兩個(gè)變量間的線性相關(guān)及回歸方程的求法專題

1、兩個(gè)變量間的線性相關(guān)及回歸方程的求法專題一、如何認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系我們可以從以下三個(gè)方面加以認(rèn)識(shí)：（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系例如正方形面積S與邊長x之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系即對(duì)于邊長x的每一個(gè)確定的值，都有面積S的惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系例如人的身高與年齡；商品的銷售額與廣告費(fèi)等等都是相關(guān)關(guān)系（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系例如有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，身高與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系然而學(xué)會(huì)新詞并不能使兒童馬上長高，而是涉及到第三個(gè)因素年

2、齡，當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高而且由于長大身高也會(huì)高些（3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化例如正方形面積S與其邊長x間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測量邊長時(shí)，由于測量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機(jī)性而對(duì)于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量來說，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對(duì)這兩個(gè)變量間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，還可使我們對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度二、如何判斷兩個(gè)變量線性相關(guān)關(guān)系

3、1、利用變量相關(guān)關(guān)系的概念利用變量相關(guān)關(guān)系的概念判斷時(shí)，一般是看當(dāng)一個(gè)變量的值一定時(shí)，另一個(gè)變量是否帶有確定性，兩個(gè)變量之間的關(guān)系具有確定關(guān)系函數(shù)關(guān)系；兩個(gè)變量之間的關(guān)系具有隨機(jī)性，不確定性相關(guān)關(guān)系。例1、在下列各個(gè)量與量的關(guān)系中：正方體的體積與棱長之間的關(guān)系；一塊農(nóng)田的水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；人的身高與年齡之間的關(guān)系；家庭的收入與支出之間的關(guān)系；某戶家庭用電量與水費(fèi)之間的關(guān)系。其中是相關(guān)關(guān)系的為 解析：正方體的體積與棱長之間的關(guān)系是確定的函數(shù)關(guān)系；某戶家庭用電量與水費(fèi)之間無任何關(guān)系。中，都是非確定的關(guān)系，但自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性。點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是首先分析兩個(gè)量是

4、否有關(guān)系，然后判斷這種關(guān)系是確定性的關(guān)系還是隨機(jī)的不確定性的關(guān)系。變式練習(xí)1：下列關(guān)系中是帶有隨機(jī)性的相關(guān)關(guān)系的有_。光照時(shí)間與果樹的畝產(chǎn)量的關(guān)系；圓柱的體積與底面直徑的關(guān)系；自由下落的物體的質(zhì)量與落地時(shí)間的關(guān)系；學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績。2、利用散點(diǎn)圖通過散點(diǎn)圖觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地判斷。例2下面的4個(gè)散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是（ ）A B C D 解析：由圖可知是一次函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；的所有點(diǎn)在一條直線附近波動(dòng)，是線性相關(guān)關(guān)系；不具有相關(guān)系；在某曲線附近波動(dòng)是非線性相關(guān)關(guān)系，所以兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是，故選C.點(diǎn)評(píng)：在考慮兩個(gè)變量的關(guān)系時(shí)，可以用畫散點(diǎn)圖的

5、方法形象直觀地反映各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度。變式練習(xí)2：以下是某地搜集到的不同樓盤新房屋的銷售價(jià)（單位：千元）和房屋面積（單位：平方米）的數(shù)據(jù)：房屋面積（平方米）11511080135105銷售價(jià)格（萬元）24821619429222試判斷新房屋的銷售價(jià)（單位：千元）和房屋面積（單位：平方米）之間是否具有相關(guān)關(guān)系？3、利用表格通過觀察分析表格中的有關(guān)數(shù)據(jù)，看這些數(shù)據(jù)是否呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。 例3、下表是隨機(jī)抽取的9名15歲的男生的身高與體重，判斷所給的兩個(gè)變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系。編號(hào)123456789身高（cm）165157155175168157178160163體重(kg)52444555544

6、7625053解析：由表格不難看出，同一身高157cm對(duì)應(yīng)著不同的體重44kg和47kg，因此體重不是身高的函數(shù)關(guān)系。將表格中的數(shù)據(jù)按身高由小到大重新排列，如下表所示，我們不難發(fā)現(xiàn)，隨著身高的增長，體重基本上呈增加的趨勢，因此身高與體重存在著相關(guān)關(guān)系。編號(hào)326891547身高（cm）155157157160163165168175178體重(kg)454447505352545562點(diǎn)評(píng)：這類題目一般是按一定的次序重新排列數(shù)據(jù)，再看這些數(shù)據(jù)是否具有規(guī)律性。變式練習(xí)3：下表是某地的年降雨量與平均氣溫，判斷兩者是否具有相關(guān)關(guān)系？年份2002200320042005200620072008年平均氣

7、溫（）年降雨量（）813574701432507677748變式練習(xí)答案與提示：1、。2、畫出散點(diǎn)圖，可以看出新房屋的銷售價(jià)（單位：千元）和房屋面積（單位：平方米）呈現(xiàn)一定的規(guī)律，所以新房屋的銷售價(jià)（單位：千元）和房屋面積（單位：平方米）具有相關(guān)關(guān)系。3、因?yàn)檠芯康氖悄车氐哪杲涤炅颗c平均氣溫，所以按年平均氣溫從低到高重新排列如下表：年份2008200420062007200520032002年平均氣溫（）年降雨量（）748701507677432574813從表中的數(shù)據(jù)看某地的年降雨量與平均氣溫不具有相關(guān)關(guān)系。三、回歸分析對(duì)于線性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面：（1）回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系

8、的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系是回歸分析的前提（2）散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析 （3）通過散點(diǎn)圖的觀察，一般地，若圖中數(shù)據(jù)大致分布在一條直線附近，那么這兩個(gè)變量近似成線性相關(guān)關(guān)系（4）求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義四、回歸直線方程1、求回歸直線方程的步驟：第一步：列表，；第二步：計(jì)算，；第三步：代入公式計(jì)算，的值；第四步：寫出直線方程。2、范例剖析例1 測地某地10對(duì)父子

9、身高（單位：英寸）如下：父親身高（）60626465666768707274兒子身高（）63.665.26665.566.967.167.468.370.170如果與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；如果父親的身高為78英寸，試估計(jì)兒子的身高。分析：對(duì)于兩個(gè)變量，在確定具有線性相關(guān)關(guān)系后，可以利用“最小二乘法”來求回歸直線方程。為了使計(jì)算更加有條理，我們通過制作表格來先計(jì)算出，和；再計(jì)算出，再利用公式和來計(jì)算回歸系數(shù)，最后寫出回歸直線方程。解析：先將兩個(gè)變量的數(shù)字在表中計(jì)算出來，如下表所示：序號(hào)16063.636004044.96381626265.238444251.044042.436

10、46640964356422446565.542254290.254257.556666.943564475.614415.466767.144894502.414495.776867.446244542.764583.287068.349004664.89478197270.151844914.015047.21074705476490051806686709344842.4由上表可得，。代入公式得，故所求回歸直線方程為。當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)父親的身高為78英寸時(shí)，估計(jì)兒子的身高約為72.2138英寸。評(píng)注：注意回歸直線方程中一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不

11、同。例2 有一臺(tái)機(jī)床可以按各種不同的速度運(yùn)轉(zhuǎn)，其加工的零件有一些是二級(jí)品，每小時(shí)生產(chǎn)的二級(jí)品零件的數(shù)量隨機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化。下面是實(shí)驗(yàn)的步驟：機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度（轉(zhuǎn)/秒）每小時(shí)生產(chǎn)二級(jí)品的數(shù)量（個(gè)）851281491611（1）作出散點(diǎn)圖； （2）求出機(jī)床運(yùn)轉(zhuǎn)的速度與每小時(shí)生產(chǎn)二級(jí)品數(shù)量的回歸直線方程；（3）若實(shí)際生產(chǎn)中所允許的二級(jí)品不超過10個(gè)，那么機(jī)床的運(yùn)轉(zhuǎn)速度不得超過多少轉(zhuǎn)/秒？ 分析：散點(diǎn)圖形象地反映了各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度，通常在尚未判斷兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系的情況下，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，在確認(rèn)具有線性相關(guān)關(guān)系后，再求其回歸直線方程。解析：（1）散點(diǎn)圖如下圖所示：（2）

12、易求得，0.7286，0.8571，所求回歸直線方程為。（3）依題意，要使，只要0.72860.857110，解得14.9013，即機(jī)床的運(yùn)轉(zhuǎn)速度不能超過14.9013轉(zhuǎn)/秒。評(píng)注：利用最小二乘法求線性回歸直線方程有著廣泛的應(yīng)用，請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)系實(shí)際，熟練掌握。3、知能展示1為了研究三月下旬的平均氣溫（）與四月二十號(hào)前棉花害蟲化蛹高峰日（）的關(guān)系，某地區(qū)觀察了1996年至2001年的情況，得到下面的數(shù)據(jù)：年份19961997199819992000200124.429.632.928.730.328.9（天）19611018據(jù)氣象預(yù)測，該地區(qū)在2002年三月下旬平均氣溫為，試估計(jì)2002年四月化蛹

13、高峰日為哪天。2某地區(qū)第一年到第六年的用電量與年次的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 用電單位：億度年次123456用電量10.411.413.114.214.815.7 （1）與是否具有線性相關(guān)關(guān)系？ （2）如果與具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程。答案： 1提示：估計(jì)該地區(qū)2002年4月12日或13日為化蛹高峰日。 2（1）線性相關(guān)；（2）五、相關(guān)性和最小二乘估計(jì)易錯(cuò)點(diǎn)例析根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，判定兩個(gè)變量且有線性相關(guān)關(guān)系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程，并利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測和估計(jì)，這是一個(gè)完整的雙變量統(tǒng)計(jì)的過程。在這一統(tǒng)計(jì)分析過程中，有以下幾點(diǎn)易于出錯(cuò)，初學(xué)者要特別注意。一、把函數(shù)關(guān)系當(dāng)作相關(guān)關(guān)系

14、例1、下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是（）（A）正方體的體積與邊長；（B）勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間；（C）人的身高與體重；（D）人的身高與視力錯(cuò)解：選（A）或（B）。分析：函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間是一種不確定的關(guān)系，因此，不能把相關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系。本例中，（A）和（B）都是函數(shù)關(guān)系，（D）則無相關(guān)關(guān)系。正解選（C）。例2、下列各關(guān)系中，不屬于相關(guān)關(guān)系的是（）（A）名師出高徒（B）球的表面積與體積（C）家庭的支出與收入（D）人的年齡與體重錯(cuò)解：選（A）。分析：函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，但相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系。有名的老師能教出高明的徒弟，通常情況下，高

15、水平的老師有很大的趨勢教出高水平的學(xué)生，但是，高水平的老師所教的學(xué)生不一定都是高水平的，也就是說，他們之間沒有困果關(guān)系的，但有相關(guān)關(guān)系。正解選（B），球的表面積與體積之間是函數(shù)關(guān)系。二、把不相關(guān)或非線性相關(guān)當(dāng)作線性相關(guān)例3下表是某地的年降雨量與年平均氣溫，能否根據(jù)這些數(shù)據(jù)估計(jì)年平均氣溫為13.69時(shí)的年降雨量？年平均氣溫（）12.5112.8412.8413.6913.3312.7413.05年降雨量（mn）748542507813574701432錯(cuò)解：按照最小二乘法可求出這兩個(gè)變量之間的線性回歸方程，進(jìn)而計(jì)算出估計(jì)值；分析：以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖如下：可以發(fā)現(xiàn)

16、圖中各點(diǎn)并不在一條直線的附近，所以兩者不具有相關(guān)關(guān)系，沒必要用回歸直線進(jìn)行擬合，用最小二乘法公式求得回歸直線也是沒有意義的。例4某機(jī)構(gòu)曾研究溫度對(duì)某種細(xì)菌的影響，在一定溫度下，經(jīng)x單位時(shí)間，細(xì)菌的數(shù)量指數(shù)為y，數(shù)據(jù)如下：(1,2) (2,5) (3,10) (4,17) (5,26)(6,37) (7,50) (8,65) (9,82) (10,101)問：關(guān)于這兩個(gè)變量的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？錯(cuò)解：判斷兩個(gè)變量是線性相關(guān)，按最小二乘法的步驟，求出線性回歸方程；分析：事實(shí)上我們觀察可以發(fā)現(xiàn)2121，5221，10321，,17421，,26521，因此，我們可以認(rèn)為x與y之間的關(guān)系是y=x2

17、+1，并非是線性相關(guān)關(guān)系。避免這類錯(cuò)誤的方法很簡單，那就是根據(jù)已經(jīng)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，進(jìn)行曲線擬合，從而判斷兩個(gè)變量是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)或不相關(guān)。 三、把估計(jì)值當(dāng)作實(shí)際值例5一位母親記錄了她兒子3到9歲的身高，數(shù)據(jù)如下表：年齡(歲)3456789身高()94.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她用最小二乘法求出了身高y與年齡x的回歸直線方程，并預(yù)測兒子10歲時(shí)的身高，則下列的敘述正確的是( )（A） 兒子10歲時(shí)的身高一定是145.83（B） 兒子10歲時(shí)的身高在145.83以上（C） 她兒子10歲時(shí)的身高在145.83左右（D） 她兒子10歲時(shí)的身高在145.

18、83以下錯(cuò)解：（A）分析：顯然，年齡與身高之間是一種相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法求出的回歸方程是對(duì)兩個(gè)變量的最佳線性擬合，我們可以利用回歸方程對(duì)數(shù)量變化做出預(yù)測，但這只是估計(jì)事物發(fā)展的一個(gè)最可能出現(xiàn)的結(jié)果，并非一定出現(xiàn)。實(shí)際上，身高并非只由年齡一個(gè)因素決定，兒子10歲時(shí)的身高比預(yù)測值有誤差也是正常的，正確答案為（C）。四、計(jì)算失誤例6已知回歸直線的回歸系數(shù)b的估計(jì)值是1.23，5，4，則回歸直線的方程是( ) （A）=1.23x4 （B）=0.9425x+1.23 （C）=1.23x+0.08 （D）=0.08x+1.23錯(cuò)解：（B）分析：回歸直線方程為bxa，其中b是回歸系數(shù)，而一次函數(shù)的習(xí)慣寫

19、法為yaxb，錯(cuò)解把它們混淆了。對(duì)回歸方程bxa有ab，即ba，因此回歸直線一定經(jīng)過點(diǎn)（，）。正確答案為（C）。例7為分析初中升學(xué)的數(shù)學(xué)成績對(duì)高一學(xué)生學(xué)習(xí)情況的影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，他們的入學(xué)成績與期末考試成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號(hào)12345678910入學(xué)成績63674588817152995876期末成績65785282928973985675（1） 若變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線的方程；（2） 若某學(xué)生的入學(xué)成績?yōu)?0分，試估計(jì)他的期末成績錯(cuò)解： （1）故所求線性回歸直線方程是（2）某學(xué)生入學(xué)成績?yōu)?0分，代入上式可求得。顯然這是不符合實(shí)際的。分析：錯(cuò)解求出a

20、、b后，把回歸直線方程公式中bxa的a、b位置互換了；事實(shí)上，回歸方程應(yīng)為，把這個(gè)學(xué)生的入學(xué)成績80代入這個(gè)方程可出，即這個(gè)學(xué)生期末成績的預(yù)測分值約為84分。一般地，用最小二乘法求回歸直線方程的步驟為：第一步：列表；第二步：列表計(jì)算；第三步：代入公式計(jì)算的值；第四步：寫出直線方程。其中的數(shù)據(jù)計(jì)算往往要借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)來完成，因此在數(shù)據(jù)輸入時(shí)也細(xì)心核對(duì)，防止出錯(cuò)。 變量間的相關(guān)關(guān)系練習(xí)一一選擇題1以下兩變量之間具有相關(guān)關(guān)系的是( )A正方形的體積與邊長 B，人的身高與體重 C勻速行駛車輛的行駛路程與時(shí)間 D，球半徑與表面積。2西瓜藤的的長短與西瓜的產(chǎn)量( )A確定性關(guān)系 B，相關(guān)關(guān)系 C，函數(shù)

21、關(guān)系 D，無任何聯(lián)系。3下列說法正確的是( )A任何兩個(gè)變量都具有相關(guān)關(guān)系 B，光照時(shí)間和果樹的單產(chǎn)量不具有相關(guān)關(guān)系。C農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間是一種確定性關(guān)系 D某產(chǎn)品的產(chǎn)量與其銷售之間是一種非確性關(guān)系。4.有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是 ( ) A.相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量不是因果關(guān)系 B.散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度C.回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個(gè)變量之間的關(guān)系 D.任一組數(shù)據(jù)都有回歸方程5.r是相關(guān)系數(shù)，則結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為 r1，0.75時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)很強(qiáng)r0.75，1時(shí)，兩變量正相關(guān)很強(qiáng)r（0.75，0.3或0.3，0.75）時(shí)，兩變量相關(guān)性一般r=0.1時(shí)，兩變量相關(guān)很弱A.1

22、B.2 C.3 D.46散點(diǎn)圖的作用( )A查找個(gè)體個(gè)數(shù) B，比較個(gè)體數(shù)據(jù)大小關(guān)系 C探究個(gè)體分類 D，粗略判斷變量是否具有相關(guān)關(guān)系二填空題7現(xiàn)有5組數(shù)據(jù)、，去掉 組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最大8有一組獨(dú)立觀測據(jù)，則回歸直線方程=bx+a的系數(shù)b=_。9.線性回歸方程=bx+a過定點(diǎn)_.10對(duì)于回歸方程：，則a=_。三解答題11. 假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限和支出的維修費(fèi)用（萬元），有以下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限23456維修費(fèi)用2.23.85.56.57.0（1）畫出散點(diǎn)圖；（2）求支出的維修費(fèi)用與使用年限的回歸方程；（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ 12下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗 (噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù) (1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?(參考數(shù)值：)變量間的相關(guān)關(guān)系練習(xí)二 一選擇題1.下面哪些