人教版七年級數(shù)學上冊專題復習 數(shù)軸上的動點問題講義含部分答案

1、數(shù)軸上的運動問題在講這個問題之前，我們先來看一道行程問題?！绢} 1】甲乙兩地相距 200 米，小明從甲地步行到乙地，用時 3 分鐘，小明的平均速度為多少米每秒？【分析】這個問題的本質，就是把實際生活中的問題剝離出來，抽象成了簡單的數(shù)學問題，很多學生都會解；初學時，老師會畫線段圖，用線段的長度來將兩點間的距離具象化，如下：小明甲地乙地【解法一】直接利用：速度=路程÷時間解決。 200 ¸180 = 10 （米/秒）9【解法二】用方程解。設速度為 x米/ 秒，根據(jù)路程=時間×速度，得： 200 = 180x ，解得 x = 10 。9如果在線段圖上，用一個具體的數(shù)來表

2、示甲地和乙地，從甲往乙的方向規(guī)定為正方向建立數(shù)軸，這個問題就轉化為數(shù)軸上的運動問題了?！绢} 2】如圖，數(shù)軸上有兩點 A、B，點 A 表示的數(shù)為0 ，點 B 表示的數(shù)為 200 ，一只電子螞蟻 P 從 A 出發(fā)，以1個單位每秒的速度由 A 往 B 運動，到 B 點運動停止。設運動時間為 t。（1）用含 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 運動的距離；（2）用含 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 表示的數(shù)；（3）用含 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 到數(shù) B 的距離。（4）當電子螞蟻運動多少時間后，點 P 為線段 AB 的三等分點？【分析】引入數(shù)軸后，其本質是把線段圖換成了帶方向帶單位長度的直線，將有限的實際

3、距離推廣到了無限的距離問題。所以，對于運動的點，處理的核心思想依然是路程=速度×時間。其余的點的距離，利用數(shù) 軸上兩點間距離公式解決。（1）根據(jù)路程=速度×時間，有： AP = t ；（2） AP = t ，故點 P 表示的數(shù)為t ；（3）點 B 表示的數(shù)為 200，點 P 表示的數(shù)為t ，且 P 在 B 左邊，故 PB = 200 - t 。（4）若 P 為 AB 的三等分點，有兩種情況：AP=2PB，即： t = 2 ´ (200 - t )，解得t = 400 秒；32AP=PB，即： 2t = 200 - t ，解得t = 200 秒；3現(xiàn)在，我們將【題

4、2】一般化，線段 AB 一般化為在數(shù)軸上的一條定長線段，便得到如下的題：【題 3】如圖，數(shù)軸上有兩點 A、B，點 A 表示的數(shù)為 a ，點 B 表示的數(shù)為b ，且數(shù) A 和數(shù) B 的距離為 200 個單位長度，一只電子螞蟻 P 從 A 出發(fā)，以1個單位每秒的速度由 A 往 B 運動，到 B 點運動停止。設運動時間為 t。（1）用含 a 的代數(shù)式表示數(shù) B；（2）用含 a 和 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 表示的數(shù)；（3）用含 t 的代數(shù)式表示電子螞蟻 P 到數(shù) B 的距離?！痉治觥恳话慊?，增加了字母參數(shù)，更加抽象化，難度也上升了，但若嚴格按照邏輯推理進行解題，難度也會有所下降。（1）由數(shù)軸上

5、兩點間距離公式可得： b - a = 200，整理得： b = 200 + a ；（2）由路程=速度×時間得， AP = t ，即 A、P 兩點間的距離為t ；同（1）可得，點 P 表示的數(shù)為 a + t 。（3）由于數(shù) B數(shù) P，故根據(jù)數(shù)軸上兩點間距離公式有： BP = b - (a + t ) = a + 200 - (a + t ) = 200 - t 。我們發(fā)現(xiàn)，只要線段 AB 的長度固定，點 P 到 B 的距離跟 A、B 表示的數(shù)無關。接下來，我們將問題復雜化，變?yōu)殡p動點問題，請看【題 4】。【題 4】如圖，數(shù)軸上有兩點 A、B，點 A 表示的數(shù)為0 ，點 B 表示的數(shù)為

6、200 ，一只電子螞蟻 P 從 A 出發(fā)，以1個單位每秒的速度由 A 往 B 運動，到 B 點運動停止；另一電子螞蟻 Q 在同一時間從 B 出發(fā)，以 2 個單位每秒的速度由 B 往 A 運動，到 A 點運動停止。設運動時間為 t。（1）當電子螞蟻 P、Q 相距 40 個單位長度時，求運動時間 t；（2）用含 t 的代數(shù)式表示兩只電子螞蟻的距離?！痉治觥勘绢}的實質，就是行程問題中的相向運動問題，若用數(shù)軸不好理解，可以借助熟悉的行程問題來輔助理解。（1）在運動的過程中，點 P 和點 Q 的位置有三種情況：P 在 Q 的右邊，P 和 Q 重合，P 在 Q 的左邊，故運用兩點間距離公式時，需要加個絕對

7、值號，可以有效避免漏掉情況。另外，Q 到 A 后，Q 停止，但 P 繼續(xù)往 B 運動，故也得考慮這種情況。P、Q 都在運動時， 0秒£ t £ 100秒時，點 P 表示的數(shù)為t ，點 Q 表示的數(shù)為 200 - 2t ，故 P、Q 兩點間的距離為 200 - 2t - t 。根據(jù)題意有： 200 - 2t - t = 40 。很自然地需要分類討論，考慮了兩種情況。Q 停止運動，P 繼續(xù)運動，此時 PQ 距離100，故不符合題意。（2）P 與 Q 相遇之前，即 P 在 Q 的左邊，此時有數(shù) Q數(shù) P， 0秒£ t 200 秒，此時：3PQ = 200 - 2t -

8、t = 200 - 3tP 與 Q 相遇后，Q 停止運動前，即 Q 在 P 的左邊，此時有數(shù) P數(shù) Q， 200 秒£ t £ 100秒，此時：3PQ = t - (200 - 2t ) = 3t - 200Q 停止運動，P 繼續(xù)向 B 運動直至停止，數(shù) Q 為 0，數(shù) P數(shù) Q，100秒t £ 200秒，此時：PQ = t - 0 = t【提煉】第（1）問題，利用數(shù)軸上兩點間的距離公式，能有效解決漏掉情況的問題。下面，我們把線段等分點加進來，提升難度，請看【題 5】和【題 6】。其處理的核心，依然是表示出相關的數(shù)。【題 5】如圖，數(shù)軸上有兩點 A、B，點 A 表

9、示的數(shù)為0 ，點 B 表示的數(shù)為 200 ，一只電子螞蟻 P 從 A 出發(fā)，以1個單位每秒的速度由 A 往 B 運動，到 B 點運動停止；另一電子螞蟻 Q 在同一時間從 B 出發(fā)，以 2 個單位每秒的速度由 B 往 A 運動，到 A 點運動停止。設運動時間為 t。（1）當 P 為 AQ 中點時，求運動時間 t；（2）當 Q 為 BP 中點時，求運動時間 t?！痉治觥看钌狭司€段中點，處理方式依然不變，用含t 的代數(shù)式表示出數(shù) Q、數(shù) P，利用兩點間距離公式解題。（1）點 P 表示的數(shù)為t ，點 Q 表示的數(shù)為200 - 2t ，若 P 為 AQ 中點，有 AP=PQ，即： t = 200 - 2

10、t - t ， 解得： t = 50秒；（2）點 P 表示的數(shù)為t ，點 Q 表示的數(shù)為 200 - 2t ，若 Q 為 BP 中點，有 PQ=BQ，即： 200 - 2t - t = 2t ， 解得： t = 40秒。【題 6】已知數(shù)軸上 A、B 兩點對應的數(shù)分別是-2 和 4，P 為原點。若 A、B、P 三點分別以 1 個單位每秒、4 個單位每秒、2 個單位每秒的速度向右運動，當 A、B、P 三點有其中一點為其余兩點的中點時，求運動的時間。【分析】按理說有三種情況，A 為 P、B 中點，B 為 A、P 中點，P 為 A、B 中點，但結合條件，發(fā)現(xiàn) A 不可能為 P、B 中點，故此種情況可以

11、舍去。設運動時間為 t，則運動過程中，點 A 表示的數(shù)為 t-2，點 P 表示的數(shù)為 4t，點 B 表示的數(shù)為 4+2t。B 為 A、P 中點，有 AB=BP，即：4+2t-t+2=4t-4-2t，解得：t=10 秒；P 為 A、B 中點，有 AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=0.4 秒；【思考】線段（直線、射線）上的運動問題，可以轉化為數(shù)軸上的運動問題來處理嗎？ 最后，放幾個題結束本文?！绢} 1】如圖，數(shù)軸上 A、B 兩點對應的有理數(shù)分別為-8 和 12，點 P 從原點 O 出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度沿數(shù)軸負方向運動，同時點 Q 從原點 O 出發(fā)，以每秒 2 個

12、單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，運動時間為t 秒。（1）求經過兩秒后，數(shù)軸點 P、Q 分別表示的數(shù)；（2）當t = 3 時，求 PQ 的值；（3）在運動過程中，是否存在時間 t，使得 AP=BQ，若存在，求出 t 值；若不存在，說明理由?！绢} 2】如圖，點 A、B 和線段 CD 都在數(shù)軸上，點 A、C、D、B 起始位置所表示的數(shù)分別為-2,0,3,12；線段 CD 沿數(shù)軸的正方向以每秒 1 個單位的速度移動，移動時間為t 秒。（1）當t = 0 秒時，AC 的長度為 ；當t = 2秒時，AC 的長度為 ；（2）用含有t 的代數(shù)式表示 AC 的長為 （3）當t = 秒時，ACBD=5，當t =

13、秒時 AC+BD=15（4）若點A 與線段 CD 同時出發(fā)沿數(shù)軸的正方向移動，點 A 的速度為每秒 2 個單位，在移動過程中，是否存在某一時刻使得 AC=2BD，若存在，請求出 t 的值；若不存在，請說明理由【題 3】如圖，E 為線段 AC 上靠近點 A 的三等分點，B、D 為線段 EC 上的兩點，且滿足 CD=2BD。（1） 若 DE=6cm，求線段 AB 的長；（3）若 AC=15cm，EB=4cm，動點 P 從 A 點、動點 Q 從 D 點同時出發(fā)，分別以 3cm/s、1cm/s 的速度沿直線 AC 向右運動，是否存在某個時刻，使得 BP+CQ=AB 成立？若存在，求此時 PQ 的長度；若不存在，說明理由?！绢}