第四節(jié)線性方程組的

1、第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組的解集線性方程組的解集如果向量如果向量 滿足等式滿足等式,Ab則稱則稱 是線性方程組是線性方程組xAx b的的解向量解向量. .所有解向量的集合稱為解向量組，即通解所有解向量的集合稱為解向量組，即通解齊次線性方程組齊次線性方程組0Ax定理定理4.1設(shè)設(shè) 都是都是 的解的解, ,12, 0Ax則它們的線性組合則它們的線性組合1 12 2CC也是也是 的解的解. .0Ax證證: :A1 12 2()CC11CA22C A000例例1求求 的通解的通解0Ax 354324 .618A 解解: :35432 4618A 3 540 300903 540 100 003 040

2、100 001 0 4/30 100 00( )23R A 有非零解，有非零解，取取 是基本變量是基本變量, ,12,x x3x是自由變量是自由變量, ,1343xx20 x 3x是自由變量是自由變量123xxxx43c0cc4301c解向量組包含無窮個向量解向量組包含無窮個向量通解通解解向量組的秩是解向量組的秩是1.1.定義定義4.1 設(shè)設(shè) 有非零解有非零解, ,0Ax稱它的解向量組的最大無關(guān)組稱它的解向量組的最大無關(guān)組為為基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系. .注注: : “基礎(chǔ)基礎(chǔ)”即即“原原生生”, ,0Ax的所有解向量都是以基礎(chǔ)解系的所有解向量都是以基礎(chǔ)解系為為”基礎(chǔ)基礎(chǔ)”而而”派生派生”出的出的.

3、.例例1求求 的通解的通解0Ax 354324 .618A 是是 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系, ,0Axc4301xc通解通解403也是也是 的基礎(chǔ)解系嗎的基礎(chǔ)解系嗎? ?0Ax思考：思考：幾何意義幾何意義: :一般的一般的, , 若若 含含n個未知數(shù)個未知數(shù), , 0Ax(),R Ar則則: :自由變量的個數(shù)自由變量的個數(shù)nr解向量組的秩解向量組的秩L三平面交于一直線三平面交于一直線L，通解即與，通解即與L共線或平行的所共線或平行的所有向量，都可以由向量有向量，都可以由向量 表示。表示。c4301xc非齊次線性方程組非齊次線性方程組Axb (0)b定理定理4.2設(shè)設(shè) 是是 的解的解, ,0Ax是是

4、 的解的解, ,Axb則則: : 是是 的解的解. .Axb證證: :A() AA0bb例例1( (續(xù)續(xù)) ) 求求 的通解的通解, ,Ax b3547324 ,1 .6184Ab 解解: :()A b 3 547324161843 5470 3 0609 0183 54701020 0003 04301020 0003 04/3301020 000( )2,R A 無窮多解無窮多解取取 是基本變量是基本變量, ,12,x x3x是自由變量是自由變量, ,13413xx 22x 3x是自由變量是自由變量123xxxx 120c4/301c:Ax b的特解的特解:c0Ax的通解的通解Ax b的通

5、解的通解幾何意義幾何意義: : LL o 的通解是直線的通解是直線L0Ax Axb的通解是與的通解是與L平行的直線平行的直線L例例2 單一方程也可看作方程組單一方程也可看作方程組, ,描述并比較下列描述并比較下列”方程組方程組”的通解的通解: :12310320 (1)xxx和和12310325 (2).xxx解解: : 取取 是基本變量是基本變量, ,1x和和 是自由變量是自由變量, ,2x3x1x 0.220.3x30.2 ,x寫成向量形式寫成向量形式123xxxx 0.220.3x30.2x2x3x 0.2001c 0.3102c0.20110,0.3120.201是是(1)的基礎(chǔ)解系的

6、基礎(chǔ)解系, ,x 11c22c是是(1)的通解的通解, ,0.200通解為通解為: :是是(2)的特解的特解, ,x 11c22c是是(2)的通解的通解. .11c22c幾何意義幾何意義: : (1)的通解的通解11c22c是由是由1和和2確定的平面確定的平面, ,(2)的通解的通解11c22c是過是過且平行于且平行于(1)的平面的平面. .Axb 0Ax 1 2 例例2 單一方程也可看作方程組單一方程也可看作方程組, ,描述并比較下列描述并比較下列”方程組方程組”的通解的通解: :12310320 (1)xxx和和12310325 (2).xxx總結(jié)總結(jié): : 設(shè)設(shè) 是是 矩陣矩陣, ,Am n( ),R Ar0Ax的基礎(chǔ)解系含的基礎(chǔ)解系含n r個向