專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學之導數(shù)

1、第二章 導數(shù)與微分及導數(shù)的應用 一 導數(shù)的概念與導數(shù)的計算 1. 導數(shù)的晚概念及幾何意義（1）導數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點處有增量，函數(shù)就有相應的增量，若當時，極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并稱此極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)，記為或.如果極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導.導數(shù)概念是高等數(shù)學一個重要的基本概念，應深刻理解它的定義形式及實際背景.應注意以下兩點：·導數(shù)的另一種表達形式為.· 對于固定的，要搞清與的差別.前者表示在點導數(shù)的值，而后者表示對常數(shù)求導數(shù)，因此.（2）導數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導數(shù)表示曲線在點處的切線的斜率，即，其中是在處切線的傾斜角

2、，如圖2.1所示. 圖2.1如果函數(shù)在點處連續(xù)，而導數(shù)為無窮大，即，則曲線在點處的切線垂直于軸.如果函數(shù)在點處可導，則曲線在點處的切線方程為：，法線方程為 （3）左、右導數(shù)左導數(shù)：右導數(shù)：函數(shù)在點處可導的充分必要條件是：在處的左、右導數(shù)均存在且相等，即.注意·可導與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在處可導，那么函數(shù)必在處連續(xù)，反之，若函數(shù)在處連續(xù)，該函數(shù)在處未必可導.如函數(shù)在處連續(xù)但不可導，即函數(shù)在處可導是連續(xù)的充分條件，而連續(xù)是可導的必要條件.由此可知，若在處不連續(xù)，則在處必不可導.·分段函數(shù)在分界點處的導數(shù)函數(shù)在處可導的充要條件是在處的左、右導數(shù)均存在并相等，因此要求分段函數(shù)在分界點處

3、的導數(shù)，首先要求出該點的左導數(shù)和右導數(shù)，如果都存在并相等，那么函數(shù)在該點處可導，且；如果在處的左、右導數(shù)有一個不存在或者左、右導數(shù)都存在但不相等，那么函數(shù)在該點不可導.2. 求導數(shù)的方法（1）基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 （為常數(shù)）； （為任意實數(shù)）； ； ； ； ； ； ；.（2）導數(shù)的四則運算法則若均為可導函數(shù)，則有：； （為常數(shù)）；.（3）復合函數(shù)的求導法則設(shè)在點處可導，在對應的點處可導，則復合函數(shù)在點處可導，且或簡記為.注意· 對復合函數(shù)求導時，先要搞清函數(shù)的復合過程，把函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運算，然后按照復合次序由外向里，一層層地求導，直到對自變量求導，千萬不

4、要漏導.（4）隱函數(shù)的求導法則與對數(shù)求導法 隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)的特點是變量與的函數(shù)關(guān)系是隱藏在方程中的，當一個隱函數(shù)顯化比較困難或不能顯化時，可用隱函數(shù)的求導法則來求導.設(shè)函數(shù)是由方程確定的可導函數(shù)，則其導數(shù)可以由方程求得，具體求法可分兩步：第一步：將方程兩邊對自變量求導，視為中間變量，得到一個關(guān)于的一次方程；第二步：解方程，求出.例如：求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).解：方程兩邊同時對求導，得,即 ,故 . 對數(shù)求導法設(shè)，等式兩邊取自然對數(shù)有，然后兩邊再同時對求導得，等式兩邊同乘以即得.例如：求函數(shù)的導數(shù).解：等式兩邊取對數(shù)得： ，上式兩邊對求導有： ，兩邊同乘以得： .一般地，若， .注意

5、· 隱函數(shù)求導法與對數(shù)求導法是兩種特殊的求導方法.隱函數(shù)求導法適用于由方程所確定的函數(shù)不能顯化或顯化較困難時的一種特殊求導方法.對數(shù)求導法適用于對冪指函數(shù)或形如或等含乘、除、乘方、開方較多的函數(shù)的求導，利用對數(shù)求導的方法，可把對冪指函數(shù)的求導化為對隱函數(shù)的求導，把對乘積的求導化為和的求導，把對商的求導化為差的求導.在用隱函數(shù)求導法和對數(shù)求導法時，一定要注意此時是的函數(shù)，要運用復合函數(shù)求導法則，不要遺漏.· 在學完了偏導數(shù)之后，在求確定的隱函數(shù)的導數(shù)時，也可以按公式解之.· 利用一階微分形式的不變性，對等式 兩邊求微分，然后解出，也可求出由確定的隱函數(shù)的導數(shù).（5）參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程給出，其中，在上可導，且，則.（6）幾個初等函數(shù)的階導數(shù)公式； ；，特別的，當時，有: .（7）參數(shù)方程的高階導數(shù)求導法則設(shè)，均二階可導，且，由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導數(shù)： ， .這里一定要注意，在求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)時，是中間變量，而符號表示對