(n1)d，Sn；等比數(shù)列an中：anamqnma1qn1，4函數(shù)與方程的思想運(yùn)用到解決數(shù)列問題之中等差數(shù)列、等比數(shù)列中，首項(xiàng)a1、末項(xiàng)an、項(xiàng)數(shù)n，公差d(公比q)、前n項(xiàng)和Sn，五個(gè)量中，已知三個(gè)量，根據(jù)通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，列出方程可得另外兩個(gè)量；等差數(shù)列中，andna1d、Snn2(a1)n，可看作一次函數(shù)與二次函數(shù)的形式，利用函數(shù)的性質(zhì)可以解決數(shù)列問題5等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列an中：若mnpq，則amanapaq；等比數(shù)列an中：若mnpq，則am·anap&#

10、183;aq【復(fù)習(xí)要求】1理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系【例題分析】例1 完成下列各題：(1)等差數(shù)列an中，若a2a812，則a5( )(A)7(B)6(C)5(D)4(2)若等差數(shù)列an滿足a2a44，a3a510，則它的前10項(xiàng)的和S10( )(A)138(B)135(C)95(D)23分析：本題在于考察等差數(shù)列的基本知識(shí)，通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式是一切有關(guān)數(shù)列中考察的重點(diǎn)解：(1)數(shù)列an是等差數(shù)列，a2a8a5

11、3da53d2a512，a56選B(2)等差數(shù)列an中a2a44，a3a510，a32，a45，公差d3，首項(xiàng)a14，a10a19d42723，S10×1095選C評(píng)析：本題中涉及等差數(shù)列中的重要性質(zhì)：若mnpq，則amanapaq，(1)中可直接應(yīng)用這一性質(zhì)：a2a8a5a52a5得到結(jié)論，但題中所給的答案可看作這一性質(zhì)的證明，同時(shí)，等差數(shù)列中通項(xiàng)公式并不一定要用首項(xiàng)表示，可以從任何一項(xiàng)開始表示an，這也是常用的方法例2 已知：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S516，S1064，求S15分析：本題可對等差數(shù)列的知識(shí)加以進(jìn)一步考察，可以用求和公式，也可運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)加以解決解：

12、方法一：由可得，所以S1515a1d144方法二：等差數(shù)列中a1a2a3a4a5、a6a7a8a9a10，a11a12a13a14a15這三項(xiàng)也構(gòu)成等差數(shù)列，即：由a1a2a3a4a5S516，a6a7a8a9a10S10S5641648，a11a12a13a14a15S15S10S1564，可得2×4816S1564，S15144方法三：S10S6×5641648，a6a10，a1a15a6a10，S15×15144評(píng)析：本題中方法一是直接應(yīng)用前n項(xiàng)和公式，得出首項(xiàng)與公差，再用公式得出所求，應(yīng)是基本方法，但運(yùn)算較繁瑣；方法二充分注意到等差數(shù)列這一條件，得到的結(jié)論

13、可以擴(kuò)展為等差數(shù)列中第1個(gè)n項(xiàng)和、第2個(gè)n項(xiàng)和、第n個(gè)n項(xiàng)和仍然成等差數(shù)列，你知道這時(shí)的公差與原數(shù)列的公差的關(guān)系嗎？這一方法希望大家掌握；方法三是前n項(xiàng)和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，大家可以借鑒例3 完成下列各題：(1)等比數(shù)列an中，若a22，a5，則公比q( )(A)(B)2(C)2(D)(2)等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a36，則a7( )(A)64(B)81(C)128(D)243(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S102，S3014，則S40( )(A)80(B)30(C)26(D)16分析：本題中各小題是在運(yùn)用等比數(shù)列的基本知識(shí)來解決，通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公

14、式要熟練運(yùn)用解：(1)數(shù)列an是等比數(shù)列，a5a2q3，即：2q3，q選D(2)數(shù)列an是等比數(shù)列，a7a1·q62664選A(3)方法一 等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(*)，兩式相除：7，即：1q10q207所以q102或q103(舍)把q102代入(*)中得到：2，S40(2)(124)30選B方法二 a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30，a31a32a40，也構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)新等比數(shù)列的公比為p，則：a1a2a10S102，a11a12a202p，a21a22a302p2S3022p2p214，p3或p2，等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，p2，a1a2a102、

15、a11a12a204、a21a22a308、a31a32a4016，S402481630評(píng)析：(1)中是通項(xiàng)公式的變形使用，即：anam·qnm(等差數(shù)列也有類似的表示)，(3)中方法一仍是解決此類問題的基本方法，注意把看成整體來求，方法二沿用了前面等差數(shù)列中此類問題解決的一個(gè)方法，這在等比數(shù)列中也適用，即：等比數(shù)列中第1個(gè)n項(xiàng)和、第2個(gè)n項(xiàng)和、第n個(gè)n項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列，同樣，你知道這時(shí)的公比與原數(shù)列的公比的關(guān)系嗎？例4 已知：等差數(shù)列an中，且bn(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)若a11，求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式分析：運(yùn)用等差數(shù)列的兩個(gè)公式兩個(gè)數(shù)列都是等差數(shù)列，所求通項(xiàng)就

16、離不開首項(xiàng)和公差解：(1)數(shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，a1a2an×n，bn，bnbn1(n2)，數(shù)列bn是等差數(shù)列，公差為(2)bn，b1a11，數(shù)列an、bn是等差數(shù)列，d，an1(n1)×.評(píng)析：(1)是證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列的問題，采取的方法只能是運(yùn)用定義，滿足定義就是，不滿足定義就不是例5 已知：等差數(shù)列an中，a312，S120，S130求：數(shù)列an的公差d的取值范圍分析：按照所給的條件，明顯的是把兩個(gè)不等的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差d的不等式解：數(shù)列an是等差數(shù)列，即：，即：d3評(píng)析：也可直接運(yùn)用Snna1得到關(guān)于a1與d的不等式，再通過通項(xiàng)公式得到a3與a1

17、的關(guān)系，進(jìn)而求出d范圍例6 已知四個(gè)數(shù)中，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，第一、四個(gè)數(shù)的和為16，第二、三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù)分析：本題中，方程的思想得到明顯的體現(xiàn)，實(shí)際上數(shù)列問題總體上就是解方程的問題，根據(jù)所給的條件，加上通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程，解未知數(shù)，通過前面的例題大家應(yīng)該有所體會(huì)了解：方法一：設(shè)這四個(gè)數(shù)為：a，b，12b，16a則根據(jù)題意得：或，則這四個(gè)數(shù)為：0、4、8、16或15、9、3、1方法二：設(shè)這四個(gè)數(shù)為：ad，a，ad，則根據(jù)題意得：或，則這四個(gè)數(shù)為：0、4、8、16或15、9、3、1評(píng)析：列方程首先就要設(shè)未知數(shù)，題目中要求四個(gè)數(shù)，但不要就設(shè)四個(gè)未知數(shù)，

18、要知道，方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)一樣時(shí)才有可能解出，因此在設(shè)未知數(shù)時(shí)就要用到題目中的條件方法一是用“和”設(shè)未知數(shù)，用數(shù)列方程；方法二是用數(shù)列設(shè)未知數(shù)，用“和”列方程例7 在等差數(shù)列an中，a410，且a5，a6，a10成等比數(shù)列求：數(shù)列an前20項(xiàng)的和S20分析：本題最后要求的是等差數(shù)列的前20項(xiàng)和，因此，求首項(xiàng)、公差以及通項(xiàng)公式就是必不可少的解：數(shù)列an是等差數(shù)列，a5a4d10d，a6a42d102d，a10a46d106d，a5，a6，a10成等比數(shù)列，aa5·a10，即(102d)2(10d)(106d)，d0或d15，當(dāng)d0時(shí)，ana410，S20200；當(dāng)d15時(shí)，ana

19、4(n4)d15n70，1750評(píng)析：在等差、等比數(shù)列綜合問題中，往往出現(xiàn)多解的情況，對于多個(gè)解都要一一加以驗(yàn)證，即使不合題意也要說明，然后舍去例8 在等差數(shù)列an中，an3n16，在數(shù)列bn中，bn|an|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn分析：由于對含有絕對值的問題要加以討論，因此所求的前n項(xiàng)和Sn應(yīng)該寫成分段函數(shù)的形式解：(1)當(dāng)n5時(shí)，an0，則：bn|an|163n，且b113，Sn(2)當(dāng)n6時(shí)，an0，bn|an|3n16，所以S535，b62，Sn，由(1)(2)知：Sn評(píng)析：當(dāng)n6時(shí)，前5項(xiàng)和要加在Sn中本題得到的結(jié)果形式上比較復(fù)雜，可通過賦值的方法加以驗(yàn)證練習(xí)52一、選擇題1實(shí)數(shù)、

20、的等差中項(xiàng)是( )(A)(B)(C)(D)2若等差數(shù)列的首項(xiàng)是24，且從第10項(xiàng)開始大于零，則公差d的取值范圍是( )(A)d(B)d3(C)d3(D)d33等比數(shù)列an中，若a1a240，a3a460，則a7a8( )(A)80(B)90(C)100(D)1354等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S41，S84，則a17a18a19a20( )(A)7(B)8(C)9(D)10二、填空題5(1)等差數(shù)列an中，a6a7a860，則a3a11_；(2)等比數(shù)列an中，a6·a7·a864，則a3·a11_；(3)等差數(shù)列an中，a39，a93，則a12_；(4)等比

21、數(shù)列an中，a39，a93，則a12_6等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，若a11，a516，則數(shù)列an前7項(xiàng)的和為_7等差數(shù)列an中，若an2n25，則前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)n_8等比數(shù)列an中，a5a6512，a3a8124，若公比為整數(shù)，則a10_三、解答題9求前100個(gè)自然數(shù)中，除以7余2的所有數(shù)的和10三個(gè)互不相等的數(shù)成等差數(shù)列，其和為6，適當(dāng)排列后這三個(gè)數(shù)也可成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)11在等比數(shù)列an中，a12，前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列an1也是等比數(shù)列，求：數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn§53 數(shù)列求和【知識(shí)要點(diǎn)】1數(shù)列求和就是等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和問題，還應(yīng)掌握與等差數(shù)列

22、、等比數(shù)列有關(guān)的一些特殊數(shù)列的求和問題2數(shù)列求和時(shí)，首先要明確數(shù)列的通項(xiàng)公式，并利用通項(xiàng)公式找到所求數(shù)列與等差數(shù)列、等比數(shù)列之間的聯(lián)系，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式解決問題3三種常見的特殊數(shù)列的求和方法：(1)直接公式法：解決一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相加而成的新數(shù)列的求和問題；(2)錯(cuò)位相減法：解決一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘而成的新數(shù)列的求和問題；(3)裂項(xiàng)相消法：解決通項(xiàng)公式是等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)乘積的倒數(shù)的新數(shù)列的求和問題【復(fù)習(xí)要求】特殊數(shù)列求和體現(xiàn)出知識(shí)的“轉(zhuǎn)化”思想把特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，而在求和的過程中又體現(xiàn)出方程的思想【例題分析】例1 求下列各式(1)

23、；(2)1×22×223×23n×2n；(3)；(4)分析：我們遇到的數(shù)列求和的問題是一些特殊的數(shù)列，即與等差、等比數(shù)列密切相關(guān)的數(shù)列，最后還是回到等差、等比求和的問題上解：(1)(2)設(shè)Sn1×22×223×23n×2n_所以(3).(4)評(píng)析：(1)中數(shù)列可看成一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相加而成，直接運(yùn)用前n項(xiàng)和公式即可；(2)中數(shù)列可看成一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘而成，采用錯(cuò)位相減的方法，相減以前需要每一項(xiàng)乘以等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減，還是利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意錯(cuò)位后最后一項(xiàng)相減

24、時(shí)出現(xiàn)的負(fù)號(hào)，這是極容易出錯(cuò)的地方；(3)(4)都是裂項(xiàng)相消，都與等差數(shù)列有關(guān)，(3)中的形式更加常見一些，注意裂項(xiàng)后的結(jié)果要與裂項(xiàng)前一致，經(jīng)常要乘一個(gè)系數(shù)(這個(gè)系數(shù)恰好是等比數(shù)列的公比的倒數(shù))例2 求下列數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn(1)1，5，9，13，17，21，(1)n1(4n3)；(2)1，；(3)1，12，1222，122223，12222n1分析：對于一個(gè)數(shù)列來說，最重要的是通項(xiàng)公式，有了通項(xiàng)公式，就可以寫出所有的項(xiàng)，就可以看出其與等差、等比數(shù)列的關(guān)系，從而利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和得出結(jié)論解：(1)方法一：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(19174n3

25、)51321(4n7)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(19174n7)51321(4n3)2n方法二：當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(15)(913)(1721)(4n114n7)(4n3)(4)×(4n3)2n1當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，1(5)9(13)17(21)(1)n1(4n3)(15)(913)(1721)(4n74n3)(4)×2n(2)此數(shù)列中的第n項(xiàng)所以(3)此數(shù)列中的第n項(xiàng)an12222n12n1所以1(12)(1222)(12222n1)(211)(221)(231)(2n1)(2122232n)

26、nn2n12n評(píng)析：(1)中帶有(1)n，需要討論最后一項(xiàng)的正負(fù)，方法一是把正、負(fù)分，看成兩個(gè)等差數(shù)列，方法二應(yīng)該是多觀察的結(jié)果，但都要對n加以討論，(2)(3)都要先寫出通項(xiàng)，然后每一項(xiàng)按照通項(xiàng)的形式寫出，很明顯地看出方法例3 已知：數(shù)列1，1，2，的各項(xiàng)由一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)首項(xiàng)為0的等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相加而成，求：這個(gè)數(shù)列的前10項(xiàng)的和分析：這又是一個(gè)數(shù)列中體現(xiàn)方程思想的題目，通過所給的三項(xiàng)，列出方程，得到等差、等比數(shù)列的首項(xiàng)與公差、公比解：設(shè)組成數(shù)列1，1，2，的等比數(shù)列為an，首項(xiàng)為a1，公比為q；等差數(shù)列為bn，首項(xiàng)b10，公差為d，由題知：，則：an2n1，bn0(n1)(1)1n，該

27、數(shù)列的前10項(xiàng)的和Sa1a2a10b1b2b10評(píng)析：本題的求和，應(yīng)是直接運(yùn)用兩個(gè)特殊數(shù)列的求和公式例4 數(shù)列an中，a11，an12an2n(1)設(shè)bn，求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求：數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn分析：對于證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列的問題，還是要應(yīng)用定義解：(1)證明：bn，bn1，bn1bn1；，數(shù)列bn是首項(xiàng)、公差都為1的等差數(shù)列，所以bnn(2)由(1)中結(jié)果，設(shè)bn時(shí)，bnn，則ann·2n1，Sn1×202×213×224×23(n1)2n2n·2n1_Snn·2n(n1)·2n1評(píng)析：證

28、明數(shù)列是等差、等比數(shù)列時(shí)，如果可能應(yīng)強(qiáng)調(diào)首項(xiàng)與公差，證明后，往往要用到這個(gè)數(shù)列，因此證明完后應(yīng)把數(shù)列的通項(xiàng)寫出，便于解決其他問題練習(xí)53一、選擇題1數(shù)列，的前n項(xiàng)之和Sn( )(A)(B)(C)(D)2若數(shù)列，它的前n項(xiàng)的積大于105，則正整數(shù)n的最小值是( )(A)12(B)11(C)10(D)83數(shù)列an的通項(xiàng)公式，若前n項(xiàng)和Sn3，則n( )(A)3(B)4(C)15(D)164數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an，則S5等于( )(A)1(B)(C)(D)二、填空題5若，且Sn·Sn1，則n_6若lgxlgx2lgx3lgxnn2n，則x_7數(shù)列1，(12)，(1222)，(12

29、222n1)的前99項(xiàng)和是_8正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a2·a41，S313，若bnlog3an，則數(shù)列bn的前10項(xiàng)的和是_三、解答題9設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S77，S1575，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn的解析式10已知函數(shù)f(x)a1xa2x2anxn(nN*)，且a1，a2，an構(gòu)成等差數(shù)列，又f(1)n2求數(shù)列an的通項(xiàng)公式11在等比數(shù)列an中，公比q1，Sna1a2an，(1)用a1、q、n表示；(2)若、成等差數(shù)列，求q的值§54 數(shù)列綜合問題【知識(shí)要點(diǎn)】1靈活運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的兩個(gè)公式及一條性質(zhì)來解決綜合問題2能解決簡單的由等差數(shù)列、等比數(shù)列形成的新

30、數(shù)列的問題3能夠利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義來確定所給數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列【復(fù)習(xí)要求】通過簡單綜合問題的解決，加深對等差數(shù)列、等比數(shù)列中，定義、通項(xiàng)、性質(zhì)、前n項(xiàng)和的認(rèn)識(shí)加深數(shù)列是特殊的函數(shù)的認(rèn)識(shí)，符合高中階段知識(shí)以函數(shù)為主線【例題分析】例1 完成下列各題：(1)數(shù)列an中，若a11，an1an，則a5_；(2)數(shù)列an中，若a12，an1ann1，則通項(xiàng)an_分析：疊加的方法應(yīng)該是解決數(shù)列的通項(xiàng)以及求和問題中常見的方法解：(1)a5(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)a1(2)an1ann1，an1ann1，利用疊加法，有：a2a111a3a221a4a331) anan1(

31、n1)1_ana1234n(n2)(n1)整理得an評(píng)析：疊加時(shí)一定要注意首、尾項(xiàng)的變化，尤其是符號(hào)例2 數(shù)列an是一個(gè)等差數(shù)列，且a21，a55求：(1)an的通項(xiàng)an；(2)an前n項(xiàng)和Sn的最大值分析：應(yīng)該是等差數(shù)列中的基本問題，還是用兩個(gè)基本公式在解決問題解：(1)設(shè)an的公差為d，由已知條件解出a13，d2.ana1(n1)d2n5；(2)Snna1dn24n(n2)24n2時(shí)，Sn取到最大值4評(píng)析：對于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值問題，看成二次函數(shù)的最值問題應(yīng)該是基本方法例3 已知數(shù)列an中，a11，an1，設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn分析：注意觀察所給數(shù)列變形后與等差、等比數(shù)列有

32、哪些聯(lián)系，這個(gè)聯(lián)系一定要找到，而且一定有聯(lián)系，顯然本題中a是等差數(shù)列解：由題知：數(shù)列an中an0，an1，aa2，a1，數(shù)列a是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，a1(n1)×22n1，an0，評(píng)析：對于開方的問題一定要考慮正、負(fù)，而裂項(xiàng)求和(也可以看作分母的有理化)在前一節(jié)中也比較多地提到例4 等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a13，等比數(shù)列bn中，b11且b2(a1a2)64，b3(a1a2a3)960求：數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式分析：還是方程思想在數(shù)列中的體現(xiàn)，利用所給條件，列出方程得到公差與公比，從得到通項(xiàng)公式解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，等差數(shù)列an的

33、各項(xiàng)均為正數(shù)，d0，a1a22a1d6d，a1a2a33a13d93d，等比數(shù)列bn中，b2b1qq，b3q2，b2(a1a2)64，b3(a1a2a3)960，得d2或d，d0，d2，此時(shí)q8，an2n1，bn8n1評(píng)析：注意題目中所給的條件如何運(yùn)用，例如：等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，隱含著給出d0，從對最后的結(jié)果產(chǎn)生影響例5 完成下列各題：(1)若一個(gè)直角三角形三邊長成等比數(shù)列，則( )(A)三邊長之比345(B)三邊長之比為31(C)較大銳角的正弦為(D)較小銳角的正弦為(2)ABC中，如果角A、B、C成等差數(shù)列，邊a、b、c成等比數(shù)列，那么ABC一定是( )(A)直角三角形(B)等腰直

34、角三角形(C)等邊三角形(D)鈍角三角形分析：解決三角形中的問題是一定要用到正弦定理、余弦定理三角形的內(nèi)角和等于恰好使等差數(shù)列的條件得以運(yùn)用，從而得到角B為的結(jié)論，在利用余弦定理找到邊之間的關(guān)系，應(yīng)該是數(shù)列與三角綜合問題中常見的方法解：(1)由題中條件可設(shè)三邊為：a、aq、aq2(q1)，由勾股定理：a2a2q2a2q4，則：q4q210，設(shè)較小銳角為A，其對邊為a，則：選D(2)在ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，有余弦定理：cosB，得：a2c2b2ac，三條邊a、b、c成等比數(shù)列，b2ac，a2c22ac0，即：ac，ABC一定是等邊三角形選C評(píng)析：解決與三角形有關(guān)的問題時(shí)，一定要想到正

35、弦定理、余弦定理，與數(shù)列綜合時(shí)，應(yīng)把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，因?yàn)檫叧傻缺葦?shù)列，所以用邊判斷三角形形狀應(yīng)該是正確的選擇例6 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snnpan，且a1a2(1)確定p的值；(2)判斷數(shù)列an是否為等差數(shù)列分析：本題中存在遞推的關(guān)系，解決時(shí)還是通過賦值，找到結(jié)論，賦值時(shí)要多賦幾個(gè)，以免出現(xiàn)沖突解：(1)Snnpan，S1a1pa1，a10或p1S2a1a22pa2，當(dāng)p1時(shí)，有a1a22a2a1a2與已知矛盾，p1，a10(且a20)，S2a1a22pa2，a20，p(2)由(1)中結(jié)論：Snnan，即：2Snnan，則2Sn1(n1)an1，兩式相減：2(Sn1Sn)2an1(n

36、1)an1nan ，同理得到：2annan(n1)an1(n2) ，得到：2an12an(n1)an12nan(n1)an1(n2)，整理得到：2(n1)an(n1)an1(n1)an1(n2)，n2，2anan1an1，即：an1ananan1，數(shù)列an是等差數(shù)列評(píng)析：(1)中對n1得到的結(jié)論要加以驗(yàn)證，這也是為什么要多賦幾個(gè)值的原因，(2)中開始由Sn求an的方法應(yīng)該掌握，而后面得到結(jié)論的方法并不多見，實(shí)際上是在找數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)存在的關(guān)系，最后得到的也是等差數(shù)列的定義，即：每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差都相等，這與anan1是常數(shù)略有不同，希望大家了解例7 在數(shù)列an中，Sn14an2，且a11(1

37、)若bnan12an，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)若cn，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；(3)數(shù)列an的通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和公式Sn分析：還是要應(yīng)用定義來證明等差、等比數(shù)列解：(1)Sn14an2，Sn4an12(n2)，an1Sn1Sn4an4an1，an12an2(an2an1)，即：bn2bn1，Sn14an2，a11，S2a1a24a12，a25，b1a22a13，數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，即bn3·2n1(2)cn，bn3·2n1，c1，數(shù)列cn是首項(xiàng)為，公差為等差數(shù)列，即cnn.(3)cn，an2n·cn，_Sn1(22232n)2n1

38、×(n)Sn(3n4)·2n12評(píng)析：前兩問實(shí)際上是第三問的鋪墊，證明等差、等比數(shù)列后，要寫出通項(xiàng)公式，為下一步的問題作準(zhǔn)備錯(cuò)位相減時(shí)要注意計(jì)算，方法再好，結(jié)果是錯(cuò)的，也不能說明你的水平練習(xí)54一、選擇題1等差數(shù)列an中，a1895，a32123，若an199，則n( )(A)78(B)74(C)70(D)662數(shù)列2n229n3中的最大項(xiàng)是( )(A)107(B)108(C)(D)1093等比數(shù)列an中，若前n項(xiàng)和Sn2n1，則aaa( )(A)2n1(B)(2n1)(C)4n1(D)(4n1)4在ABC中，cotA是等差數(shù)列an的公差，且a34，a74，cotB是等比數(shù)

39、列bn的公比，且b3，b69，則這個(gè)三角形是( )(A)鈍角三角形(B)直角三角形(C)銳角三角形(D)等腰三角形二、填空題5若等差數(shù)列an中，a1a35，a8a1019，則前10項(xiàng)和S10_6等比數(shù)列an中，an0，公比q1，若a3、a5、a6成等差數(shù)列，則_7等差數(shù)列an中，a10，S4S9，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n_8數(shù)列an中，若a11，an1，則通項(xiàng)公式an_三、解答題9遞增等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2、a4的等差中項(xiàng)求an的通項(xiàng)公式an10已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，xn2npnq，且x1，x4，x5成等差數(shù)列(1)求常數(shù)p，q的值；(2)求數(shù)列xn的前n項(xiàng)的和Sn

40、的公式11已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(diǎn)(，an1)在函數(shù)yx21的圖象上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若列數(shù)bn滿足b11，bn1bn，求證：bn·bn2b習(xí)題5一、選擇題1等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a21，a33，則S4( )(A)12(B)10(C)8(D)62等比數(shù)列an中，an0，如果a1a52a3a5a3a725，那么a3a5( )(A)5(B)10(C)15(D)203等差數(shù)列an中，a1a4a715，a3a6a93，則S9( )(A)18(B)45(C)36(D)274若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn5n2n，則a6a7a8a9a10( )(A)490(B)

41、120(C)370(D)605將n2個(gè)正整數(shù)1，2，3，n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)字和相等，這個(gè)正方形就叫做n階幻方如下圖，就是一個(gè)3階幻方定義f(n)為n階幻方每條對角線上數(shù)的和，例如f(3)15，那么f(4)的值為( )816357492(A)35(B)34(C)33(D)32二、填空題6等差數(shù)列an中，a53，若其前5項(xiàng)和S510，則其公差d_7數(shù)列an中，a13，a26，若an2an1an，則a6_，a2009_8設(shè)f(n)123n，nN*，則f(25)_9等差數(shù)列an中，an0，aan1an1(n2)，若S2n138，則n_10若數(shù)列an滿足：

42、a1，anan1 (n2)，則a10等于_三、解答題11已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a318，a612求：(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列an的前多少項(xiàng)和最大，最大值是多少？12已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，且Sn2an2(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且bn，求證：對任意正整數(shù)n，總有Tn2；13已知an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b11，a3b521，a5b313(1)求an，bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn14如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，am(m為正整數(shù))滿足條件a1am，a2am1，ama1，即aiami1(

43、i1，2，m)，我們稱其為“對稱數(shù)列”例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對稱數(shù)列”(1)設(shè)bn是7項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4是等差數(shù)列，且b12，b411依次寫出bn的每一項(xiàng)；(2)設(shè)cn是49項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中c25，c26，c49是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求cn各項(xiàng)的和S；(3)設(shè)dn是100項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中d51，d52，d100是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，求dn前n項(xiàng)的和Sn(n1，2，100)參考答案專題五 數(shù)列練習(xí)51一、選擇題1B 2A 3C 4D提示：2對n進(jìn)行賦值，利用排除法，得到A中結(jié)果滿足題目要求4(1)當(dāng)

44、n1時(shí)，S1a1a11a1(2)當(dāng)n2時(shí)，S2a1a2a21a2，由(1)(2)知：數(shù)列an的通項(xiàng)都適合二、填空題5，均可61、3、5、7；an2n1 7 8提示：8由題知a1·a2224，a1·a2·a3329，所以，a1·a2·a3·a44216，a1·a2·a3·a4·a55225，所以三、解答題9解：a1a22a2；a1a2a33a3；a1a2a3a44a4，猜想：10解：由題知：數(shù)列的前50項(xiàng)中有：1個(gè)1、2個(gè)2、3個(gè)39個(gè)9，此時(shí)共有123945項(xiàng)，還有5個(gè)10，則a5010練習(xí)52

45、一、選擇題1A 2D 3D 4C提示：2由題知：d3二、填空題5(1)40 (2)16 (3)0 (4) 6127 712 8512提示：7方法一 由題知：當(dāng)n12時(shí)，an0；當(dāng)n13時(shí)，an0，因此前12項(xiàng)和最大方法二 ，則當(dāng)n12時(shí)，Sn最大，最大值為1448由等比數(shù)列的性質(zhì)得a5a6a3a8512，則有或，公比為整數(shù)，公比，所以q2，a10a8·q2128×(2)2512三、解答題9解：由題知：前100個(gè)自然數(shù)(0，1，2，98，99)中，除以7余2的所有數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為7的等差數(shù)列an，所以an7n5，前100個(gè)自然數(shù)中最后一個(gè)除以7余2是a1493，則：前1

46、00個(gè)自然數(shù)中，除以7余2的所有數(shù)的和10解：設(shè)這三個(gè)數(shù)為2d，2，2d(d0)，由題意：當(dāng)2d為等比中項(xiàng)時(shí)，有(2d)22(2d)d6，這三個(gè)數(shù)：4，2，8；當(dāng)2為等比中項(xiàng)時(shí)，有22(2d)(2d)d0(舍)，無解；當(dāng)2d為等比中項(xiàng)時(shí)，有(2d)22(2d)d6，這三個(gè)數(shù)：8，2，4；綜上所述：這三個(gè)數(shù)為4，2，8或8，2，411解：數(shù)列an為等比數(shù)列，an2qn1，數(shù)列an1也是等比數(shù)列，(a21)2(a11)(a31)即(2q1)23·(2q21)，4q24q16q23，q1，an2，所以Sn2n練習(xí)53一、選擇題1A 2B 3C 4B提示：2，即：n(n1)110，所以nmin113，二、填空題56 6100 72100101 825提示：