兩邊夾問題的研究

1、 專題：兩邊夾問題的研究一、問題提出問題1：數(shù)列中，對，則= .3 問題2：已知函數(shù)的導函數(shù)，且的值為整數(shù)，當時，的值為整數(shù)的個數(shù)有且只有1個，則= .4二、思考探究探究1：已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式探究2：設(shè)數(shù)列滿足，且對任意的，滿足,則 解析：由，得()，令2，4，6，2014，()()()()() 探究3：（1）若實數(shù)滿足,則的值為_.（2）實數(shù)滿足，則的最小值為_. 探究4：設(shè)無窮數(shù)列滿足：，.記.（1）若，求證：=2，并求的值；（2）若是公差為1的等差數(shù)列，問是否為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論解：（1）因為，所以若，則矛盾，若，可得矛盾，所以于是，從而（2）是公差為1的等差數(shù)列，證明如下

2、： 時，所以， ，即，由題設(shè)，又，所以，即是等差數(shù)列另證：由，可得，下面我們來證明恒成立，采用反證法思想.假設(shè)，則，由數(shù)列的單調(diào)性可得與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，故，則，即是等差數(shù)列最簡單的方法：（2）一方面：由，且，可得恒成立；另一方面：是公差為1的等差數(shù)列，則,從而,變形可得,綜上：，是等差數(shù)列三、真題鏈接四、反思提升五、反饋檢測1. 設(shè)函數(shù)（，）。（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）若對任意，都有，求的取值范圍；（3）若在上的最大值為，求的值. 解：（1）在內(nèi), ，在在內(nèi), 為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)函數(shù)的最大值為，最小值為（2）對任意有，從而有又在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù),只需，則的取

3、值范圍是（3）由知，加得又將代入得2. 已知實數(shù)同時滿足，則的值為_.解：令，由，可推得，則將，分別代入，可得式子，即為，化簡得，即為，解之得，將的范圍代入，可得，而，則，則此時，.在中，移項得（*）.要使得（*）式有解，則，則，所以，而，則，則可推得.所以的取值范圍是.2. 設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均是正整數(shù)，前項和為，且，則=_ _ _ 40203已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，數(shù)列，滿足， （1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，且，求證：數(shù)列為等比數(shù)列解：（1）因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以（為常數(shù)）， 所以為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列；（2）因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以（為常

4、數(shù)）， 所以則 所以，即 因為，所以，則 所以； 所以，即因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即，把代入化簡得，所以數(shù)列為等比數(shù)列4. 已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項的和為Sn，且rSn1(r1)Snra1對任意正整數(shù)n都成立，其中r為常數(shù)，且rN* （1）求證：數(shù)列an為等比數(shù)列； （2）若r2，且a1，at(t3)均為正整數(shù)，如果存在正整數(shù)q，使得a1qt1，at(q1)t1，求證：St(q1)tqt解：（1）由rSn1(r1)Snra1得rSn2(r1)Sn1ra1，兩式相減得ran2(r1)an1，即又rS2(r1)S1ra1，得綜上可知an為等比數(shù)列，且公比為（2）由于ata1()t1及a1均為正整數(shù)，所以存在正整數(shù)k，使得a1krt1， 所以atk(r1)t1 由at(q1)t1得(q1)t1k(r1)t1(r1)t1，于是qr 又由a1qt1，at(q1)t1得，于是()t1，從而，即qr 由上可知:qr 所以ata1()t1a1()t1(q1)t1，于是a1qt1，又a1qt1所以a1qt1 于是Sta1 a1 r()t1)qt1q( ()