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文檔簡(jiǎn)介
1、23個(gè)求極值和值域?qū)n}1、求函數(shù)的值域.2、求函數(shù)的值域.3、求函數(shù)的值域.4、求函數(shù)的值域.5、已知函數(shù)(其中)的值域是,求實(shí)數(shù).6、已知:為正實(shí)數(shù),且,求函數(shù)的最小值.7、已知:,求:的最小值.8、設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為,最大值為,求區(qū)間.9、已知:,求函數(shù)的最大值.10、求函數(shù):的最小值.11、求函數(shù):的值域.12、已知實(shí)數(shù)滿足和,求的最小值. 13、求函數(shù):的最小值. 14、已知:,求函數(shù):的最小值. 15、已知點(diǎn)在橢圓上,求的最大值. 16、求函數(shù):的值域. 17、求函數(shù):的值域. 18、求函數(shù):的最大值. 19、設(shè):為正實(shí)數(shù),且滿足,試求:的最小值. 20、已知為正實(shí)數(shù),且滿足,求
2、:的最大值. 21、設(shè)為銳角,求:的最小值. 22、設(shè)為銳角,求證:. 23、已知為正實(shí)數(shù),求證:. 23個(gè)求極值和值域?qū)n}解析1、求函數(shù)的值域.解析:函數(shù)的定義域?yàn)椋?函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為:當(dāng)時(shí),則即:函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù),故:;故:函數(shù)在該區(qū)間的值域是.當(dāng)時(shí),則即:函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù),故:;故:函數(shù)在該區(qū)間的值域是.綜上,函數(shù)的值域是.2、求函數(shù)的值域.解析:函數(shù)的定義域是:.待定系數(shù)法用于柯西不等式來解本題.設(shè):,則柯西不等式為:即:令:,即:由柯西不等式的等號(hào)成立條件,即函數(shù)取極值時(shí)條件得:由得:,即:,即:將代入得:即:,即:即:試解,且,則:,代入得:,即時(shí)函數(shù)取得極大值.函數(shù)
3、極大值為當(dāng)時(shí),函數(shù)在本區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù). 故:即:函數(shù)在區(qū)間的值域是當(dāng)時(shí),函數(shù)在本區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù). 故:即:函數(shù)在區(qū)間的值域是綜上,函數(shù)的值域是.3、求函數(shù)的值域.解析:函數(shù)的定義域是:.待定系數(shù)法用于柯西不等式來解本題.設(shè):,則柯西不等式為:即:令:,即:由柯西不等式的等號(hào)成立條件,即函數(shù)取極值時(shí)條件得:即:,即:,即:即:,即:,即:將式代入式得:當(dāng)時(shí),函數(shù)達(dá)到極大值. 極大值為:函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為:當(dāng)區(qū)間時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增. 故:即:函數(shù)在本區(qū)間的值域是.當(dāng)區(qū)間時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減. 故:即:函數(shù)在本區(qū)間的值域是.綜上,函數(shù)的值域是.4、求函數(shù)的值域.解析:函數(shù)的定義域是:. 則函數(shù)為:(當(dāng)
4、時(shí)取負(fù)號(hào),當(dāng)時(shí)取正號(hào))于是函數(shù)的極值在:即:即:,即:在區(qū)間,函數(shù)的極值為:在區(qū)間的邊界有:故:函數(shù)在該區(qū)間的值域是.在區(qū)間,函數(shù),為單調(diào)遞減函數(shù). 故有:;故:函數(shù)在該區(qū)間的值域是. 綜上,函數(shù)的值域是. 5、已知函數(shù)(其中)的值域是,求實(shí)數(shù).解析:函數(shù)的定義域?yàn)?將函數(shù)變形為:,即:其判別式不等式為:即:而函數(shù)的值域是,即:即:對(duì)比兩式得:,即,因,故:故:實(shí)數(shù),.6、已知:為正實(shí)數(shù),且,求函數(shù)的最小值.解析:首先設(shè),代入得:,即:,則: 當(dāng)時(shí),由均值不等式,即:得:則:當(dāng)時(shí),由均值不等式,即:得:則:當(dāng)時(shí),由均值不等式,即:代入已知條件, 得:則:故:由、得,的最小值是.7、已知:,求:
5、的最小值.解析:由已知條件得:,即:代入得:即:令:,則方程變?yōu)椋翰捎门袆e式法得:,即:,即:故:的最小值是.8、設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為,最大值為,求區(qū)間.解析:首先,是一個(gè)偶函數(shù),在區(qū)間單調(diào)遞增,在區(qū)間單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),為單調(diào)遞減函數(shù),即:.故:是最大值為,是最小值為,即: 即: (*)(*)兩式相減得:即:則: ,即:(*)兩式相加得:將式代入后化簡(jiǎn)得:由得:,. 則區(qū)間為.當(dāng)、時(shí),的最大值是,即:.i.若,則的最小值為:,即:,解之及可得:,故此時(shí)區(qū)間為.ii.若則的最小值為:,即:,則:. 不符合題設(shè),即此時(shí)無解.當(dāng)時(shí),由是一個(gè)偶函數(shù)可得:,故:是最小值為,是最大值為,即:即:則:為一元
6、二次方程的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理得: 則由得:異號(hào). 不符合題設(shè),即此時(shí)無解.綜上,區(qū)間為或.9、已知:,求函數(shù)的最大值.解析:由可知,函數(shù)的定義域是:,有均值不等式,即:即:即:當(dāng)時(shí),即,可以取到不等式的等號(hào)。故:函數(shù)的最大值是.10、求函數(shù):的最小值.解析:函數(shù)其定義域?yàn)椋毫睿?,則:,于是:當(dāng)時(shí),即:,即:,則:所以,是可以取到的. 故的最小值是.正是由于時(shí),函數(shù)取到極值,所以有人總結(jié)出此類題的解法用來解,即設(shè),代入,后得:即:,即:,即:即:,這兩個(gè)結(jié)果分別對(duì)應(yīng)于的極小值和的極大值.11、求函數(shù):的值域.解析:先求函數(shù)的定義域. 定義域?yàn)椋罕绢}采用判別式法解題.由等價(jià)變形為:即:式上面方程有
7、解得判別式是:即:即:故:函數(shù)的值域?yàn)?本題亦可以采用換元法和配方法來做令:,則,于是:當(dāng)時(shí),即:當(dāng)時(shí),達(dá)到極小值.12、已知實(shí)數(shù)滿足和,求的最小值. 解析:由已知得:則由柯西不等式得:將、代入得:即:,即:即:其判別式為:故:方程等號(hào)下的兩根為:則:根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件:代入式得:,即:代入式得:,即:由兩式得:,即:即:,即:即:,即:,即:則:,此時(shí):;,此時(shí):所以,的最小值為13、求函數(shù):的最小值. 解析:待定系數(shù)法用于柯西不等式來解本題.設(shè):,則柯西不等式為:即:則:令:,則:,故:設(shè),則:,則:將、代入得:柯西不等式中,等號(hào)成立的條件是:即:,則:則:,即:即:,即:將和代
8、入得:即:,即:于是:當(dāng),時(shí),柯西不等式中,等號(hào)成立.即:的最小值是.14、已知:,求函數(shù):的最小值. 解析:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,由均值不等式,即:得:即:,則:當(dāng)時(shí),即:、時(shí),.故:函數(shù)的最小值是.15、已知點(diǎn)在橢圓上,求的最大值. 解析:函數(shù)的定義域?yàn)椋?,由柯西不等式得:即:,即:由柯西不等式的等?hào)成立的條件得:,即:代入得:,即:,即:則:,于是, 當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),所以,函數(shù)的最大值是5.16、求函數(shù):的值域. 解析:函數(shù)的定義域是:.待定系數(shù)法用于柯西不等式來解本題.設(shè):,則柯西不等式為:即:令:,則:由柯西不等式的等號(hào)成立條件,即函數(shù)取極值時(shí)條件得:,即:,即:,則:將代入得:函數(shù)的極
9、值為: 在區(qū)間,函數(shù)單調(diào)遞增,故:于是,函數(shù)在該區(qū)間的值域是. 在區(qū)間,函數(shù)單調(diào)遞減,故:于是,函數(shù)在該區(qū)間的值域是.綜上,函數(shù)的值域是.17、求函數(shù):的值域. 解析:函數(shù)的定義域是:本題采用判別式法:令:則:即:,即:即:由的判別式得:即:,即:,即:故:或,即:或由于式即的條件必須那滿足,故.此時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?18、求函數(shù):的最大值. 解析:由均值不等式得:所以,在時(shí),故,的最大值為.19、設(shè):為正實(shí)數(shù),且滿足,試求:的最小值. 解析:由均值不等式得:不等式兩邊分別相加得:即:故,的最小值是.20、已知為正實(shí)數(shù),且滿足,求:的最大值. 解析:由由柯西不等式得:即:故:因此,的最大值是.21、設(shè)為銳角,求:的最小值. 解析:將與通分,并與最后一項(xiàng)合并得:由得:代入式得:再由輔助角公式得:代入式得:由式,當(dāng)達(dá)到最大值時(shí),達(dá)到最小值,即:當(dāng)時(shí),.故,當(dāng)時(shí),達(dá)到最小值,最小值為.22、設(shè)為銳角,求證:. 解析:因?yàn)闉殇J角,函數(shù)定義域?yàn)椋海?,?gòu)造函數(shù):則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
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